培优05 四边形压轴题4大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题05 四边形压轴题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 平行四边形中的压轴题 1 题型二、 矩形中的压轴题 32 题型三、 菱形中的压轴题 60 题型四、 正方形中的压轴题 93 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形中的压轴题 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标； （2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，即可求解． ②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可． 【详解】（1）解：， ，解得：， ， ， ； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵ ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ，， ， ， 即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 2．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 3．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （2）可证明和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边；当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （3）分两种情况：点Q在点B左侧和点Q在点B右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：由题意得，， 由（1）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点Q在点B左侧时，设点P的对应点为M， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，设点P的对应点为M，点H为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 4．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）首先由平行四边形的性质得到，，，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）如图所示，过点C作于点M，求出，，，得到为等腰三角形，然后利用勾股定理求出，证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点G作于点M， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 5．我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线，已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究… (1)如图①，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． (2)命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形，如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件． (3)命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形． （Ⅰ）小明认为这是假命题，尝试画出反例，如图②，他先画出四边形的一条边，一条对角线．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法） （Ⅱ）小明进一步探索发现，在四边形中，，对角线、相交于点O，且，，，对于满足条件的平行四边形的个数随着长度的变化而变化，直接写出平行四边形的个数及对应的的长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（Ⅰ）图见解析；（Ⅱ）当或时，存在一个平行四边形，当时，存在两个平行四边形，当时，不存在满足条件的平行四边形 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）这个命题是假命题，利用等腰梯形ABCD说明即可； （3）（Ⅰ）作的中垂线，交于点，作射线，以为圆心，的长为半径画弧，确定点的位置，作图即可． （Ⅱ）判断出两种特殊情形的值，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形； （2）解：命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形． 这个命题是假命题，如图等腰梯形中，，满足条件，但四边形不是平行四边形． （3）解：（Ⅰ）如图，四边形即为所求． （Ⅱ）如图③中，当时， ∵，， ∴， ∴， 故当或时，存在一个平行四边形， 当时，存在两个平行四边形， 当时，不存在满足条件的平行四边形． 6．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4； 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得到．根据折叠性质，得到．等量代换即可得证． （2）根据平行四边形的性质，折叠的性质，证明，，继而证明，延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L，证明，得到，，根据等腰三角形的三线合一性质即可证明． （3）过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接，过点C作于点K，得到，根据折叠的性质，勾股定理等证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴．， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴． ∴． （2）证明：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点C作于点K， ，， ， ， 根据折叠的性质，得， ； ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 根据（2）证明，得， ， ， ． 7．提出问题：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动． 如图1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，点，分别为，的中点． 如图2，将点、点重叠合并在一起，记作点，点，分别落在边，上，连接，记的中点为点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 探究交流：感恩小组发现，，．并展示了如下的证明方法： ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵点，分别是，的中点， ，．（依据1） ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，（依据2） ∴， ∴． 反思拓展： (1)①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？ ②试判断图2中，与的位置关系，请直接回答，不必证明； (2)“责任”小组在探究时，把绕点逆时针方向旋转到如图3的位置，发现是等腰直角三角形，请你给出证明； (3)“坚持”小组的同学进行“固定变量”探究，令，时，把绕点在平面内自由旋转，的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大值与最小值？若存在，请直接写出面积的最大值与最小值． 【答案】(1)①依据1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．依据2：直角三角形的两锐角互余；② (2)证明见解析 (3)的面积会发生变化，的面积最小为，最大为 【分析】（1）①根据中位线的性质和直角三角形的性质作答即可； ②根据等腰直角三角形的性质可得，，由平行线的性质可得，因此； （2）连接，连接并延长，交的延长线于点，容易证明，则，，由等量代换可得，即．由中位线的性质可得，，，，因此，，命题得证； （3）由（2）可知，，是等腰直角三角形，，因此．结合可求出的范围，从而得出的面积的最小值和最大值． 【详解】（1）解：①依据1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 依据2：直角三角形的两锐角互余． ②结论：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，连接并延长，交的延长线于点， 由旋转的性质可知，， ∵、都是等腰直角三角形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点． ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理，是的中位线， ∴，，即， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴随的增大而增大， ∵，， 又∵， ∴， ①当点在线段上，如图，此时取得最小值， ∴； ②当点在线段的延长线上，如图，此时取得最大值， ∴； 综上所述，的面积会发生变化，的面积最小为，最大为． 8．如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及角度计算，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出，即可得到答案； （2）利用等腰直角三角形以及平行四边形的性质求出，根据求出，再根据算出，最后由算出答案即可； （3）延长交的延长线于点P，根据得到，证明，根据全等三角形的性质证明，证明，得到，再根据即可得到结论； 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 9．【问题发展】某数学兴趣小组查阅资料发现平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和，该性质被称为阿波罗尼奥斯定理． 【任务一】如图①，已知，求证：．下面是部分证明过程： 证明：如图①，分别过点作于点，交的延长线于点，易得，， 则，， 即 ． …… 请将证明过程补充完整； 【任务二】如图②，在中，是边上的中线，请你利用【任务一】的结论证明． 【答案】【任务一】：见解析；【任务二】：见解析 【分析】任务一：作适当辅助线，利用勾股定理补充证明即可； 任务二：延长至点，使得，连接，，构造平行四边形，由（1）的结论代入求值即可． 【详解】任务一： 解：补充证明过程如下： 原式 ， ． 任务二： 证明：如答图，延长至点，使得，连接，． 是边上的中线， ． ， 四边形是平行四边形． 由（1），得， ， ， ． 10．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 【答案】(1)的长为1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，则，在中，，在中，，建立方程即可求解； （2）连接，证明，可得，，有，再证明，可得，则，则由即可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为1． （2）证明：连接， ∵， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形， 得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得． ②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则，，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 12．问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 【答案】(1)，见解析； (2)，证明见解析； (3)图中阴影部分的面积为． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形．解题核心是利用平行四边形对边平行且相等的特性，结合折叠的“全等性”转化线段与角度关系，再通过勾股定理、三角函数等工具计算线段长度与面积． （1） 要确定 与 的数量关系，可通过构造辅助线，结合平行四边形对边平行且相等、直角三角形斜边中线性质来推导； （2） 判断 与 的数量关系，需利用折叠性质（对应边、角相等），结合平行四边形对边平行且相等，证明相关四边形为平行四边形或三角形为等腰三角形； （3） 求阴影部分面积，先由平行四边形面积公式求高，再通过勾股定理、三角函数、折叠性质确定各线段长度，进而计算三角形面积差得到阴影面积． 【详解】（1）（1）解：． 证明：如图中，过点作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：． 证明：如图中，连接， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）（3）如图中，过点作于，过点作于． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 设则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型二、矩形中的压轴题 13．操作体验：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为直线上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点M和N，以为邻边构造平行四边形． (1)如图1，求证：； (2)特例感知：如图2，若，当点P在线段上运动时， ①求长； ②求平行四边形的周长； (3)类比探究：如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若．请用含a、b的式子表示与之间的数量关系．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)①；②8 (3) 【分析】（1）根据平行线＋角平分线得到等腰三角形即可证明； （2）如图2中，连接，作于H，则四边形是矩形，利用等面积法证明，利用勾股定理求出即可解决问题； （3）如图3中，连接，作于H．由，可得，由，推出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴； （2）解：①如图2中，连接，作于H， ∵矩形中， ∴四边形是矩形，，    ∵，， ∴在矩形中， ∴， 在中，∵， ∴， ②∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴四边形的周长； （3）解：如图3中，连接，作于H．    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴． 14．【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 【答案】(1) (2)图形见解析 (3) (4)①；② 【分析】（1）根据矩形纸片，得到，由折叠可得； （2）先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）由正方形得到，，由折叠可得，再由勾股定理求出，得到； （4）①由折叠可得，，根据，得到； ②由折叠可得，，再在中由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴； （2）解：如图，先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则 （3）解：∵矩形纸片， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （4）解：①∵正方形纸片， ∴，， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； ②由折叠可得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵中， ∴， 解得． 15．已知是斜边的中点，M、N分别是边上的点，且，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）延长至点，使得，连接，，易证和，可得，，即可求得，根据勾股定理即可求解； （2）连接，易证，即可证明，可得，，，再根据的面积，即可解题． 【详解】（1）证明：延长至点，使得，连接，， ，， 垂直平分， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ， ， ∵P是中点， ∴，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 的面积． 16．【问题情境】 在探究活动中，李老师发给每名同学一矩形纸片，宽为，长为，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 【操作与发现】 嘉嘉在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图1所示． 琪琪在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图2所示． 慧慧将这个纸片沿翻折，点的对应点落在矩形外，如图3所示，连接，． 发现1：嘉嘉发现，图1中的线段与图2中的线段相等； 发现2：慧慧发现，图3中，是直角． ．．．．．． 【问题提出与解决】 (1)嘉嘉发现的与相等的结论是否正确？请你用所学的知识进行说明； (2)如图3，①证明；②求出的长． 【拓展延伸】 小刚受到探究过程的启发，提出新问题： (3)尺规作图：在图4所示的正方形的边上找一点，边上找一点，连接，使得四边形是长与宽的比为的矩形．（作图要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)嘉嘉的结论是正确的，理由见解析； (2)①见解析；②； (3)见解析 【分析】（1）由折叠的性质及勾股定理可得出答案； （2）①连接，与相交于点O，设与相交于点P，证明，由三角形内角和定理可得出； ②由三角形面积及勾股定理可得出答案； （3）分别以点、为圆心，对角线长的一半为半径画弧，分别交、边于点E和F，则可得出答案． 【详解】（1）解：嘉嘉发现的结论是正确的； 证明：由折叠知， ∴， 在图2中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 所以嘉嘉的结论是正确的； （2）解：①证明：如图，连接，与相交于点O，设与相交于点P， 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴是直角． ②在中，，， ∴， ∴， 由面积公式得：， ∴， 由折叠得， ∴ 在中，根据勾股定理：； （3）解：如图，即矩形为所求． 17．如图，在等腰中，，点在线段上，点在直线上，把线段绕点顺时针旋转至，连接． (1)如图1，连接，若，点为中点，，，求的面积． (2)如图2，若，延长交于点，连接并延长至点，连接、，，，，且，求证：． (3)如图3，若，，，连接，，点、分别是、上的动点，且，连接、，直接写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点C作交于点P，求出，再证，得出，，求出，再求出和，证明，得出，即可求，再求出，即可求出，即可求解； （2）在上截取，使，连接，证明，得出，通过导角得出，则可证明，则，，可得，即可证明； （3）构造平行四边形，可证明，再构造，可得当且仅当、、共线时取得最小值，可证明，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作交于点P， 由题意得，， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，过点作，与交于点H，连接，过点作于点，过点作，并截取，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当、、共线时取得最小值， ∵，，， ∴， 即的最小值为． 18．综合与实践 【阅读理解】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形．如图1，在与中，，，，图中构成了全等三角形，易证； (1)【尝试应用】如图2，在与中，，，且，B，C，D在同一条直线上，则线段和的数量关系及位置关系为　　　； (2)【深入探究】如图3，，，则，，的数量关系为　　　，的度数为　　　，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长至点P，使，连接）； (3)【拓展延伸】如图4，已知在中，，点D，E分别在，上，点F在射线上，，点F在的延长线上，过点E作交于点P．请探索当与满足什么数量关系时，，并证明． 【答案】(1)， (2)， (3)当时，，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，进而证得，根据全等三角形的性质证得和，利用等腰直角三角形的性质得出，进而证得； （2）如图，延长至，使，连接，证明是等边三角形，得出，，证明，得出，，结合，即可证明； （3）如图，在上取点N，使，连接，，取的中点M，连接，设，则，然后得到，证明出，得到，，然后求出，得到，推出，进而求解即可． 【详解】（1）解：，， 理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ， ； （2）解：如图，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：当时，； 证明：如图，在上取点N，使，连接，，取的中点M，连接 设，则 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵点M是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 19．如图，在矩形中，的平分线交于点，作于点． (1)求证：； (2)连并延长交于．若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）证明，由全等性质即可得证； （2）利用三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质，由角度出发得到，从而求出的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 在矩形中，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在矩形中，平分，，则， 由（1）知，则， ， ， ， 则， ， 在中，，，则， ， ， 在中，，则， ， 则， ， ， 则． 20．在中，，，点D是边延长线上一动点，过点D作，垂足为E，交于点G．连接，点F是的中点，连接． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，点D的运动过程中，当时，求证：； (3)如图3，作交于点P，在延长线上取点Q，使，连接．在点D的运动过程中，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理、等边三角形的判定定理即可证明结论； （2）如图：连接，过点C作交于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，得出是等腰直角三角形，即；再结合是等边三角形以及线段的和差即可证明结论； （3）如图：取的中点，当点运动时，点始终是的中点，连接，则是的中位线，即在平行于的一条射线上运动，当时，有最小值，；再证明四边形矩形可得，最后利用含30度直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）证明：如图：连接，过点C作交于点M， ∴， ∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，即， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图：取的中点，当点运动时，点始终是的中点，连接，则是的中位线，即在平行于的一条射线上运动，当时，有最小值，， ∵，，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 21．【问题原型】 在矩形中，．点为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【问题解决】如图①，当点落在边上时，求的长． (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点，且，直接写出的长__________． (3)【拓展提升】如图③，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，直接写出的长__________． 【答案】(1)4 (2) (3)1或9 【分析】（1）利用矩形的性质、翻折的性质以及勾股定理求解即可； （2）利用翻折的性质可得：，设，则，再证得，则，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分两种情况：①点Q在线段上时，证，再由勾股定理得，则；②点Q在延长线上时，由勾股定理得，设，则，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴， 如图1由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：． （2）解：如图2，由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即． （3）解：分两种情况： ①点Q在线段上时，如图3所示： 由翻折的性质得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点Q在延长线上时，如图4所示： 由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，即． 综上所述，的长为1或9． 【点睛】灵活利用分类讨论思想和勾股定理构造方程是解题的关键． 22．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析； (2)①平行四边形，理由见解析；②的长为或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度． 【详解】（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 23．[问题探究] 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是 ； [尝试应用] 如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值． [实践创新] 如图3， ，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 【答案】[问题探究] ；[尝试应用] ；[实践创新] 【分析】[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接．解直角三角形求出，即可解决问题． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H．由题意，推出，推出当的值最小时，的值最大，如图4中，过点C作，使得，作点K关于直线的对称点J，连接交于E，连接交于T，此时的值最小，最小值的长，据此求出结论． 【详解】解：[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H． ∵的两个内角的角平分线相交于点F，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最大， 如图4中，过点C作，使得， 作点K关于直线的对称点J，连接交于E，在上截取，连接，连接交于T， 则四边形是平行四边形， ， 则， 此时的值最小，最小值的长． 由图3可知， 在中，∵， ∴， ∴的最小值， ∴的最大值． 24．如图1，矩形纸片中，点在边上．连接，将矩形纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，与交于点；如图2，继续将纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，、分别与交于点、． (1)如图2，若，则= ． (2)如图3，点恰好落在边上（即点与点重合）． ①若，，求的长． ②已知，，若，，三点恰好在同一条直线上，试探究、之间的数量关系并写出证明过程． 【答案】(1) (2)①②，证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质以及勾股定理． （1）由，可得，，由折叠性质得，，故，由，可得，最后折叠性质即可解答； （2）①两次利用折叠的性质以及平行线的性质得到，设，则，，在中，由勾股定理可得：，求解方程即可解答；②先证明四边形是平行四边形，进一步推导是等边三角形，结合等边三角形的性质以及由①可知即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ， 由折叠性质得，， ，， ， ， 由折叠性质得，， ； （2）解：①， ，， 由折叠可知：， , ， ， ， 由折叠可知：， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠可知：， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 解得，（舍去）， 的长为； ②，证明如下： 四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ，， 由①可知, ， 化简得． 题型三、菱形中的压轴题 25．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)问题发现：如图，当点与点重合时，点在边上，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ； (2)拓展探究：如图，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由； (3)解决问题：如图，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质结合，可证得是等边三角形，再由是等边三角形，根据等边三角形的性质证明，则，，即可证明； （2）根据菱形的性质结合，可证得，是等边三角形，由等边三角形的性质证明，即可证明结论； （3）设，相交于点，根据菱形的性质结合，可得、的长，根据勾股定理依次求得、的长，证明，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ， ， ，是菱形的对角线， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 四边形是菱形， ， ， ，是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ，即， 在与中， ， ， ； （3）解：设，相交于点，如图， ，是菱形的对角线， ，，， ，， ，， 、是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， 由（2）可知，，， ，， ， ，即， ． 26．如图1．在中，平分交于点，垂足为点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)在（2）的条件下，如图2，若平分交于点，点在上，且，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，推出，再根据角平分线的定义得到，推出，即可证明结论； （2）设，则，结合（1）中，可得，再求出，由，利用勾股定理得到建立方程求解即可； （3）①证明，推出，结合，得到，进而求出，即可证明；②由①知四边形是平行四边形，易证四边形是平行四边形，再根据，易证四边形是菱形，求出菱形的面积，连接交于点，求出，得到，证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵，即 在中，，， ∴， 解得， ∴； （3）①证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，即， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②解：由①知四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∴， 连接交于点，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴或， ∴（负值舍去）或（负值舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，则，，，符合题意， 当时，则，，，不符合题意， ∴， 由①， ∴， 又， ∴， ∴． 27．综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)的长度为或 【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． （1）数量关系：．连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形，且， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， 即， ∵点为中点， 故平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 28．李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点．    (1)如图1，若，则四边形的形状为___________． (2)当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)菱形 (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）证明为等边三角形即可得到结论； （2）①证明四边形为平行四边形，由折叠，可知，，推出，进而求解； ②过点作于点，过点作交的延长线于点，分类讨论当点在线段的延长线上和当点在线段上时，设，则，结合求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：①；理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠，可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，    ∵， ∴， 同理， ∴， 则四边形为矩形， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图3， 由①知， 在和中， ∴， ∴， 设，则， ∴． 由折叠，得， ∴， 由勾股定理，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当点在线段上时，如图4，    同理可证，， ∴， 设，则，，，， 同理有， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 29．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动） (1)若，分别是，的中点，求证：四边形始终是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形为矩形？ (3)若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形？ 【答案】(1)见解析 (2)t为或 (3)t为时，四边形为菱形 【分析】（1）由矩形的性质得出，，证明，得出，同理得出，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，得出，当对角线时，平行四边形是矩形，分两种情况：①，得出，解方程即可；②，得出，解方程即可； （3）连接、，由菱形的性质得出，，，得出，，证出四边形是菱形，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出，得出，即可得出t的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， 根据题意得：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 连接，如图， 由（1）得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，平行四边形是矩形， 分两种情况： ①当E、F相交前，，， 解得：； ②当E、F相交后，，， 解得：； 综上所述：当t为或时，四边形为矩形． （3）解：连接、，连接交于O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴t为时，四边形为菱形． 30．【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容． 例5：如图19.2.13，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． 求证：四边形是菱形． 分析：要证明四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需要证明四边形是平行四边形，又已知垂直平分，所以只需要证明． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程： (2)【结论应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，则矩形的面积为 (3)【拓展探究】如图③，直线分别交的边、于点、，将沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，连接，若，，，则四边形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)32 (3)15 【分析】（1）由“”可证△，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，即可证平行四边形是菱形； （2）由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，据此求解即可； （3）过点A作，交延长线于点N，设，则，在中，由勾股定理列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ， 垂直平分， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积为； （3）解：如图，过点A作，交延长线于点N， ∵将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合， 则由（1）可知：四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得， ∴， 则四边形的面积是：． 31．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）过点作于，证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由题意，根据正方形的性质，只要证明，即可得到答案； （3）过点作于，延长、交于点，证明，然后求出，即可得到答案； （4）过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，结合菱形的性质和勾股定理，得到点的坐标为；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图： 由题意，点、、、坐标分别为， ，，，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，； （2）解：存在；理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时； ∵四边形为菱形， ∴，， 又， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （4）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点， 由（3）可知，， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 点的坐标为， 的中点的坐标为； 点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大； 当点在原点时，即，此时为； 当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即； ， ， 点为； 点的最左端坐标为，最右端的坐标为； 点的运动路径长为：． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，通过构造垂线、利用等腰直角三角形与全等三角形，将菱形、正方形的性质转化为坐标计算．动点路径分析时，抓住中点坐标规律，结合临界位置求解，体现了“数形结合”与“化动为静”的解题思想． 32．问题引入：如图1，，，，是线段的中点．连接并延长交于点，连接． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题延伸：如图2，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连接、，且．判断与之间的位置关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，连接，若，，则的长为____________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)的长为 【分析】（1）利用证明，可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题； （2）延长交于，证明，可得，，进而证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质可证明； （3）由（2）可知，，证明，求出，，过点G作于点N，求出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点H， ∵是的中点， ∴， ∵四边形和四边形是菱形，点，，在同一条直线上， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， （3）解：由（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 过点G作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 33．在菱形中，，点H在平面内，点E为直线上一点． (1)如图1，当H在上时，，若，，求的长； (2)如图2，当H在延长线上时，，O为的中点，连接并延长交于点G，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点作交于点，根据菱形的性质及已知可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，可得，，设，则，，根据勾股定理可得，即，求解即可； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，可得，，由，继而得到，证明，可得，证明，可得 ，即可得证． 【详解】（1）解：过点作交于点， ∴， ∵在菱形中，，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的长为； （2）证明：过点作交于点， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴． 34．【问题背景】如图1，在菱形中，，点为菱形内一动点，且，连接并延长，交于点，连接． 【初步探究】 (1)求的度数． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折，得到，连接．求证：． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，连接．若，中一个内角为，直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）设，利用等腰三角形的性质可得，则； （2）连接，由翻折及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （3）设，讨论分别为时，利用勾股定理求的值. 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴是等边三角形，即，， ∵菱形中， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∵，，， ∴解得：（舍） 即：； 当时，， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍）， 即：， 综上：的长为：或 35．【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)的长为； (2)的最小值为； (3)灌溉水渠总长度的最小值为米． 【分析】（）由矩形性质可得，又，则，再证明，然后通过性质即可求解； （）连接，连接，与交于点，根据题意可得，所以当时，最小，从而最小，又四边形是菱形，则，，，通过勾股定理求得，则，然后通过求出的值即可； （）取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，，由四边形是正方形， 则，，米，再证明四边形是矩形，所以，米，通过勾股定理求出米，证明，则，故有，所以三点共线，且时，最小，即长，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为； （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 36．如图，在菱形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，交对角线于点，连结． (1)求证：． (2)当是等腰三角形时，求的长． (3)作点关于的对称点，当落在上时，连接，记的面积为，菱形的面积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）利用菱形对称性得，， ，即得； （2）等腰三角形需分类讨论，分三种情况讨论：当时， 当时， 当时，排除矛盾情况后得解； （3）方法一：可得，过点作于点，则，，，得，即得，方法二：由对称性可得，，由 ，得．，． 【详解】（1）证明：在菱形中，点，关于对称，且点在上， ， 又， ， ． （2）解：①当时，与重合，不合题意． ②当时，如图1，设， 则， ， ， ， ． ③当时，如图2， 设，则， ， ， ， ， 由对称性可得， 过点作于点， 设，则， ∴ ， ， ． ． （3）解：方法一：如图3，∵点关于的对称点落在上， ∴， 又由菱形的对称性可得，， 过点作于点， 则， ， ， ， ， 方法二：如图4， 由题意，， 又由对称性可得，， ， ， ． ， ， ． 题型四、正方形中的压轴题 37．学习过正方形后，刘老师布置了一道思考题，以下是小明的做题片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 问题：正方形中，点为对角线上一个动点，点为对角线交点，点为直线上一点，且，连接，如图1，若点位于线段上，请判断与的数量关系和位置关系． 小明：我判断与的数量关系是相等，位置关系是垂直． 理由：由于，我先考虑用来转化． 四边形是正方形， 直线是正方形的对称轴，与是一对对应点， ，， ，， …… 任务： (1)①小明的判断______正确的（填“是”或“不是”）； ②小明利用正方形的对称性来推导，其实我们还可以用全等的方法来推导，只需要证明____________，即可得出结论，依据是______（填序号）． A．    B．    C．    D．    E． (2)如图2，若点位于线段上，请判断与的数量关系和位置关系是否变化？请说明理由； (3)若在直线上，且，时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①是；②；；B (2)不变，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）①利用正方形的对称性得出，结合得到，，进而得到，利用四边形内角和定理得到，则有，即可得出结论；②根据正方形的性质得到，，再利用证明即可； （2）利用正方形的对称性得出，结合得到，，进而得到，利用三角形内角和定理得到，结合正方形的性质得到，即可得出结论； （3）分2种情况讨论：①当在射线上时；②当在射线上时，根据正方形的对称性即可求解． 【详解】（1）解：①小明的判断是正确的，理由如下： 四边形是正方形， 直线是正方形的对称轴，与是一对对应点， ，， ， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ； ②四边形是正方形， ，， 又， ， ； （2）解：不变，理由如下： 如图2，设交于， 四边形是正方形， 直线是正方形的对称轴，与是一对对应点， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ； （3）解：①当在射线上时，如图： 四边形是正方形， 直线是正方形的对称轴，与是一对对应点，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； ②当在射线上时，过作于，如图： 四边形是正方形， 直线是正方形的对称轴，与是一对对应点，， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ； 综上，线段的长为5或． 38．如图，正方形中，，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，，． (1)当为边中点时，根据题意补全图形，并求的长； (2)当为边上一点，，求的度数； (3)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)图形见解析， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全图形即可；根据正方形的性质，结合为边中点得出，利用勾股定理求出，利用轴对称的性质得出是的垂直平分线，，再利用面积法求出，进而可得答案； （2）根据轴对称得性质得出，再利用正方形的性质得出，求出两个等腰三角形的底角的度数，即可得答案； （3）过点作，交于，设交于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，，即可证明，得出，，结合（2）可得，根据平行线的判定定理即可得结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示：、交于点， ∵正方形中，，为边中点， ∴，， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴是的垂直平分线，， ∵， ∴， 解得：， ∴． （2）解：如图所示： ∵点关于直线的对称点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，交于，设交于， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 39．解答下列各题 (1)如图①，等腰中，，于点，为边上的两个动点，且满足，若，则___________； (2)如图②，正方形中，，为边上的两个动点，且，求的最小值； (3)某公园的示意图为长方形如图③所示，边长米，米，两条主干道交于点．为提升游客游览的体验感，准备在公园内部修建三条绿色长廊，其中点在上，点在上，并计划在与两块地所在区域分别种植郁金香和紫罗兰，种植的总面积为36000平方米，求当三条绿色长廊的总长度之和最小时紫罗兰的种植面积． （温馨提示：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，两条对角线互相平分且相等） 【答案】(1)6 (2) (3)18000平方米 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得到，再证明，可得； （2）作点关于的对称点，连接，，得，过点作，交于，，，，当在同一条直线上时，的值最小，为； （3）由勾股定理得米，过点作于点，得米，米，平方米，设米，米，得到，三条绿色长廊的总长度，当时，取得最小值，此时，求得，从而可求出紫罗兰的种植面积． 【详解】（1）解：在等腰中， ， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：作点关于的对称点，连接，，如图， 则，, ∴， 过点作，交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 当在同一条直线上时，最小，为的长， ∴的最小值为的长， 而， 所以，的最小值为； （3）解：在长方形中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∵四边形是长方形， ∴（米）， 过点作于点，如图， ∵， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（平方米） 设米，米， ∵与等高， ∴， 同理，，且与等高， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 三条绿色长廊的总长度， ∵、、在同一条直线上， ∴， ∴， 当时，取得最小值，此时， ∵， ∴， 此时，紫罗兰的种植面积为：（平方米）． 40．问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 41．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①设，结合正方形的性质和三角形外角的性质可得，由矩形的性质可得．容易证明，则，，用三角形的内角和定理可计算出，则，命题得证； ②由可得，，进而可计算出，则，利用勾股定理计算出，进而求出的长； （2）连接，过点作的垂线，交直线于点，容易证明，则，因此是等腰直角三角形，计算得，由垂线段最短可得，就是的最小值． 【详解】（1）解：①证明：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形为正方形； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴； （2）解：如图，连接，过点作的垂线，交直线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值． 42．问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ (1)直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)①四边形是正方形，理由见解析；② 【分析】（）证明即可得出结论； （）过点作，证明，由此可得； （）如图， 连接，证明，所以，，由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； 作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得，易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则，作关于的对称点，则 ，可得， 求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接， 由（）的结论可知，， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； 如图，作交的延长线于点，作于点， ∴， 由上知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 43．在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动． (1)初步感知 如图，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 连接，则的形状是 三角形； (2)迁移探究：将矩形纸片换成正方形纸片，先完成（1）中的“操作一”，然后在上任选一点M（点不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接，，并延长交于点Q，连接． ①如图，若点N恰好在上，连接．请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由； ②若正方形纸片的边长为8，在以上探究中，当时，求的长． 【答案】(1)等边 (2)①，，理由见解析；②或 【分析】（1）由折叠的性质可得得，再次折叠得，等量代换问题可求解； （2）①根据折叠性质可证即可求解；②分两种情况，当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，，有勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ，， ， ， ， 再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段， ， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①如图2，，，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由翻折可知，， ， ， ， ， 由翻折可知：，， ； ②如图3，当点Q在点F的下方时， ， ，， ， 由①知， 设，， ， ， 解得：， ； 当点Q在点F的上方时，如图4， ，，， ，， 由①知：， 设，， ， ， 解得：， ， 综上所述：或． 44．根据题目要求，解答下列各题 (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，直接写出线段，，的数量关系：______； (2)如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长． (3)如图3，在正方形中，点在线段的延长线上，，过点作于点，连接，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）延长至点，使得，容易证明，则，，进而可证明，因此； （2）过点作的垂线，交于点，交于点，容易证明，．此时，符合（1）中的模型，因此，设，则，，在直角中，利用勾股定理构造方程解出的值，再利用勾股定理求出； （3）过点作的垂线，交于点，利用正方形的性质可得，结合同角的余角相等可得，，从而证明，则，．利用勾股定理可得，结合，计算出比值． 【详解】（1）解：如图，延长至点，使得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，此时， 设， ∴，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴，， 在直角中，； （3）解：如图，过点作的垂线，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴，即． 45．如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 【答案】(1) (2) (3)①；；②见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据，得到，，再根据勾股定理即可求解； （3）①根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，推出，得到，求得，最后根据勾股定理求出；②过作交于，根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ； （2）解：， ，， ，， ，即， 解得（负值已舍去）； （3）①解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②证明：过作交于， 则，， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点是的中点． 【点睛】综合应用正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 46．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 【答案】(1)，见解析； (2)①； ②平移的距离是或． 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质，勾股定理解三角形，平移的性质求解即可，关键是进行分情况分析． （1）根据题意可知，由勾股定理得，结合，即可证得结论； （2）①根据题意得到，由勾股定理求得，结合可求得，进而求得，即可解答； ②分三种情况讨论：；；；分别利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵点G在边的延长线上， ， ，即． （2）解：①∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ，点G在边的延长线上， ， ； ②平移的距离是或． 如图1，若， ∴点在线段的垂直平分线上， 由①得， ∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示： ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 47．菱形中，，为边，上的点，，相交于点． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论； (3)如图，在（）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）由菱形中可得菱形是正方形，根据正方形性质得，，由，得到，所以，即证得，即可证得； （）过作交的延长线于，过作于，根据菱形的面积证得，推出，得到，由，推出； （）连接，过作交于，交于，连接，由（）的条件可得，，又为的中点，即垂直平分，即有且，利用四边形是矩形，证得，推出，根据三角形内角和求出，用分别表示这两个角求出，得到，由此得到，再根据正方形的性质求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）四边形是菱形，， 菱形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：； 证明如下： 过作交的延长线于，过作于，如图， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接，过作交于，交于，连接，如图， 由（1）知， 又为的中点， 是的垂直平分线， ，， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形，是对角线， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，垂直平分线的定义和性质，掌握知识点的应用及正确引出辅助线是解题的关键． 48．正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4)，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，于点，然后证明，即可得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解，则，再证明，即可得到； （3）分两种情况讨论，即与的夹角为或与的夹角为，根据正方形的性质以及四边形内角和定理求解即可； （4）可得此时重合，由四边形是正方形，得到． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：在正方形中， ∴ ∵ ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴， ∴； （3）解：当与的夹角为时，即，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵在四边形中，，而 ∴； 当与的夹角为时，即，如图，设交于点， 由题意得， ∵ ∴ 综上：的度数为或； （4）解：，理由如下： 如图， ∵在正方形中，， 又∵点为的中点， ∴，即， ∵，点在射线上， ∴此时重合， ∵四边形是正方形， ∴． 1．【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” (1)求证：四边形为矩形； (2)试说明矩形的面积和正方形的面积相等； (3)【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； (4)如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据，证明，即可证明四边形为矩形； （2）先证明，继而得到，从而得到比例式 ，故，根据证明即可； （3）先证明，再证明，，然后根据角角边定理证明即可； （4）如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【详解】（1）证明： ，， ， ， 四边形为矩形． （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）证明：四边形是正方形，四边形为矩形． ， ， ， ， ， ， 在和中， ∵， ∴． （4）解：，， ， ， 拼出的矩形为“开心矩形”， 或， 当时， ， 解得， ； 当时， ， 解得， 此时斜边小于直角边，不成立，舍去； 故的长为． 2．如图，在正方形中，E为上一点（不与端点重合），延长至点F使，连结，过点F作于点G，连结，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的长． (3)当点E在上任意运动时（不与端点重合），求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明一组对边平行且相等，即可证明． （2）先得到是等腰直角三角形，由此可求解的长度，再根据求解即可． （3）先由边角边证明和全等，由此可得，，再由边角边证明和全等，由此可得，，再得是等腰直角三角形，由勾股定理求解与的长度关系可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，，如图所示： ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴． 3．如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性得到，，然后根据矩形的性质求解； （2）设，表示出，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求出，过点G作于点I，然后利用等面积法求出，得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）首先表示出，，得到，由折叠得，，，然后利用勾股定理得到，整理得到，然后分别当点D和点C重合和点E和点A重合两种情况讨论，分别求出的长度，然后求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴，； （2）解：设 ∴ 由折叠得，，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴，， ∴， 如图，过点G作于点I， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴； （3）解：∵，设， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∵ ∴ ∴ 整理得，； 如图，当点D和点C重合时， 由折叠得， ∴ ∴的最大值为，即x的最大值为； 如图，当点E和点A重合时，点D，H，T重合， 由折叠得， ∴ ∴的最小值为4，即x的最小值为4， ∴ 综上所述，． 4．综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． (1)直接写出系纸长与宽的比______． (2)如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． (3)在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 【答案】(1) (2)四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为； (3)四边形纸片不是系纸片，折纸画图及其证明过程见解析． 【分析】（1）设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，根据系列长方形纸张的规格特征，可得，即可得系纸长与宽的比； （2）由折叠可得，四边形是矩形，，，连接，设，，由勾股定理可得，根据，代入化简，即可求解； （3）设，则，由系纸片长与宽的比可得，可得，计算，结合系纸片长与宽的比进行判断，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，由折叠过程，结合平行线的性质，可得四边形是正方形，四边形是矩形，，，计算，即可证明是系纸片． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为， ∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等， ∴， ∴， ∴， ∴系纸长与宽的比为． （2）解：四边形纸片不是系纸片， 在长方形中，，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠可得，， 连接， 设，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为． （3）解：设，则， ∵四边形是系纸片， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片， 如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片， 证明：由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片是系纸片． 5．【问题呈现】在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形中，，，过对角线上一点，作的垂线，交边、于点、，求的长． (1)【问题解决】小明同学是这样思考的：点是的中点，过点作的垂线，交、于点、，发现四边形的形状是__________，得，请你结合小明的思路，求出的长是__________． (2)【类比分析】小鹏发现小明的思路就是平移线段，构成平行四边形，把替换，使问题得到解决，他突然想起思考多日的题目有了思路： 如图3，在六边形中，满足，，，．求证：；请你完成此题； (3)【学以致用】 李老师发现两名同学都运用了转化思想，使得问题得到了解决，为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师在【问题呈现】的基础上又提出新的问题，请你解答： 如图4，矩形中，，，点、分别是线段、上的动点，且与互相垂直，则的最小值为__________． 【答案】(1)平行四边形；； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）先由、均垂直于且平行于，判定四边形为平行四边形，得到；再证明，结合和推出四边形为菱形；设，在中用勾股定理求出，再通过菱形面积公式求出，进而得到的长． （2）连接辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质得到角相等，再结合已知的平行关系，证明，结合的条件，推导出． （3）由（1）知时为定值，将的最小值转化为求的最小值值；平移构造平行四边形，将转化为，利用两点之间线段最短，将的最小值转化为的长度，再在中用勾股定理求出，最终得到的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 如图，连接，． ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 设，则， 在中，，由勾股定理得，解得． 在矩形中，由勾股定理得， ∵菱形的面积， ∴，解得， ∴． （2）解：如图，连接，，延长，交于点． ，， 四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理，可得， ∴， ∴，． 又， ． （3）解：由（1）可知，在矩形中，时，的长度为定值， ∴， 要求的最小值，只需求的最小值． 如图，平移线段到线段， ，， 四边形是平行四边形， ． ， 根据两点之间线段最短，， 当且仅当，，三点共线时，等号成立． ，， ，即． 在中，，， ∴由勾股定理得． 的最小值为， ∴的最小值为． 6．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值． （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值． （3）分三种情况①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，③当为菱形的边时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 四边形压轴题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 平行四边形中的压轴题 1 题型二、 矩形中的压轴题 6 题型三、 菱形中的压轴题 12 题型四、 正方形中的压轴题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形中的压轴题 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 2．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 3．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 4．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 5．我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线，已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究… (1)如图①，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． (2)命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形，如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件． (3)命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形． （Ⅰ）小明认为这是假命题，尝试画出反例，如图②，他先画出四边形的一条边，一条对角线．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法） （Ⅱ）小明进一步探索发现，在四边形中，，对角线、相交于点O，且，，，对于满足条件的平行四边形的个数随着长度的变化而变化，直接写出平行四边形的个数及对应的的长的取值范围． 6．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 7．提出问题：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动． 如图1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，点，分别为，的中点． 如图2，将点、点重叠合并在一起，记作点，点，分别落在边，上，连接，记的中点为点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 探究交流：感恩小组发现，，．并展示了如下的证明方法： ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵点，分别是，的中点， ，．（依据1） ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，（依据2） ∴， ∴． 反思拓展： (1)①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？ ②试判断图2中，与的位置关系，请直接回答，不必证明； (2)“责任”小组在探究时，把绕点逆时针方向旋转到如图3的位置，发现是等腰直角三角形，请你给出证明； (3)“坚持”小组的同学进行“固定变量”探究，令，时，把绕点在平面内自由旋转，的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大值与最小值？若存在，请直接写出面积的最大值与最小值． 8．如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 9．【问题发展】某数学兴趣小组查阅资料发现平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和，该性质被称为阿波罗尼奥斯定理． 【任务一】如图①，已知，求证：．下面是部分证明过程： 证明：如图①，分别过点作于点，交的延长线于点，易得，， 则，， 即 ． …… 请将证明过程补充完整； 【任务二】如图②，在中，是边上的中线，请你利用【任务一】的结论证明． 10．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 11．如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 12．问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 题型二、矩形中的压轴题 13．操作体验：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为直线上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点M和N，以为邻边构造平行四边形． (1)如图1，求证：； (2)特例感知：如图2，若，当点P在线段上运动时， ①求长； ②求平行四边形的周长； (3)类比探究：如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若．请用含a、b的式子表示与之间的数量关系．（直接写出答案） 14．【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 15．已知是斜边的中点，M、N分别是边上的点，且，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，若，求的面积． 16．【问题情境】 在探究活动中，李老师发给每名同学一矩形纸片，宽为，长为，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 【操作与发现】 嘉嘉在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图1所示． 琪琪在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图2所示． 慧慧将这个纸片沿翻折，点的对应点落在矩形外，如图3所示，连接，． 发现1：嘉嘉发现，图1中的线段与图2中的线段相等； 发现2：慧慧发现，图3中，是直角． ．．．．．． 【问题提出与解决】 (1)嘉嘉发现的与相等的结论是否正确？请你用所学的知识进行说明； (2)如图3，①证明；②求出的长． 【拓展延伸】 小刚受到探究过程的启发，提出新问题： (3)尺规作图：在图4所示的正方形的边上找一点，边上找一点，连接，使得四边形是长与宽的比为的矩形．（作图要求：保留作图痕迹，不写作法） 17．如图，在等腰中，，点在线段上，点在直线上，把线段绕点顺时针旋转至，连接． (1)如图1，连接，若，点为中点，，，求的面积． (2)如图2，若，延长交于点，连接并延长至点，连接、，，，，且，求证：． (3)如图3，若，，，连接，，点、分别是、上的动点，且，连接、，直接写出的最小值． 18．综合与实践 【阅读理解】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形．如图1，在与中，，，，图中构成了全等三角形，易证； (1)【尝试应用】如图2，在与中，，，且，B，C，D在同一条直线上，则线段和的数量关系及位置关系为　　　； (2)【深入探究】如图3，，，则，，的数量关系为　　　，的度数为　　　，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长至点P，使，连接）； (3)【拓展延伸】如图4，已知在中，，点D，E分别在，上，点F在射线上，，点F在的延长线上，过点E作交于点P．请探索当与满足什么数量关系时，，并证明． 19．如图，在矩形中，的平分线交于点，作于点． (1)求证：； (2)连并延长交于．若，求的长． 20．在中，，，点D是边延长线上一动点，过点D作，垂足为E，交于点G．连接，点F是的中点，连接． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，点D的运动过程中，当时，求证：； (3)如图3，作交于点P，在延长线上取点Q，使，连接．在点D的运动过程中，若，求的最小值． 21．【问题原型】 在矩形中，．点为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【问题解决】如图①，当点落在边上时，求的长． (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点，且，直接写出的长__________． (3)【拓展提升】如图③，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，直接写出的长__________． 22．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 23．[问题探究] 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是 ； [尝试应用] 如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值． [实践创新] 如图3， ，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 24．如图1，矩形纸片中，点在边上．连接，将矩形纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，与交于点；如图2，继续将纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，、分别与交于点、． (1)如图2，若，则= ． (2)如图3，点恰好落在边上（即点与点重合）． ①若，，求的长． ②已知，，若，，三点恰好在同一条直线上，试探究、之间的数量关系并写出证明过程． 题型三、菱形中的压轴题 25．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)问题发现：如图，当点与点重合时，点在边上，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ； (2)拓展探究：如图，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由； (3)解决问题：如图，若，，请直接写出四边形的面积． 26．如图1．在中，平分交于点，垂足为点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)在（2）的条件下，如图2，若平分交于点，点在上，且，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②直接写出的长度． 27．综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 28．李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点．    (1)如图1，若，则四边形的形状为___________． (2)当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 29．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动） (1)若，分别是，的中点，求证：四边形始终是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形为矩形？ (3)若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形？ 30．【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容． 例5：如图19.2.13，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． 求证：四边形是菱形． 分析：要证明四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需要证明四边形是平行四边形，又已知垂直平分，所以只需要证明． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程： (2)【结论应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，则矩形的面积为 (3)【拓展探究】如图③，直线分别交的边、于点、，将沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，连接，若，，，则四边形的面积是 ． 31．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 32．问题引入：如图1，，，，是线段的中点．连接并延长交于点，连接． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题延伸：如图2，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连接、，且．判断与之间的位置关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，连接，若，，则的长为____________． ∵是的中点， ∴， ∵四边形和四边形是菱形，点，，在同一条直线上， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴是等腰三角形， 33．在菱形中，，点H在平面内，点E为直线上一点． (1)如图1，当H在上时，，若，，求的长； (2)如图2，当H在延长线上时，，O为的中点，连接并延长交于点G，求证：． 34．【问题背景】如图1，在菱形中，，点为菱形内一动点，且，连接并延长，交于点，连接． 【初步探究】 (1)求的度数． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折，得到，连接．求证：． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，连接．若，中一个内角为，直接写出的长． 35．【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 36．如图，在菱形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，交对角线于点，连结． (1)求证：． (2)当是等腰三角形时，求的长． (3)作点关于的对称点，当落在上时，连接，记的面积为，菱形的面积为，求的值． 题型四、正方形中的压轴题 37．学习过正方形后，刘老师布置了一道思考题，以下是小明的做题片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 问题：正方形中，点为对角线上一个动点，点为对角线交点，点为直线上一点，且，连接，如图1，若点位于线段上，请判断与的数量关系和位置关系． 小明：我判断与的数量关系是相等，位置关系是垂直． 理由：由于，我先考虑用来转化． 四边形是正方形， 直线是正方形的对称轴，与是一对对应点， ，， ，， …… 任务： (1)①小明的判断______正确的（填“是”或“不是”）； ②小明利用正方形的对称性来推导，其实我们还可以用全等的方法来推导，只需要证明____________，即可得出结论，依据是______（填序号）． A．    B．    C．    D．    E． (2)如图2，若点位于线段上，请判断与的数量关系和位置关系是否变化？请说明理由； (3)若在直线上，且，时，请直接写出线段的长． 38．如图，正方形中，，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，，． (1)当为边中点时，根据题意补全图形，并求的长； (2)当为边上一点，，求的度数； (3)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由． 39．解答下列各题 (1)如图①，等腰中，，于点，为边上的两个动点，且满足，若，则___________； (2)如图②，正方形中，，为边上的两个动点，且，求的最小值； (3)某公园的示意图为长方形如图③所示，边长米，米，两条主干道交于点．为提升游客游览的体验感，准备在公园内部修建三条绿色长廊，其中点在上，点在上，并计划在与两块地所在区域分别种植郁金香和紫罗兰，种植的总面积为36000平方米，求当三条绿色长廊的总长度之和最小时紫罗兰的种植面积． （温馨提示：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，两条对角线互相平分且相等） 40．问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 41．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 42．问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ (1)直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 43．在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动． (1)初步感知 如图，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 连接，则的形状是 三角形； (2)迁移探究：将矩形纸片换成正方形纸片，先完成（1）中的“操作一”，然后在上任选一点M（点不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接，，并延长交于点Q，连接． ①如图，若点N恰好在上，连接．请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由； ②若正方形纸片的边长为8，在以上探究中，当时，求的长． 44．根据题目要求，解答下列各题 (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，直接写出线段，，的数量关系：______； (2)如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长． (3)如图3，在正方形中，点在线段的延长线上，，过点作于点，连接，求的值． 45．如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 46．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 47．菱形中，，为边，上的点，，相交于点． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论； (3)如图，在（）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，求的值． 48．正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 1．【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” (1)求证：四边形为矩形； (2)试说明矩形的面积和正方形的面积相等； (3)【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； (4)如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 2．如图，在正方形中，E为上一点（不与端点重合），延长至点F使，连结，过点F作于点G，连结，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的长． (3)当点E在上任意运动时（不与端点重合），求的值． 3．如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 4．综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． (1)直接写出系纸长与宽的比______． (2)如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． (3)在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 5．【问题呈现】在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形中，，，过对角线上一点，作的垂线，交边、于点、，求的长． (1)【问题解决】小明同学是这样思考的：点是的中点，过点作的垂线，交、于点、，发现四边形的形状是__________，得，请你结合小明的思路，求出的长是__________． (2)【类比分析】小鹏发现小明的思路就是平移线段，构成平行四边形，把替换，使问题得到解决，他突然想起思考多日的题目有了思路： 如图3，在六边形中，满足，，，．求证：；请你完成此题； (3)【学以致用】 李老师发现两名同学都运用了转化思想，使得问题得到了解决，为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师在【问题呈现】的基础上又提出新的问题，请你解答： 如图4，矩形中，，，点、分别是线段、上的动点，且与互相垂直，则的最小值为__________． 6．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $