培优04 四边形中的重要模型4大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题04 四边形中的重要模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 中点四边形 1 题型二、 直角三角形斜边上的中线模型 9 题型三、 等腰直角三角形模型 16 题型四、 十字架模型 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、中点四边形 1．如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 2．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为（　 　） A． B． C． D．4 6．小丽家有一个菱形的小院子，院里有四棵小树E，F，G，H刚好在其院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 7．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 8．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是（    ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上全对 9．分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法中，不正确的是（   ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形 C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴 D．如图，四边形中，，顺次连接四边形各边中点得到的图形是矩形 11．如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处） 12．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为______． 13．如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 14．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于______． 15．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 16．如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为_____． 17．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 18．解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． (1)如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． (2)当四边形满足________条件时，四边形是菱形． (3)当四边形满足________条件时，四边形是矩形． (4)当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 19．小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 20．如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 21．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 22．综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 23．【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    24．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 25．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 题型二、直角三角形斜边上的中线模型 26．在中，，，D为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 27．如图，在长方形中，连接，将沿着翻折至长方形所在的平面内，得，与交于点F，O为的中点，连接．若，，则线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 28．折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（    ） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 29．如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 30．如图，，，点D是射线上的一个动点，，垂足为点C，点E为的中点，则线段的长的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 31．如图，在中，，，垂足为D，F是的中点，连接并延长至点E，使得，连接，．若，则四边形的面积是（　　） A．24 B．30 C．48 D．60 32．如图，已知矩形，点O是对角线上的中点，其中，，连接．则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 33．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，连接，且，过点作于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 34．如图，矩形的对角线，相交于点，，取中点，连接，取中点，连接，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 35．如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，当时，则可求得的长为，则所应用的数学知识是（   ） A．勾股定理 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．三角形的中位线等于第三边的一半 D．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 36．如图，在中，，D、E分别是的中点，F是上一点，，连接，若，则的长度为（　　） A．10 B．12 C．13 D．16 37．如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 38．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 39．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 40．如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 41．如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 42．如图，在中，，点D是的中点，，，则______． 43．如图，O是矩形的对角线的中点，E是的中点．若，2，则四边形的周长为______． 44．如图，在中，，D是上的点（点D不与点A重合），将绕点B旋转，旋转后点D始终在内，点F为的中点，连接，，当是等腰直角三角形时，的长为___________． 45．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，则的长度为_____． 46．直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是______． 47．如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为________． 48．中，，点在边上，连接，若，则的面积为_____． 49．如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，则的长为_____． 50．如图，在中，是平面上一动点，连接，是的中点，连接，当的最小值为______． 51．如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)若，求的度数； (2)若为的中点，，和互余，求的长度． 52．如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)，平分，，求的长． 53．在中，是的中线，为的中点，过点作与的延长线相交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，请直接写出图中所有的等腰三角形，不需要证明． 54．已知是斜边的中点，M、N分别是边上的点，且，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，若，求的面积． 55．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 56．如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧经过与的交点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 57．如图，在矩形中，平分交于点E，连接，点F为的中点，连接，若，求的长． 58．如图，点D，E分别是，的中点，F在上，且，若，，求的长． 题型三、等腰直角三角形模型 59．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第一象限，，，点A坐标为，点C的横坐标为n，且． (1)分别求出点A、B、C的坐标； (2)如图2，点D为边中点，以点D为顶点的直角两边分别交边于E，交边于F，求证：； (3)在坐标平面内有点G（不与点A重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标． 60．如图，正方形的对角线和相交于点O，O是正方形的一个顶点，交于点M，交于点N． (1)求证： (2)如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 61．如图，正方形中，点在对角线上． (1)求作正方形，使得为正方形的中心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，求证：． 62．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 63．【模型建立】 (1)如图1，已知和，．用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 (2)如图2，在正方形中，点分别在对角线和边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 64．数学问题：如图①，正方形中，点是对角线上任意一点，过点作，垂足为，交所在直线于点．探索与之间的数量关系，并说明理由． (1)特殊思考：如图②，当是对角线的中点时，与之间的数量关系是 ． (2)探究证明： ① 小明用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程． ② 请你用与（）不同的方法解决“数学问题”． 65．正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 66．已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 67．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 68．如图，正方形，是对角线上一动点，点不与点、点重合，，且，连接，，． (1)求证：； (2)请直接写出与之间的数量关系； (3)若，请直接写出长度的最小值． 69．学完《正方形》后，老师布置了一道作业题： 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） 爱思考的小华做完这道题后，想到老师在课堂上经常通过变条件、变结论、条件结论互换、变图形等多种方式对例题进行变式，以锻炼同学们的思维能力．于是他把原题中的“点为边的中点”改为“点为直线上任意一点（两点除外）”，其他条件不变，问：结论是否还成立．聪明的你，请和小华一起解答这道题目吧． (1)如图1，当点在边上时，结论是否还成立，并说明理由； (2)如图2，当点为反向延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点．若时，则的长为_________． 70．如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，求的长． 题型四、十字架模型 71．如图，已知正方形的边长为12，，、交于点．则下列结论：①；②垂直平分；③；④中，正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 72．如图，在正方形中，点、点分别在、上，且，若四边形的面积是1，的长为1，则正方形的边长为　　 A．1 B．2 C． D． 73．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 74．如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（    ） A．2 B．2 C．6 D．5 75.如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（　　） A． B．3 C． D． 76．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 77．如图，将一边长为的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长__________． 78．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝____． 79．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若MN＝4，则线段CN的长是____． 80．如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点，点重合）将正方形纸片折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于，折痕为，连接，.则的周长是______． 81．如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且，和相交于点，在点、运动的过程中，当中某一个内角是另一个内角的2倍时，的面积为 　　． 82．如图，正方形的边长为10，、分别是、边上的点，，分别连接、，两线段交于一点，点、分别是、边上的中点． （1）当时，线段的长为 　　． （2）连结，当时，　　． 83．如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，．求证：． 84．（1）如图1，在正方形中，，相交于点且．则和的数量关系为 　　． （2）如图2，在正方形中，，，分别是边，，上的点，，垂足为．求证：． （3）如图3，在正方形中，，，分别是边，，上的点，，，，将正方形沿折叠，点的对应点与边上的点重合，求的长度． 85．正方形中，点，，分别在，，上，与相交于点，． （1）求证：； （2）平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：． 1．四边形为矩形，，若点F是上的点，E是延长线上的一点，，于点G， (1)求证： (2)求的度数． 2．在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在点处． (1)如图1，若四边形是正方形时，求正方形的面积； (2)如图2，若将直角三角形绕点P逆时针旋转一定的角度，两直角边与坐标轴正半轴交于点A和点B，求的值； (3)如图3，若将直角三角形绕点P逆时针旋转，使得与y轴负半轴相交于点B，与x轴交于点F；与x轴正半轴交于点A． ①试探究的数量关系； ②当点F是的中点时，直接写出点A的坐标． 3．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN； 4．如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG． （1）当AG=1时，求EG的长； （2）当AG的值等于 时，BE=8－2DF； （3）过G点作GM⊥EG交CD于M ①求证：GB平分∠AGM；  ②设AG=x，CM=y，试说明的值为定值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四边形中的重要模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 中点四边形 1 题型二、 直角三角形斜边上的中线模型 30 题型三、 等腰直角三角形模型 56 题型四、 十字架模型 79 B综合攻坚・能力跃升 题型一、中点四边形 1．如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 矩形中，，， ， 分别是和的中点， ， 以此类推，，， …… ， ． 2．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】作出图形，菱形中，点分别是的中点，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】如图，设菱形中，点分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴，， 同理可得，，，， ∴ 且 ， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形的对角线互相垂直，即， ∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 3．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 4．在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】∵点、为、的中点 ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵，， ∴， 四边形是矩形． 5．如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为（　 　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接交于，根据三角形中位线定理得，进而可得四边形是矩形，得到，进而根据菱形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积为， ， ∴菱形的面积． 【点睛】注意中点四边形的性质和三角形中位线的性质． 6．小丽家有一个菱形的小院子，院里有四棵小树E，F，G，H刚好在其院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】连接菱形的对角线和，先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，推出平行四边形有一个内角是直角，即可判定形状． 【详解】解：如图，连接，， ∵E、F、G、H分别是菱形各边的中点， ∴由三角形中位线定理得，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 7．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理证明四边形是菱形，四边形和四边形是矩形，再根据菱形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 矩形， ，，，，，， 分别为矩形四条边的中点， 分别是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形是矩形， 同理可证，四边形是矩形， ，， 菱形的面积． 8．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是（    ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上全对 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理先证明所得四边形为平行四边形，再结合原四边形对角线互相垂直的条件，得到平行四边形有一个内角为直角，根据矩形定义即可得出结论． 【详解】解：如图，设任意四边形中，对角线，分别是的中点， ∵分别是的中点， 是的中位线， ∴，且， 同理可得，且，，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 9．分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：连接等边三角形各边中点得到的图形是等边三角形，共有三条对称轴； 连接平行四边形各边中点得到的图形是平行四边形，不是轴对称图形，没有对称轴； 连接矩形各边中点得到的图形是菱形，共有两条对称轴； 连接正方形各边中点得到的图形是正方形，共有四条对称轴； 所以对称轴条数最多的图形是D． 故选：D． 10．下列说法中，不正确的是（   ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形 C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴 D．如图，四边形中，，顺次连接四边形各边中点得到的图形是矩形 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，中点四边形，中位线的性质，根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确； B、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确； C、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确； D、如图，四边形中， 设四边形各边中点分别为， ∴ 又∵， ∴ ∴四边形是菱形，即顺次连接四边形各边中点得到的图形是菱形，原说法错误； 故选：D． 11．如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处） 【答案】①②③ 【分析】根据三角形中位线定理以及矩形和菱形的判定定理可判断①②③结论；根据题意得出每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半，可判断④结论． 【详解】解：顺次连接四边形各边中点，得到四边形， 由三角形中位线定理可知，，，，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形且相邻边长为、， ∴四边形的周长是， 故①②正确． 连接、 ∵四边形是矩形， ∴， 由三角形中位线定理可知，，， ， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形； 故③正确． 由题意可知，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，． ∴每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半， ∴四边形的面积为，故④错误． 12．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为______． 【答案】20 【分析】先根据中点的性质，矩形的性质结合已知条件得到，，再利用勾股定理求得，从而求得结果． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵E，F，G，H分别为矩形各边的中点， ∴，， ∴在中，, 同理可得， ∴． 13．如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∴， 同理，， ∴飞镖命中阴影区域的概率为． 故答案为：． 14．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于______． 【答案】24 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故答案为：． 15．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 16．如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为_____． 【答案】5 【分析】连接，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，根据矩形面积公式计算即可． 本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 菱形的面积为10， ，， ，F，G，H分别是边的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形为矩形， 四边形的面积为：， 故答案为： 17．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了中点四边形、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识成为解题的关键． 如图：连接，设交于点O，证明四边形是矩形，然后逐个判断即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，若，则，故④正确； ∵，， ∴， ∴四边形不是正方形，故②错误， 综上可知，正确的有①③④． 故答案为①③④． 18．解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． (1)如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． (2)当四边形满足________条件时，四边形是菱形． (3)当四边形满足________条件时，四边形是矩形． (4)当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)平行四边 (2) (3) (4)且 【分析】连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形； （3）解：， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形； （4）解：且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，可知平行四边形为矩形， 根据，可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形． 19．小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，见解析 (3)四边形是正方形，见解析 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 20．如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】连接，利用三角形中位线定理证明，进而即可得出结论. 【详解】解：四边形是平行四边形， 理由：连接， 点、是、的中点， 是△的中位线； ，； 同理：，； ， 四边形是平行四边形． 21．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 22．综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)相等，菱形，垂直，矩形，相等且垂直，正方形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，，，从而得出，，即可得证； （2）根据菱形、矩形、正方形的判定与性质即可得出结果； （3）连接、、，由（2）可得，四边形为正方形，，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，，表示出，从而可得当点、、三点共线时，的长最小，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴中点四边形是平行四边形； （2）解：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线相等时，中点四边形的形状是菱形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形； 由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形的形状是矩形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线， ∴， ∴四边形是矩形； 由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线垂直且相等时，中点四边形的形状是正方形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形， ∵对角线， ∴， ∴四边形为正方形； （3）解：如图：连接、、， ， 由（2）可得：，四边形为正方形，， ∴， 由直角三角形的性质可得，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的长最小，为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23．【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；（2）；（3）5 【分析】（1）根据旋转性质或全等三角形的判定与性质证明，，进而证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得结论； （2）根据（1）中结论，得到，，，，从而可得四边形为平行四边形，再根据平行线的性质求得，过H作于M，利用正弦函数定义求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）连接，取的中点M，连接，，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质和三角形的外角性质可推导出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）操作1：将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，则，，， ∴，即， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； 操作2．延长到点F，使，连接． ∵E分别为的中点， ∴，又， ∴, ∴，， ∴，即， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； ∴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半， 故答案为：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 （2）∵四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形； ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， 过H作于M，则， ∴四边形的面积为； （3）连接，取的中点M，连接，， ∵点P和点Q分别为边和边的中点，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即小路的长度为5． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、矩形的判定、菱形的判定、解直角三角形、三角形的外角性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键． 24．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证． 【详解】证明：连接、、、， 点E、F、G、H分别是、、、的中点， 、分别是与的中位线， ，， ， 同理， 四边形为平行四边形， 和互相平分． 25．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 题型二、直角三角形斜边上的中线模型 26．在中，，，D为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的度数，再根据斜边中线性质得到边相等，利用等腰三角形等边对等角即可求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵D为的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴， ∴． 27．如图，在长方形中，连接，将沿着翻折至长方形所在的平面内，得，与交于点F，O为的中点，连接．若，，则线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵将沿着翻折至长方形所在的平面内，得， ∴ ∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 28．折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（    ） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可推出，再结合可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴得到的结论是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 29．如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先求出，再分两种情况：①当点是的中点时，②当点不是的中点时，求出的度数，然后求出的度数，由此即可得． 【详解】解：∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴． ①如图，当点是的中点时， ∴，符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图1和图2，当点不是的中点时，取的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴在图1中，，此时，不满足三角形的内角和定理，舍去； 在图2中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 30．如图，，，点D是射线上的一个动点，，垂足为点C，点E为的中点，则线段的长的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质得到，当时，的值最小，即线段的值最小，推出是等腰直角三角形，得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：， ， 点为的中点， ， 当时，的值最小， 即线段的值最小， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故线段的长的最小值为． 31．如图，在中，，，垂足为D，F是的中点，连接并延长至点E，使得，连接，．若，则四边形的面积是（　　） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，，再证明得到四边形是矩形，最后根据四边形的面积是求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 32．如图，已知矩形，点O是对角线上的中点，其中，，连接．则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形性质得出，，再利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边性质即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点O是对角线上的中点， ∴． 33．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，连接，且，过点作于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知边长求出的长度，再在中利用角所对直角边是斜边一半的性质求出，进而算出；接着由且，根据等腰三角形三线合一得到，最后通过线段的和差关系求出的长度． 【详解】解：∵，，点在的延长线上， ∴， ∵， 在中，， 根据直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半，得：， ∵， ∴， ∵， ∴根据等腰三角形三线合一，是中点，得， ∴因此， 综上，的长为． 34．如图，矩形的对角线，相交于点，，取中点，连接，取中点，连接，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】证明是等边三角形，结合点是中点，得出，然后结合点是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点是中点， ∴， ∵点是中点， ∴． 35．如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，当时，则可求得的长为，则所应用的数学知识是（   ） A．勾股定理 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．三角形的中位线等于第三边的一半 D．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，点D为的中点， ∴， ∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 36．如图，在中，，D、E分别是的中点，F是上一点，，连接，若，则的长度为（　　） A．10 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】根据三角形中位线，得到，结合，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解答即可； 【详解】解：，D、E分别是的中点， ， ， ， ， ； 37．如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得，由中位线得，再利用平行四边形周长公式求解． 【详解】解：∵，，．点F是中点， ∴， ∵把线段沿射线方向平移到，点D在上， ∴是的中位线， ∴， ∴线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是． 38．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ． 39．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质． 由矩形的性质、平行线的性质和角平分线的定义得到，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 点为的中点， ． 40．如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 【答案】D 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点P，Q分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴四边形的周长为． 41．如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得，点为的中点，根据，可得，即可求解． 【详解】解：为的中位线，， ，点为的中点， ，， ， ． 42．如图，在中，，点D是的中点，，，则______． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵点D是的中点， ∴． 43．如图，O是矩形的对角线的中点，E是的中点．若，2，则四边形的周长为______． 【答案】 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】在矩形中，，， ， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ， ． 44．如图，在中，，D是上的点（点D不与点A重合），将绕点B旋转，旋转后点D始终在内，点F为的中点，连接，，当是等腰直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【分析】可证明是等边三角形，得到，则，可证明，即点B不能为直角顶点；当时，则，利用勾股定理求解即可；当时，过点D作于点H，则，求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∵点D始终在内， ∴，即点B不能为直角顶点； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 45．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先由平行四边形性质得，再由折叠得；结合共线得，为直角三角形；在中，由得，故，最后由平行四边形对边相等得． 【详解】解：∵在平行四边形中，对边相等， ∴ ∵沿折叠得到， ∴； ∵点在的延长线上，共线，， ∴，即是直角三角形， 在中，， ∴， 根据角所对直角边是斜边的一半， ∴斜边 ∵， ∴． 46．直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是______． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出斜边长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12， ∴斜边长为． ∴斜边上的中线长为． 47．如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质求出的长，进而求出的长，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：在中，，E是的中点， ， ， 点D、E分别是的边、的中点， 是的中位线， ． 48．中，，点在边上，连接，若，则的面积为_____． 【答案】2或14 【分析】过点作于点，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出的长度，再由勾股定理求出的长度，分类讨论点在点两侧的情况，分别计算的面积即可． 【详解】解：过点作于点， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 当点在点左侧时， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ； 综上，的面积为或． 49．如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由等边对等角可得，进而由直角三角形两锐角互余可得，即得，得到，即得到，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴点是的中点， ∵， ， 又 ∵是边上的中点， ∴是的中位线， ， ． 50．如图，在中，是平面上一动点，连接，是的中点，连接，当的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点，连接，如图， ∵是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， 又， ， ∵在中，， ， ， ∵， 当共线时取等号，如图 的最小值为． 51．如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)若，求的度数； (2)若为的中点，，和互余，求的长度． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且且，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解； （2）先判断出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出即可求解． 【详解】（1）解：∵分别是的中点， ， ∵分别是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； （2）解：∵和互余， ， ， ∵为的中点，， ， 由（1）知四边形是平行四边形， ． 52．如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)，平分，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据中位线和中线即可求解； （2）证明，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在中，M，N分别为，的中点， ∴,, 在中， 点是的中点， ， , ∴ （2）解：∵,平分, , 由（1）可知，, ∴, ∵, , , ∴, ． 53．在中，是的中线，为的中点，过点作与的延长线相交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，请直接写出图中所有的等腰三角形，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）先证，可得，结合条件，得，根据即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得、、是等腰三角形，由，结合四边形是平行四边形，可得是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵，E是的中点， ∴， ∴和是等腰三角形， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是等腰三角形， 综上所述：图中所有的等腰三角形为：、、、． 54．已知是斜边的中点，M、N分别是边上的点，且，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）延长至点，使得，连接，，易证和，可得，，即可求得，根据勾股定理即可求解； （2）连接，易证，即可证明，可得，，，再根据的面积，即可解题． 【详解】（1）证明：延长至点，使得，连接，， ，， 垂直平分， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ， ， ∵P是中点， ∴，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 的面积． 55．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 56．如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧经过与的交点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由作法知，， 在矩形中，． 为中点． ． （2）． ． 在矩形中，． ． 57．如图，在矩形中，平分交于点E，连接，点F为的中点，连接，若，求的长． 【答案】 【分析】先证明，进而求出的长，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F为的中点， ∴． 58．如图，点D，E分别是，的中点，F在上，且，若，，求的长． 【答案】2 【分析】由三角形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，的中点，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴． 题型三、等腰直角三角形模型 59．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第一象限，，，点A坐标为，点C的横坐标为n，且． (1)分别求出点A、B、C的坐标； (2)如图2，点D为边中点，以点D为顶点的直角两边分别交边于E，交边于F，求证：； (3)在坐标平面内有点G（不与点A重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标． 【答案】(1)点，点，点 (2)见解析 (3)，， 【分析】（1）将变形为，根据非负性，等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点D作于点P，作于点Q，得到四边形是矩形，根据等腰三角形的性质，得到，证明，证明即可； （3）根据题意，分类求解，注意等腰直角三角形的性质，中点坐标公式的应用． 【详解】（1）解：将变形为， ， 解得， 故点； 过点C作轴于点N，作轴于点M， 则四边形是矩形， ∴， ∵，， 轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴四边形是正方形， ∴， ∵点C的横坐标为n， ∴． ∴， ∴，， 故点，点． （2）证明：过点D作于点P，作于点Q， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，点D为边中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长到点，使得， ∵，， ∴， 此时是以为直角边的等腰直角三角形， 设点， ∵点，点， ∴， 解得， 故； 过点B作于点B，且满足，此时是以为直角边的等腰直角三角形， 过点作于点H，过点作于点R， 同（1）法可得： ， 故； 延长到点，使得， ∵，， ∴， 此时是以为直角边的等腰直角三角形， 设点， ∵点，点， ∴， 解得， 故； 综上所述，符合要求的点G有三个，分别是，，； 60．如图，正方形的对角线和相交于点O，O是正方形的一个顶点，交于点M，交于点N． (1)求证： (2)如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意得，又因为，，可得，根据可证明全等； （2）由（1）得，从而有，再根据．据此解答． 【详解】（1）证明：在正方形和中，，，， ，， ． 在和中， ， ． （2）解：， ∴ ， 61．如图，正方形中，点在对角线上． (1)求作正方形，使得为正方形的中心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作，交延长线于点G，然后尺规作出的垂直平分线，然后截取即可； （2）根据题意证明出，得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求； （2）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形，和相交于点 ∴，， ∴，即 ∴ ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得 又∵在中，由勾股定理得 ∴． 62．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①设，结合正方形的性质和三角形外角的性质可得，由矩形的性质可得．容易证明，则，，用三角形的内角和定理可计算出，则，命题得证； ②由可得，，进而可计算出，则，利用勾股定理计算出，进而求出的长； （2）连接，过点作的垂线，交直线于点，容易证明，则，因此是等腰直角三角形，计算得，由垂线段最短可得，就是的最小值． 【详解】（1）解：①证明：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形为正方形； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴； （2）解：如图，连接，过点作的垂线，交直线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值． 63．【模型建立】 (1)如图1，已知和，．用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 (2)如图2，在正方形中，点分别在对角线和边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合，即可证明结论； （2）过点作于点，过点作于点，由正方形的性质可得，且平分，进而可知均为等腰直角三角形，易得，进一步可得，再证明，由全等三角形的性质可得；证明四边形是正方形，进而可得，，，即，结合，即可证明结论． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，且平分， ∴，即均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形，是该正方形的对角线， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 64．数学问题：如图①，正方形中，点是对角线上任意一点，过点作，垂足为，交所在直线于点．探索与之间的数量关系，并说明理由． (1)特殊思考：如图②，当是对角线的中点时，与之间的数量关系是 ． (2)探究证明： ① 小明用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程． ② 请你用与（）不同的方法解决“数学问题”． 【答案】(1) (2)①，过程见解析 ②见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可证是等腰直角三角形，根据勾股定理可证； （2）①作，交的延长线于点，连接，可证四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形，利用勾股定理可证成立； ②作，且，连接、，可证是等腰直角三角形，利用勾股定理可证成立． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是正方形，是对角线的中点， ，， ， ， 点与点重合， ， ； （2）①解：如下图所示，作，交的延长线于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； ②解：如下图所示，作，且，连接、， 四边形是正方形， ，， ， 同理，， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． 65．正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4)，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，于点，然后证明，即可得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解，则，再证明，即可得到； （3）分两种情况讨论，即与的夹角为或与的夹角为，根据正方形的性质以及四边形内角和定理求解即可； （4）可得此时重合，由四边形是正方形，得到． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：在正方形中， ∴ ∵ ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴， ∴； （3）解：当与的夹角为时，即，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵在四边形中，，而 ∴； 当与的夹角为时，即，如图，设交于点， 由题意得， ∵ ∴ 综上：的度数为或； （4）解：，理由如下： 如图， ∵在正方形中，， 又∵点为的中点， ∴，即， ∵，点在射线上， ∴此时重合， ∵四边形是正方形， ∴． 66．已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质易证，根据全等三角形的性质推出，，求出，根据正方形的判定得出即可． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，，， 即，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 67．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3)“平分”正确，证明见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【详解】（1）①解：， ， 四边形是正方形， ， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； （3）解：平分成立． 证明如下：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 【点睛】本题中，3个小题均运用了添加辅助线，构造全等三角形，这是本类题常用的解题方法． 68．如图，正方形，是对角线上一动点，点不与点、点重合，，且，连接，，． (1)求证：； (2)请直接写出与之间的数量关系； (3)若，请直接写出长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)最小值为2 【分析】（）利用正方形的性质可得，利用余角性质可得，结合进而即可求证； （2）由（1）知，可得，，易证，由即可得出结论； （3）当时，有最小值，进而得到有最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 由（1）知， ∴，， ∵，即， ∴，即， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 当时，有最小值，进而得到有最小值， 此时，点为的中点，则， 由（2）知， ∴长度的最小值为． 69．学完《正方形》后，老师布置了一道作业题： 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） 爱思考的小华做完这道题后，想到老师在课堂上经常通过变条件、变结论、条件结论互换、变图形等多种方式对例题进行变式，以锻炼同学们的思维能力．于是他把原题中的“点为边的中点”改为“点为直线上任意一点（两点除外）”，其他条件不变，问：结论是否还成立．聪明的你，请和小华一起解答这道题目吧． (1)如图1，当点在边上时，结论是否还成立，并说明理由； (2)如图2，当点为反向延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点．若时，则的长为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）取，连接，说明是等腰直角三角形，再证明，可得答案； （2）在延长线上截取，连接，证明,得出，作于点，证明，得到，再利用勾股定理计算，即可解决问题． 【详解】（1）解：成立，理由如下， 取，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∵，，为正方形外角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 70．如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理． 由正方形的性质可知，，，．由题意可得出，即得出，从而可证明，得出，进而得出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴在中，． 题型四、十字架模型 71．如图，已知正方形的边长为12，，、交于点．则下列结论：①；②垂直平分；③；④中，正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ． 又， ， ， ，故①正确； 在中，，， ． 又，， ， ，， ，故②错误④正确； ， ， ，即，故③正确． 综上，正确的结论是①③④． 故选：． 72．如图，在正方形中，点、点分别在、上，且，若四边形的面积是1，的长为1，则正方形的边长为　　 A．1 B．2 C． D． 【解答】解：四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故选：． 73．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【解答】．A 【分析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解． 解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∴∠APQ=∠PQM， ∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC， ∴PM=AD， ∵∠D=∠PMQ=90°， ∴△PQM≌△ADE， ∴PQ=AE， 在 中，，AD=12， 由勾股定理得： ， ∴PQ=13． 故选：A． 74．如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（    ） A．2 B．2 C．6 D．5 【解答】D 【分析】作FH⊥AB于H，交AE于P，设AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再证明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根据S四边形AGEF=S△AGF+S△EGF求解即可 解：作FH⊥AB于H，交AE于P，则四边形ADFH是矩形，由折叠的性质可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO． 设AG=GE=x，则BG=3-x， 在Rt△BGE中， ∵BE2+BG2=GE2， ∴12+(3-x)2=x2， ∴x=． 在Rt△ABE中， ∵AB2+BE2=AE2， ∴32+12=AE2， ∴AE=． ∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF， ∴∠HAP=∠OFP， ∵四边形ADFH是矩形， ∴AB=AD=HF． 在△ABE和△FHG中， ， ∴△ABE≌△FHG， ∴FG=AE=， ∴S四边形AGEF=S△AGF+S△EGF = = = = =5． 故选D． 75.如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（　　） A． B．3 C． D． 【解答】C 【分析】设EF=FD=x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题． 解：∵将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处， ∴EF＝DE，AB＝AD＝6cm，∠A＝90° ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE＝3cm， 在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2， ∴（6﹣AF）2＝AF2+9 ∴AF＝ 故选C． 【点拨】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型． 76．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 【解答】B 【分析】连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠的性质，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解． 解：连接BP，取CD的中点M，连接PM， 由折叠可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG， 在Rt△BCG中，P是CG的中点， ∴BP＝PG＝GC， ∵Q是GH的中点， ∴QG＝GH， ∴△GPQ的周长＝PQ+QG+PG＝PM+GH+PB＝PM+PB+CD， ∵CD＝3， ∴△GPQ的周长＝PM+PB+， 当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小， 在Rt△BCM中，BM＝， ∴△GPQ的周长的最小值为. 故选B． 【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 77．如图，将一边长为的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长__________． 【解答】13 【分析】先过点P作PM⊥BC于点M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△AED，从而求出PQ=AE． 解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 又∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∵AD∥BC， ∴∠APQ=∠PQM， 则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD ∴△PQM≌△AED ∴PQ=AE==13． 故答案是：13． 【点拨】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 78．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝____． 【解答】. 【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，推出∠BAE＝∠EBH，根据全等三角形的性质得到CF＝BE＝2，求得DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理即可得到结论． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵BH⊥AE， ∴∠BHE＝90°， ∴∠AEB+∠EBH＝90°， ∴∠BAE＝∠EBH， 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴CF＝BE＝2， ∴DF＝5﹣2＝3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°， 由勾股定理得：AF＝＝＝． 故答案为． 【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明△ABE≌△BCF是解本题的关键． 79．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若MN＝4，则线段CN的长是____． 【解答】3 【分析】过点M作MH⊥CD于点H．连接DE，结合题意可知MN垂直平分DE，先通过证明△MHN≅△DCE得出DE＝MN＝，然后利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△ENC中利用勾股定理求出DN，最后进一步求出CN即可. 解： 如图所示，过点M作MH⊥CD于点H．连接DE． 根据题意可知MN垂直平分DE，易证得：∠EDC＝∠NMH，MH＝AD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴MH＝AD＝CD， ∵∠MHN＝∠C＝90°， ∴△MHN≅△DCE（ASA）， ∴DE＝MN＝， 在Rt△DEC中，， 设DN＝EN＝，则CN＝， 在Rt△ENC中，， ∴， 解得：， ∴CN＝， 故答案为：3． 【点拨】本题主要考查了正方形性质和全等三角形性质与判定及勾股定理的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 80．如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点，点重合）将正方形纸片折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于，折痕为，连接，.则的周长是______． 【解答】16. 【分析】解过点A作AM⊥GH于M，由正方形纸片折叠的性质得出∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，则EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，由垂直于同一条直线的两直线平行得出AM∥EG，得出∠EGA=∠GAM，则∠EAG=∠GAM，得出AG平分∠DAM，则DG=GM，由AAS证得△ADG≌△AMG得出AD=AM=AB，由HL证得Rt△ABP≌Rt△AMP得出BP=MP，则△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=16． 解：过点A作AM⊥GH于M，如图所示： ∵将正方形纸片折叠，使点A落在CD边上的G处， ∴∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG， ∴EG⊥GH，∠EAG=∠EGA， ∴AM∥EG， ∴∠EGA=∠GAM， ∴∠EAG=∠GAM， ∴AG平分∠DAM， ∴DG=GM， 在△ADG和△AMG中， ∴△ADG≌△AMG（AAS）， ∴AD=AM=AB， 在Rt△ABP和Rt△AMP中， ∴Rt△ABP≌Rt△AMP（HL）， ∴BP=MP， ∴△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=8+8=16， 故答案为16． 【点拨】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 81．如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且，和相交于点，在点、运动的过程中，当中某一个内角是另一个内角的2倍时，的面积为 　　． 【解答】解：正方形的边长为4， ． ， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． ， ． ． ． 中某一个内角是另一个内角的2倍， 或． 或． 过点作于点，如图， 当时，点与点重合， ， 的面积． 当时， ， ． 的面积． 综上，的面积为4或2． 故答案为：4或2． 82．如图，正方形的边长为10，、分别是、边上的点，，分别连接、，两线段交于一点，点、分别是、边上的中点． （1）当时，线段的长为 　　． （2）连结，当时，　　． 【解答】解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ， ， 点是边上的中点， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 是边上的中点， ． 故答案为：； （2）如图，延长交的延长线于点，连接并延长交于，连接， 同理可求， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 83．如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，．求证：． 【解答】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 84．（1）如图1，在正方形中，，相交于点且．则和的数量关系为 　　． （2）如图2，在正方形中，，，分别是边，，上的点，，垂足为．求证：． （3）如图3，在正方形中，，，分别是边，，上的点，，，，将正方形沿折叠，点的对应点与边上的点重合，求的长度． 【解答】解：（1），， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）如图1，过点作于点，则四边形为矩形， 则， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）如图2，连接， 、关于对称， ，过点作于点， 过点作于点，则， 由（2）同理可得：， ， ，， ， 又， ． 85．正方形中，点，，分别在，，上，与相交于点，． （1）求证：； （2）平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：． 【解答】（1）证明：过点作交的延长线于点，如图1， 四边形是正方形， ，， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：在上截取，如图2， 则是等腰直角三角形，， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， 即． 1．四边形为矩形，，若点F是上的点，E是延长线上的一点，，于点G， (1)求证： (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）根据题意可得矩形是正方形，利用“”证明全等即可； （2）结合全等三角形的性质证明是等腰直角三角形，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴的度数为． 2．在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在点处． (1)如图1，若四边形是正方形时，求正方形的面积； (2)如图2，若将直角三角形绕点P逆时针旋转一定的角度，两直角边与坐标轴正半轴交于点A和点B，求的值； (3)如图3，若将直角三角形绕点P逆时针旋转，使得与y轴负半轴相交于点B，与x轴交于点F；与x轴正半轴交于点A． ①试探究的数量关系； ②当点F是的中点时，直接写出点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）根据点，正方形的性质得到，由面积公式即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，作轴于点，证明，得到，则，由此即可求解； （3）①根据题意证明，得，由此即可求解； ②根据题意证明，得，结合即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是正方形， ∴， ∴正方形的面积为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，作轴于点， ∴四边形是正方形，，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图所示，过点作轴于点，作轴于点， 同（2）可得，， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ②当点F是的中点时，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN； 【解答】（1）见分析；（2）见分析； 【分析】（1）根据正方形的性质得AB=BC，，用SAS证明，得，根据三角形内角和定理和等量代换即可得； （2）过点B作，交AN于点H，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS证明，得，根据角平分线性质得，则是等腰直角三角形，用SAS证明，得AH=CN，在中，根据勾股定理即可得； 解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC，， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点B作，交AN于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AC，， ∵， ， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴, ∴， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∵AN平分， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴BH=BN， 在和中， ∴（SAS）， ∴AH=CN， 在中，根据勾股定理 ， ∴； 4．如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG． （1）当AG=1时，求EG的长； （2）当AG的值等于 时，BE=8－2DF； （3）过G点作GM⊥EG交CD于M ①求证：GB平分∠AGM；  ②设AG=x，CM=y，试说明的值为定值． 【解答】（1）；（2）（3）①见分析；②，理由见分析 【分析】（1）根据EF是线段BG的垂直平分线，BE=EG，设EG=EB=x，则AE=AB-BE=4-x，再由勾股定理求解即可； （2）过点F作FH⊥AB于H，连接FB，FG，由BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，得到BE=2CF，先证明四边形BCFH是矩形，得到CF=HB，则BH=EH=FC，设AG=x，BE=y，则AE=4-y，GD=4-x，CF=，由，，，可以得到①，②，联立①②求解即可得到答案； （3）①先证明∠EBG=∠EGB，然后根据ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=90°，即可得到∠AGB=∠BGM； ②连接BM，过点B作BH⊥GM，由角平分线的性质得到BH=AB=4，由，可以得到，由勾股定理可以得到即，最后解方程即可得到答案． 解：（1）∵EF是线段BG的垂直平分线， ∴BE=EG， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB=4，∠A=90°， 设EG=EB=x，则AE=AB-BE=4-x， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）如图所示，过点F作FH⊥AB于H，连接FB，FG ∵EF是线段BG的垂直平分线， ∴BF=FG， ∵BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF， ∴BE=2CF， ∵四边形ABCD是正方形，FH⊥AB， ∴∠HBC=∠C=∠BHF=90°， ∴四边形BCFH是矩形， ∴CF=HB， ∴BH=EH=FC， 设AG=x，BE=y，则AE=4-y，GD=4-x，CF=， ∵，，， ∴①，②， 联立①②解得或（舍去）， ∴当时，BE=8-2DF， 故答案为：； （3）①∵EF是线段BG的垂直平分线， ∴EG=BE， ∴∠EBG=∠EGB， ∵四边形ABCD是正方形，EG⊥GM， ∴∠A=∠EGM=90°， ∴∠ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=90°， ∴∠AGB=∠BGM， ∴BG平分∠AGM； ②如图，连接BM，过点B作BH⊥GM， 由（3）①得BG平分∠AGM， ∴BH=AB=4， ∵AG=x，CM=y， ∴DG=4-x，DM=4-y， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴（不符合题意）， ∴ ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $