培优02 四边形中的动点问题4大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题02 四边形中的动点问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 平行四边形与动点问题 1 题型二、 矩形与动点问题 5 题型三、 菱形与动点问题 11 题型四、 正方形与动点问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形与动点问题 1．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 2．如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 3． 如图， 在四边形中，，，，，， 动点P从点B 出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A 出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D 运动，当动点Q到达点D时，动点 P也同时停止运动．设点 P的运动时间为t（秒）． 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B． C．或 D． 4．如图，在四边形 中， ，，，动点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点P，M在运动中会存在一个时刻，使得，正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．③ 5．如图，中，，动点E从A出发，以的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（    ） A． B．或 C．8s D．8s或12s 6．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 7．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 8．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 9．如图，在四边形中，，动点P从点A出发，以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当点P运动______秒时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形．    10．如图，在中，，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点同时停止运动，连结．设运动时间为秒．当平分的面积时，则__________． 11．如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动． (1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示) (2)当动点Q运动t秒时， ① 若，则________；(用含t的代数式直接表示) ② 若，则________；(用含t的代数式直接表示) (3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？ 12．如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 13．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 14．（1）如图1，在四边形中， ，，，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形变为平行四边形． （2）如图2，若四边形变为平行四边形，，动点P从A点出发．以每秒1cm的速度沿线段向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．    15．如图，在四边形中，，，，若动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度沿方向运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题： (1)设点、同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，四边形变为平行四边形． (2)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设、两点同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，以，，，B四点组成的四边形是平行四边形．请直接写出答案． 题型二、矩形与动点问题 16．如图，将一长方形纸片放在平面直角坐标系中，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿向点O运动，同时动点Q从点O出发沿向点C运动，运动3秒后，点P和点Q同时停止运动．此时再将沿翻折，点O恰好落在边上的点D处．下列说法：①；②点D的坐标为；③动点Q的运动速度为每秒个单位长度；④点E是长方形边上的一个动点，当是以为底边的等腰三角形时，点E点的坐标为或．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 17．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 18．如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 20．如图，在矩形中，，点E是边上一动点，点F是上一动点，且，点G是边上一动点，连接，当是等腰直角三角形时，的长是___________． 21．如图，在矩形中，，点P是边上一动点（在边上自由移动），点E是边上一动点，点F是边上一动点，点E从点A出发，以的速度向点D运动，点F从点A出发，以的速度向点B运动，当其中任意一点到达终点时，另一点也停止运动；连接，，，当以点P，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形时，则运动的时长为______． 22．如图，矩形中，，，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，若点在线段上，且，若动点，同时出发，点运动到点时两点同时停止，经过________秒钟，点，，，组成平行四边形． 23．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．    24．已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 25．如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)写出的长（用含的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时，______． (3)若点到达点后，以原速度的2倍返回到点，同时点以原速度继续向点运动．在点的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点关于点的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 26．如图，在四边形中，，，，，并且，满足，回答下列问题： (1) ， ． (2)若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度沿方向运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设点、同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，四边形是矩形． (3)若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设、两点同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 27．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的式子表示：和； (2)当四边形是矩形时，求出的值； (3)某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积． 28．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 29．如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连接，过点作的垂线交射线于点，连接． (1)求的大小； (2)问题探究：动点M在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由． (3)问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度． 30．如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）．    (1)用含t的式子表示：______，______； (2)运动过程中，无论t为何值，四边形的面积______； (3)当四边形是矩形时，求出t的值． 31．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形ABQP是矩形 B．当时，四边形PQCD是平行四边形 C． D．当时，四边形PQCD是菱形 题型三、菱形与动点问题 32．如图，在菱形中，，，，点是边上的动点，点是线段上的动点，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 33．如图，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动．若运动秒后，四边形是平行四边形，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 34．如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动．点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形矩形平行四边形菱形 B．平行四边形菱形平行四边形菱形 C．菱形矩形平行四边形菱形 D．菱形平行四边形矩形平行四边形 35．如图，在菱形中，，．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿方向向点运动，同时，动点从点出发沿方向向点运动，它们同时到达目的地，则运动到（    ）秒时． A．3或 B．3 C． D．5 36．在矩形中，，E，F是对角线上的动点，且，M，N分别是边，边上的动点，下列说法正确的是 ________ ． ①存在无数个平行四边形； ②当，且四边形是矩形，的长为4； ③当四边形是菱形时，的长度为3； ④不存在正方形． 37．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为的动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则．其中正确的有______（填序号）． 38．如图，在菱形中，交于点，动点从出发沿方向以每秒2cm的速度匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒1cm的速度匀速直线运动到，若同时出发，问出发后______s时，点与点的距离为3cm． 39．如图，在矩形中，边长，边长，对角线的垂直平分线分别与相交于点和相交于点O，动点分别从两点出发，分别绕和运动，点P的速度为，路径为．点Q的速度为，路径为两个动点返回起点后均停止运动．若点P和点Q同时出发，当四边形为平行四边形时，所用时间为______s． 40．如图，矩形中，，，一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，．当______时，四边形是菱形．    41．如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 42．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)用含有的代数式表示：______，______，______； (2)当为何值时，四边形是矩形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 43．【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 44．如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长． (2)求当t为何值时，分别满足下面的条件： ①； ②． (3)如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 45．如图，在四边形中，动点从点出发，以的速度向点B运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)当为多少秒时，四边形是矩形； (3)在点运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 题型四、正方形与动点问题 46．如图，在平行四边形中，，，是对角线上的动点，且，分别是边，边上的动点． 下列四种说法中正确的是（    ） ①存在无数个平行四边形；    ②存在无数个矩形； ③存在无数个菱形；            ④存在无数个正方形． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 47．如图，在中，、是对角线上的动点，且，、分别是边，上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 49．如图，在正方形中，，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 50．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为平行四边形 B．当时，四边形为菱形 C．当时，四边形为矩形 D．当时，四边形为正方形 51．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 52．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第次相遇点的坐标是（   ）      A． B． C． D． 53．如图，正方形中，平分，点在边上，且．连接交于点，交于点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，连接，．下列四个结论：①；②；③；④，一定成立的有(   )个． A．1 B．2 C．3 D．4 54．如图，正方形的面积为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接、，点和点在运动的过程中始终保持，则的周长（   ） A． B．8cm C．6cm D．4cm 55．在边长为的正方形中，为对角线上一动点，为直线上一动点，，若点从点出发，沿方向移动到停止，则此过程中的中点移动的路径长______． 56．如图，在中，，动点P以每秒的速度从点A向点D运动．另一动点Q以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为______秒．    57．【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 58．已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 1．如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 2．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 3．综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； (2)【深入探究】 E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 4．问题提出 （1）如图1，在中，已知，为边上一动点，，则的最小值为______． 问题探究 （2）小哲同学喜欢探究生活中的数学问题，学习完轴对称的知识以后，他将一张正方形纸片沿着对角线对折，根据轴对称图形的定义来判断，得到结论：正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是正方形的一条对称轴．他尝试利用这一结论解决问题：如图2，正方形的边长为4，为的中点，为对角线上的动点，为上的动点，请求出的最小值．请你解决小哲提出的问题． 问题解决 （3）如图3，这是某公园的一块四边形市民健身场地，公园管理部门在内规划设置体育锻炼区域，在内设置合唱团训练区域，在处修建养生小路，要求尽可能的长，其中，，，．已知铺设小路的费用是每米1600元，请你计算铺设小路的费用最多需要花费多少钱． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形中的动点问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 平行四边形与动点问题 1 题型二、 矩形与动点问题 18 题型三、 菱形与动点问题 43 题型四、 正方形与动点问题 66 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形与动点问题 1．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 2．如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， ∴当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图：   ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：B． 3． 如图， 在四边形中，，，，，， 动点P从点B 出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A 出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D 运动，当动点Q到达点D时，动点 P也同时停止运动．设点 P的运动时间为t（秒）． 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒个单位，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 4．如图，在四边形 中， ，，，动点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点P，M在运动中会存在一个时刻，使得，正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．③ 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含t的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 根据题意，表示出和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可；根据梯形的面积确定出，列方程即可判断． 【详解】解：根据题意，可得， ， ， 当四边形为矩形时，， 即， 解得：，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即， 解得：，故②不正确； 当时，四边形是平行四边形，； 或四边形是等腰梯形，此时， 过点作于点，过点作于点，如图所示， 则， ， ， ， ， 又， ， 又， 解得：， 综上可得，当时，或，故③正确； ∵， 当时，， 此时，无解， 故，④错误， 故选：D． 5．如图，中，，动点E从A出发，以的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（    ） A． B．或 C．8s D．8s或12s 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．过点D作于点G，由，可得是等腰直角三角形，过点F作于点H，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得，，然后列方程求出t的值即可． 【详解】解：在中，， 如图，过点D作于点G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作于点H，则：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由题意可知：， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴的长为时，点E的运动时间是8s， 由题意可知，点E运动最大时间为11s. 故选：C． 6．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 7．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 8．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 9．如图，在四边形中，，动点P从点A出发，以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当点P运动______秒时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形．    【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理熟练掌握相关性质和判定和解题的关键．过点B作于H，证明四边形是矩形，结合勾股定理求得，只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于H，    ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得，， Q在上运动时间为， ， Q运动时间最长为， 当点Q在上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形， 当时，Q在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示：    即， 只需， 由题意得，，，， ， 解得， ②四边形是平行四边形，如图所示：    ， 只需，四边形是平行四边形， ， ， 解得． 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 故答案为：或． 10．如图，在中，，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点同时停止运动，连结．设运动时间为秒．当平分的面积时，则__________． 【答案】或或 【分析】本题考查平行四边形的性质，中心对称：由平行四边形的性质，中心对称的性质得到，分三种情况讨论即可解决问题． 【详解】如图，连接交于点O， ∵平分的面积，是中心对称图形， ∴经过的中心，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． ∴当平分的面积时，或或． 故答案为：或或． 11．如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动． (1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示) (2)当动点Q运动t秒时， ① 若，则________；(用含t的代数式直接表示) ② 若，则________；(用含t的代数式直接表示) (3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)； (2)①；② ； (3)t为3秒或7秒时． 【分析】（1）根据题意得：，，即可得出答案； （2）①若，，，即可得出；② 若，，，即可得出； （3）分别从当Q运动到E和C之间和当Q运动到E和B之间，去分析求解即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）解：①若，，， ∴， 故答案为：； ② 若，，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示： ∵E是的中点， ∴， ① 当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则： ， 解得：， ② 当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则： ， 解得：， ∴运动时间为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查梯形的性质以及平行四边形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想，分类讨论思想与方程思想的应用． 12．如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【答案】(1)动点同时出发，经过8秒钟两点相遇 (2)当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分 (3)点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用． （1）相遇时，和所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答． （2）存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，根据四边形是平行四边形，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，推出，列方程即可得到结论； （3）因为按照的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，—直在上运动，当点运动到边上的时候，点、才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当到点时以及在上时，所以要分情况讨论． 【详解】（1）解：设秒时两点相遇， ∵在中，， ， ∴的周长， ∴，解得， ∴动点同时出发，经过8秒钟两点相遇； （2）解：存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵，即， ∴， ∴当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分； （3）解：由（1）知，点一直在上运动，所以当点运动到边上的时候，点、、、才可能组成平行四边形，所以， 设经过秒，四点可组成平行四边形． 分两种情形： ①当点在点右侧， 如图2：此时，则四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ②当点在点与点之间，，解得， ∴点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形． 13．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． （2）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 14．（1）如图1，在四边形中， ，，，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形变为平行四边形． （2）如图2，若四边形变为平行四边形，，动点P从A点出发．以每秒1cm的速度沿线段向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．    【答案】（1）时，四边形变为平行四边形；（2）时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【分析】（1）四边形为平行四边形时，则，列出方程即可求出答案． （2）由题意知，，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，，列出方程即可求出答案． 【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，则， ，解得， 时，四边形变为平行四边形； （2）由题意知，， ， 当以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，， 当时，， 解得舍去； 当时．， ，解得； 综上所述：时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握动点的运动轨迹是解题的关键． 15．如图，在四边形中，，，，若动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度沿方向运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题： (1)设点、同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，四边形变为平行四边形． (2)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设、两点同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，以，，，B四点组成的四边形是平行四边形．请直接写出答案． 【答案】(1)时 (2)或或 【分析】当四边形为平行四边形时，则，列出方程即可解决问题； 根据题意知，分或或三种情形，分别表示出的长，进而解决问题． 【详解】（1）解：当四边形为平行四边形时， 则， ， 解得， 时，四边形变为平行四边形； （2）由题意知，(cm)，(cm)， (cm)， 当以，，，B四点组成的四边形是平行四边形时，， 当时，， 解得舍去； 当时，(cm)， ， 解得； 当时，(cm)， ， 解得； 当时，(cm)， ， 解得， 综上所述：或或，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，运用分类思想分别表示出的长是解题的关键． 题型二、矩形与动点问题 16．如图，将一长方形纸片放在平面直角坐标系中，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿向点O运动，同时动点Q从点O出发沿向点C运动，运动3秒后，点P和点Q同时停止运动．此时再将沿翻折，点O恰好落在边上的点D处．下列说法：①；②点D的坐标为；③动点Q的运动速度为每秒个单位长度；④点E是长方形边上的一个动点，当是以为底边的等腰三角形时，点E点的坐标为或．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】本题考查翻折变换，等腰三角形判定，矩形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 作线段的垂直平分线交于点E，交于点，连接，，过点P作于点H．利用翻折变换的性质求出，即可判定①②正确；求出，即可判断③错误，利用勾股定理构建方程求出点E，的坐标，即可判断④错误． 【解答】解：如图，作线段的垂直平分线交于点E，交于点，连接，，过点P作于点H， 当时，， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴， ∴， ∴，故②正确． 设，则有， 解得， ∴， ∴点Q的运动速度为单位长度/秒，故③正确， ∵垂直平分线段， ∴，设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴当是以为底边的等腰三角形时，点E的坐标为或，故④错误． 故选：B． 17．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 18．如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】用含t的式子表示出，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有1个． 19．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 【答案】4或6或8 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的分类讨论等知识点，掌握通过构造全等三角形转化线段关系、列方程求解，以及对等腰直角三角形直角顶点的分类讨论方法是解题的关键． 设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时，可证得， ． ， 解得． ②如图②，当，且时，过点作于点， 在 和 中， ∴， ， ， 解得． ③如图③，当，且时，过点作于点， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 20．如图，在矩形中，，点E是边上一动点，点F是上一动点，且，点G是边上一动点，连接，当是等腰直角三角形时，的长是___________． 【答案】或2或 【分析】此题考查的是等腰直角三角形的性质、矩形的性质和全等三角形的判定及性质． 设，则，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，利用矩形的性质和全等三角形的判定及性质分别列出方程即可求出结论． 【详解】解：设，则， ①若中，，时，如下图所示 ∵四边形为矩形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 即； ②若中，，时，如下图所示，过点G作于M 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 即； ③若中，，时，如下图所示，过点F作于H 易知：，，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得： 即； 综上：的长为或2或 故答案为：或2或． 21．如图，在矩形中，，点P是边上一动点（在边上自由移动），点E是边上一动点，点F是边上一动点，点E从点A出发，以的速度向点D运动，点F从点A出发，以的速度向点B运动，当其中任意一点到达终点时，另一点也停止运动；连接，，，当以点P，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形时，则运动的时长为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，一元一次方程的几何应用，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出，根据以点P，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，故进行分类讨论，则当且时，或当且时，或当且时，并且逐个情况作图，运用全等三角形的判定与性质，再列式计算，即可作答． 【详解】解：设运动时间为， ∵点E从点A出发，以的速度向点D运动，点F从点A出发，以的速度向点B运动， ∴． ①如图1，当且时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∵， 解得； ②如图2，当且时， 过点作于点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， 6， 解得； ③如图3，当且时，过点作于点 同理证明， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， 则， 解得． 综上所述，运动的时长为或或 故答案为：或或 22．如图，矩形中，，，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，若点在线段上，且，若动点，同时出发，点运动到点时两点同时停止，经过________秒钟，点，，，组成平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质，分两种情况，求解即可； 【详解】解：点运动到点时两点同时停止， 可知， ①如图，点在点右侧时，当时， 四边形为平行四边形， 得：， 解得， ②如图2，点在点左侧时，当时， 四边形为平行四边形， 得：， 解得， 所以，经过秒或秒，点、、、组成平行四边形； 故答案为：或 23．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．    【答案】 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 24．已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【答案】(1)从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 (2)从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质． （1）设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得； （2）当时，四边形是矩形．建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． （2）解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 25．如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)写出的长（用含的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时，______． (3)若点到达点后，以原速度的2倍返回到点，同时点以原速度继续向点运动．在点的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点关于点的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②的面积是面积的时的值为或或． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，得到，即，求解即可； （3）①分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，， ， ∵动点从点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿的路径运动， ∴点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ． （2）解：依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，如图： ， ， 解得：， 故答案为：； （3）解：①点到达点后，以原速度的 2 倍返回到点的时间为：， 长方形的周长为：． 当平分周长时，， 当时，， 解得：， 当时，． 解得：； ②当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，， 如图：     ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 综上，的面积是面积的时的值为或或． 26．如图，在四边形中，，，，，并且，满足，回答下列问题： (1) ， ． (2)若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度沿方向运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设点、同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，四边形是矩形． (3)若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设、两点同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1)6，8 (2)当x为2秒时，四边形是矩形； (3)当t为1秒或秒或秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据二次根式定义即可解决问题； （2）根据题意可得，所以，当四边形是矩形，，进而列方程即可解决问题； （3）当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，，分3种情况列式计算即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6，8； （2）解：根据题意可知：， ∴， 当四边形是矩形时，， ∴， 解得， 答：当x为2秒时，四边形是矩形； （3）解：根据题意可知：， ∴， 当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，， ①当时，，， ∴， 解得； ②当时，，， ∴， 解得； ③当时，，， ∴， 解得； 综上所述：当t为1秒或秒或秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了二次根式定义，平行四边形的判定，矩形的性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 27．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的式子表示：和； (2)当四边形是矩形时，求出的值； (3)某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积． 【答案】(1)， (2)2 (3)24 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识； （1）先根据矩形的性质求出，进而可得答案； （2）根据矩形的性质可得，即，解方程即得答案． （3）根据梯形面积公式解答即可； 【详解】（1）解：∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，， （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2． （3）解：， ∴无论为何值，四边形的面积都不变，面积为． 28．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 29．如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连接，过点作的垂线交射线于点，连接． (1)求的大小； (2)问题探究：动点M在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由． (3)问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度． 【答案】(1)； (2)能，满足条件的的值为10或； (3)． 【分析】（1）取的中点O，连接，利用直角三角形的性质求得，证明是等边三角形，据此计算即可解决问题； （2）分两种情形：当时，当时，分别求解即可； （3）首先证明是等边三角形，再证明垂直平分线段，解直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，取的中点O，连接， ∵矩形，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图一（1）中，当时， ∵，，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图一（2）中，当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的值为10或； （3）解：如图二中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴，，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 30．如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）．    (1)用含t的式子表示：______，______； (2)运动过程中，无论t为何值，四边形的面积______； (3)当四边形是矩形时，求出t的值． 【答案】(1)cm，cm (2)24 (3)2 【分析】（1）先根据矩形的性质求出，进而可得答案； （2）根据梯形面积公式解答即可； （3）根据矩形的性质可得，即，解方程即得答案． 【详解】（1）∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得，cm， ∴cm， ∴cm，cm， 故答案为：cm，cm； （2）由题意知，， 故答案为：24； （3）∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、准确表示相关线段是解题的关键． 31．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形ABQP是矩形 B．当时，四边形PQCD是平行四边形 C． D．当时，四边形PQCD是菱形 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，勾股定理．根据的值，分别计算出相关线段的长度，进而根据平行四边形，矩形，以及菱形的性质进行判断A,B,D，C选项，过点作于点，先求得，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】根据题意得：，， ，，， ，， 在四边形中，，， A. 当时，, ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形，故A正确，不符合题意； B. 当时，， ∴ 又，则 ∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； C. 如图，过点作于点 ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 在中，，故C正确，不符合题意 D. 当时，,, ∴则四边形不是菱形，故D选项错误，符合题意， 故选：D． 题型三、菱形与动点问题 32．如图，在菱形中，，，，点是边上的动点，点是线段上的动点，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过B作交延长线于H，过E作交延长线于G，则，根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、、；如图：过作交于，易说明，即共线且垂直于；再证明四边形是矩形可得，进而得到、，最后运用勾股定理求得的长即可解答． 【详解】解：如图：过B作交延长线于H，过E作交延长线于G， 则， ∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图：作点E关于的对称点，过作交于， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴共线且垂直于， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选A． 33．如图，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动．若运动秒后，四边形是平行四边形，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握性质是解题的关键．由菱形的性质得，可知当时，四边形是平行四边形，因为，所以，解方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 34．如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动．点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形矩形平行四边形菱形 B．平行四边形菱形平行四边形菱形 C．菱形矩形平行四边形菱形 D．菱形平行四边形矩形平行四边形 【答案】D 【分析】根据题意，分几个运动过程分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【详解】解：分几个运动过程分别讨论： ①当点E，F在点O准备出发时，如图，连接，    ∵四边形是矩形， ∴， 由轴对称可得，，，， ，，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴四边形是菱形； ②点E，F离开点O运动时， ∵当点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴ 由对称可得， ∴， 同理， ∴，即 ∴四边形是平行四边形， ③连接，，当时， ∵由对称可得，， 又， ∴， ∴， 由②可知四边形是平行四边形， ∴此时四边形是矩形； ④点E，F继续运动，则四边形是平行四边形； ⑤当运动结束，即分别与重合时，如图    此时点E，，B三点重合，点F，，D三点重合， 由对称有，， ∴，即， 由对称有，， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形， 故选：D 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 35．如图，在菱形中，，．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿方向向点运动，同时，动点从点出发沿方向向点运动，它们同时到达目的地，则运动到（    ）秒时． A．3或 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】分两种情形求解即可：①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3秒；②如图1中，当OP=PQ时，想办法构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AO=CO，BC//AD， ∵， ∴∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形，∠BAO=∠DAO=30°， ∴BO=AB=3， ∴CO=AO=， 设点Q的运动速度为x单位/秒，由题意得 ， 解得x=， 经检验x=符合题意． ①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3÷=3秒； ②如图1中，当OP=PQ时，作PH⊥OA于H，则QH=OH． 在Rt△APH中，PA=t，∠PAH=30°， ∴PH=t， ∴AH=t， ∴OH=3-t， ∵QH=（t-3）， ∴（t-3）=3-t， 解得t=， 综上所述，当t=3秒或秒时，OP=PQ． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 36．在矩形中，，E，F是对角线上的动点，且，M，N分别是边，边上的动点，下列说法正确的是 ________ ． ①存在无数个平行四边形； ②当，且四边形是矩形，的长为4； ③当四边形是菱形时，的长度为3； ④不存在正方形． 【答案】①②③ 【分析】根据四边形为矩形，可得，又，故，只需使，即可使四边形为平行四边形，故有无数个平行四边形，可判断①；由已知可得．当时，可得，又四边形是矩形，则，，此时易知，故，此时，可判断②；当四边形是菱形时，由菱形性质可得，由矩形的性质结合勾股定理求出，可判断③；只需要，，，则四边形为正方形，存在符合要求的正方形，可判断④． 【详解】解：如图1所示，连接与交于点O，连接、、、， ∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， 只需使，即可使四边形为平行四边形， 又∵E，F是对角线上的动点， 故存在无数个平行四边形，故①正确； ∵， ∴，． 当时，如图2所示， ∴， 又∵四边形是矩形， 则，，此时易知， 故，此时， 故②正确； 当四边形是菱形时，如图3所示，作于， 由菱形性质可得， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故，故③正确； 只需使，，，则四边形为正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故④错误． 综上，正确的序号有：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 37．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为的动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则．其中正确的有______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】利用菱形的性质可证明为等边三角形，以及，则可得到，再利用等边三角形的性质和勾股定理可判断①②；在上截取，连接，可证明得到，则可推出当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可判断③；根据含30度角的直角三角形的性质得到，，据此可得判断④；． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，， ∴，，故①②正确； 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③错误； ∵，， ∴， ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 38．如图，在菱形中，交于点，动点从出发沿方向以每秒2cm的速度匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒1cm的速度匀速直线运动到，若同时出发，问出发后______s时，点与点的距离为3cm． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，设出发后x秒时，点与点的距离为3cm，根据题意得：，进而可得出答案． 【详解】解：∵菱形中，， ∴，，， 设出发后x秒时，点与点的距离为3cm， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵动点从出发沿方向以每秒2cm的速度匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒1cm的速度匀速直线运动到， ∴， 故答案为：． 39．如图，在矩形中，边长，边长，对角线的垂直平分线分别与相交于点和相交于点O，动点分别从两点出发，分别绕和运动，点P的速度为，路径为．点Q的速度为，路径为两个动点返回起点后均停止运动．若点P和点Q同时出发，当四边形为平行四边形时，所用时间为______s． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，需要进行分类讨论，画出图形，运用平行四边形的性质才能得出结果． 证明，得出，再根据，证明四边形是菱形．设菱形的边长，则．在中，由勾股定理，算出，即得到，由作图可以知道，点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上，也不可能构成平行四边形．只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形．即可确定当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，，由此列方程即可； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵垂直平分， ∴． 在和中， ， ， ∴． ， ∴四边形是菱形． 设菱形的边长，则． 在中，， 由勾股定理，得， 解得． ， 由作图可以知道，点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上，也不可能构成平行四边形． ∴只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形． 当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． ∵点的速度为，点的速度为，运动时间为， ， ， 解得． ∴以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 40．如图，矩形中，，，一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，．当______时，四边形是菱形．    【答案】/ 【分析】由垂直得，在中，，由，可得，再证明四边形是平行四边形，当时，四边形为菱形，再建立方程即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴； ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即当时，四边形为菱形； 故答案为： 【点睛】本题考查动点问题、菱形的判定与性质及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键． 41．如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)的值为2或6或 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据直角的不同分情况讨论求解． （1）先根据菱形的性质得出，再根据，可得为等边三角形，从而可得出； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，从而可得为直角三角形，再利用勾股定理求得，然后利用求解； （3）分，，三种情况，分别得到关于的一元一次方程求解，求得的值． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为 ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为； （2）如图1，12秒后点走过的路程为， 则12秒后点到达点， 即点与点重合； 12秒后点走过的路程为，而， ∴点到点的距离为， 此时点到达的中点，即点为的中点 是等边三角形，而为中线， ， 为直角三角形， 在中， ； （3）为等边三角形， ， 经过3秒后，点运动的路程为、点运动的路程为， 点从点开始运动， ∴， 点为的中点， ∴， ①若，且点在上，如图1， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ②若，且点在上，如图2， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ③若，即， ， 点在的垂直平分线上， 此时点在点处， ， ， ， 综上所述，的值为2或6或． 42．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)用含有的代数式表示：______，______，______； (2)当为何值时，四边形是矩形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)四边形不能成为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，掌握矩形的判定和性质以及菱形的性质是解题的关键． （）由题意得，，进而即可求解； （）由矩形的性质可得，进而即可求解； （）由菱形的性质可得，即得，可得，过点作于， 则四边形是矩形， 可得， ，即得，由勾股定理得，即可判断求解； 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵，， ∴，， 故答案为：，，； （2）解：∵在四边形中，，， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得， 即当时，四边形是矩形； （3）解：四边形不能成为菱形，理由如下： 若四边形是菱形，则， ∴， 解得， ∴， 过点作于，则四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形不能成为菱形． 43．【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；[方法运用] ；[拓展迁移] 【分析】（1）由已知条件得，即可得． （2）连接，过点F作，交延长线于点G，求出，，,得，由，可得 ，故的最小值即为． [方法运用] 连接，设交于点O，证明，可得，可得，得，得，即得的最小值是． [拓展迁移]过点A作，使，连接，证明，可得，证明，，得，得的最小值是． 【详解】（1）证明：∵过点作，使，连接． ∴． ∵， ∴． （2）解：连接，过点F作，交延长线于点G． 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． [方法运用]连接，设交于点O． ∵菱形中，，， ∴与都是等边三角形． ∴．， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是的长． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． [拓展迁移] 过点A作，使，连接． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是线段的长． ∵， ∴． ∴． ∵等边中，， ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，等边三角形性质，勾股定理，全等三角形的判断和性质，菱形性质，是解题的关键． 44．如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长． (2)求当t为何值时，分别满足下面的条件： ①； ②． (3)如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② (3)存在，t的值为6或 【分析】（1）根据时间、速度、路程之间的关系即可求解； （2）①证明四边形为平行四边形，则，设动点的运动时间为秒，则，，列方程并解方程即可求出答案；②证明四边形是矩形，则，据此列方程并解方程即可求出答案； （3）假设在线段上存在一点，使得使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形，分两种情况，画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴； （2）连接，如图所示， 若， ∵ ∴四边形为平行四边形， ， 设动点的运动时间为秒，则，， ， 解得：，符合题意， 当，满足； ②∵， ∴与之间的距离为， 当时，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ 解得 （3）解：t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形． 理由如下：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，，如图， 设动点的运动时间为秒，则， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 此时，， 当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形． 第二中情况如图， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， 综上可知，t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，解题关键是能正确建立方程． 45．如图，在四边形中，动点从点出发，以的速度向点B运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)当为多少秒时，四边形是矩形； (3)在点运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出解出即可得出答案． （2）由矩形的性质得出解出即可得出答案． （3）由菱形的性质可求求出由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）当四边形是平行四边形时， （2）∵在梯形中， ∴当时，四边形是矩形， ∴当时，四边形是矩形． （3）如图，若四边形是菱形，则 在中， 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等，熟练运用方程的思想方法是解此题的关键． 题型四、正方形与动点问题 46．如图，在平行四边形中，，，是对角线上的动点，且，分别是边，边上的动点． 下列四种说法中正确的是（    ） ①存在无数个平行四边形；    ②存在无数个矩形； ③存在无数个菱形；            ④存在无数个正方形． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形、菱形以及正方形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题关键．连接、，、、交于点，由平行四边形的性质可得，再根据平行四边形、矩形。菱形、正方形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：如图，连接、，、、交于点， 四边形是 平行四边形， ，， ， ， 只需，四边形是平行四边形， 即存在无数个平行四边形，①正确； 只需，，四边形是矩形， 而是对角线上的动点，即存在无数个矩形，②正确； 只需，，四边形是菱形， 而是对角线上的动点，即存在无数个菱形，③正确 只需，，，四边形是正方形， 此时符合要求的正方形只有一个，不存在无数个，④错误， 故选：B 47．如图，在中，、是对角线上的动点，且，、分别是边，上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点，作出合适的辅助线是解题的关键．连接交于点，连接、、、，，根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，对题目中的说法逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接、、、，， ， ，，， ， ， 当过点时，， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 只要过点，四边形是平行四边形， 存在无数个平行四边形，故①正确； 只要过点，且，四边形是矩形， 存在无数个矩形，故②正确； 只要过点，且，四边形是菱形， 存在无数个菱形，故③正确； 只要过点，且，四边形是正方形， 符合要求的正方形只有1个，故④错误； 正确的有①②③，正确的个数是3个． 故选：C． 48．如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据题意分四种情况画出图形，然后根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图： ① 当时，，即，解得：； ② 当时，，即，解得：； ③ 当时，，此时，解得：； ④ 当时，，此时P与重合，，解得：． 综上，C选项符合题意． 故选C． 49．如图，在正方形中，，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的判定和性质，勾股定理等知识，在上取点关于的对称点，连接，交于点 ，证出，得到，四边形为正方形    ，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，在上取点关于的对称点，连接，交于点      ∴在与中 ∴ ∴ ∴ 三点共线     ∴四边形为矩形 ∴ 同理 ∴ ∴为直角三角形 ∴ 故选：D． 50．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为平行四边形 B．当时，四边形为菱形 C．当时，四边形为矩形 D．当时，四边形为正方形 【答案】B 【分析】当时，四边形为平行四边形，列方程求出t的值，可判断A；当时，四边形为平行四边形，再根据求t的值，可判断B；根据当时，四边形为矩形，列方程求出t的值，可判断C；当时，四边形为矩形，再根据列方程求出t的值，可判断D． 【详解】解：A． ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，故A不符合题意； B． 由A知，当时，四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． 作于点H，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B符合题意； C．∵，， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴，故C不符合题意； D． ∵当时，四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形， ∴，故不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握判定方法是解答本题的关键． 51．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 【答案】D 【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可． 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∴，， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键． 52．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第次相遇点的坐标是（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为和，、的速度和是，求得每一次相遇的地点，然后找出规律即可解答． 【详解】解：，，，， ，，即， 经过秒钟时，与在处相遇， 接下来两个点走的路程为的倍数时，两点相遇， 第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在 第五次相遇在， 第六次相遇在点 每五次相遇点重合一次， ， 即第次相遇点的坐标与第一次相遇点的坐标重合，即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律是解答问题的关键． 53．如图，正方形中，平分，点在边上，且．连接交于点，交于点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，连接，．下列四个结论：①；②；③；④，一定成立的有(   )个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由SAS可证明△FAB≌△EBC，得到∠FBA＝∠ECB，求出∠BEC＋∠FBA＝90°即可得到∠BGE＝90°，故①正确；根据等腰三角形三线合一可得∠CBG＝∠CMG，然后求出∠AFB＝∠CBG，∠AMF＝∠CMG，等量代换可得∠AFB＝∠AMF，即AF＝AM，可证，故②正确；根据AB＝AE＋BE，BE＝AM，且AM≠MF，可得③错误；求出PB＝PM，可得当B、P、N三点共线且BN⊥AC时，PM＋PN＝BP＋PN＝BN最短，此时BN＝，进而可得④正确． 【详解】解：∵在正方形中，AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，AF＝BE， ∴△FAB≌△EBC（SAS）， ∴∠FBA＝∠ECB， ∵∠CBE＝90°， ∴∠BEC＋∠BCE＝90°， ∴∠BEC＋∠FBA＝90°， ∴∠BGE＝90°，即，①正确； ∵平分， ∴∠BCE＝∠MCG， ∵， ∴CB＝CM， ∴∠CBG＝∠CMG， ∵在正方形中，AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBG， 又∵∠AMF＝∠CMG， ∴∠AFB＝∠AMF， ∴AF＝AM， ∵， ∴，②正确； ∵AB＝AE＋BE，BE＝AM，且AM≠MF， ∴AE＋AM＝AB，，③错误； 连接BP，如图， ∵CM＝CB，， ∴BG＝MG，即CE垂直平分线段BM， ∴PB＝PM， ∴当B、P、N三点共线且BN⊥AC时，PM＋PN＝BP＋PN＝BN最短，此时BN＝， ∴，④正确； 综上，一定成立的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，能够灵活运用各性质进行推理是解题的关键． 54．如图，正方形的面积为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接、，点和点在运动的过程中始终保持，则的周长（   ） A． B．8cm C．6cm D．4cm 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质得AB=AD=5cm，∠BAD=∠B=90°，把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，接着利用“SAS”证明，得到EG=EF=BE+DF，然后利用三角形周长的定义得到△CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=∠B=90°， 又正方形ABCD的面积为， ∴ ∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，如图， ∴AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°， ∴点G在CB的延长线上， ∵∠EAF=45°， ∴∠EAG=∠GAF-∠EAF=45°， ∴∠EAG=∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴（SAS）， ∴EG=EF， 而EG=BE+BG=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∴的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD=5+5=10cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题． 55．在边长为的正方形中，为对角线上一动点，为直线上一动点，，若点从点出发，沿方向移动到停止，则此过程中的中点移动的路径长______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、中位线的性质和动点问题，解题关键是利用中位线的性质得出的中点移动的路径． 取的中点，连接并延长，交于点，由题意可知，中点在上移动，点移动的路径长为时，中点移动的路径为，进而可得在从移动到时，中点移动的路径为，求出长度即可． 【详解】解：取的中点，连接并延长，交于点，延长至，使得，取的中点，连接， 是的中点， ，即中点在上移动，为的中点， 当点在点时，点与点重合，的中点即为的中点， 同理可得：当点在点时，点与点重合，的中点即为的中点， 的中点移动的路径长即为的长， 由中位线性质得，， 当点从点出发，沿方向移动到停止，此过程中的中点移动的路径长为． 故答案为：． 56．如图，在中，，动点P以每秒的速度从点A向点D运动．另一动点Q以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为______秒．    【答案】0或4 【分析】根据平行四边形的性质可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 以点、、、为顶点组成平行四边形， ， ∵点P以每秒的速度，点Q以每秒的速度运动， ∴点P运动时间为秒，此时点Q从点C运动到点B，又从点B运动到点C， ①点的运动路线是，可得， 解得：； ②点的运动路线是，可得， 解得：； 综上所述，秒或4秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：0或4． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 57．【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）不成立，理由见解析（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． （1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； 【详解】解：（1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 58．已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)矩形是正方形；见解析； (3)线段的长为或． 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，并根据动点的位置进行分类讨论． （1）利用正方形的直角性质，结合证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）先在上截取，证明得，再构造辅助线证得，结合证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【详解】（1）解：根据题意画图如图； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形为正方形，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在上截取，连接，则， ∵，， ∴，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②当点在延长线上时，延长至，使得，连接， ∵，，且，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 结合，可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或． 1．如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得到； （2）延长至点N，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接，证明，得到，，再证明，在、和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E，F分别是的中点， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴； （2）解：三条线段的数量关系为， 理由如下：延长至点N，使，连接． ∵， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三条线段的数量关系为； （3）解：过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接． ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M在上，G，E在上， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，由勾股定理得： ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得， ∴． 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 2．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 【答案】（1），；（2）问题1：见解析；问题2：①；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到答案； （2）问题1：如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明，是等腰直角三角形，从而可得结论； 问题2：①连接，由（1）可知，，延长至，使得，连接，则垂直平分，得，则，当在上时取等号，再根据勾股定理即可求解； ②设，则，，最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，距离之和最小，进而求得． 【详解】解：（1）在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，则， ∴， 故答案为：，； （2）问题1：如图，过作，与交于点，   四边形是正方形，则 ， 由（1）得：， ， ， ，则是的垂直平分线， ，则， 平分 ， ， ， ，则， ， ； 问题2：①在正方形中，， 连接，由（1）可知，， 延长至，使得，连接，则垂直平分， ∴，    则，当在上时取等号， ∵，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； ②如图，    作于， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， 最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，的距离之和最小， 如图，    作J的对称点，连接， 则与x轴的交点是H点，此时最小， 作轴于T， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质等知识，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 3．综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； (2)【深入探究】 E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 【答案】(1)画图见解析；135 (2)证明见解析 (3)3或7 【分析】（1）根据题意作图即可，由正方形的性质可得，由，得到，根据平角的性质即可求解； （2）如解图②，在上截取，连接，则 ，可证，由此即可求解； （3）如解图①，四边形是正方形，可证，得到，如解图②，当点在线段上时，可得是等腰直角三角形，可得，，可得；如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接，则是等腰直角三角形，由题意可得． 【详解】（1）解：根据题意，画出图形如解图①， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：135； （2）证明：如解图②，在上截取，连接，则 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ． （3）解：如解图①， 四边形是正方形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 如解图②，当点在线段上时， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 综上所述，线段的长为3或7． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键． 4．问题提出 （1）如图1，在中，已知，为边上一动点，，则的最小值为______． 问题探究 （2）小哲同学喜欢探究生活中的数学问题，学习完轴对称的知识以后，他将一张正方形纸片沿着对角线对折，根据轴对称图形的定义来判断，得到结论：正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是正方形的一条对称轴．他尝试利用这一结论解决问题：如图2，正方形的边长为4，为的中点，为对角线上的动点，为上的动点，请求出的最小值．请你解决小哲提出的问题． 问题解决 （3）如图3，这是某公园的一块四边形市民健身场地，公园管理部门在内规划设置体育锻炼区域，在内设置合唱团训练区域，在处修建养生小路，要求尽可能的长，其中，，，．已知铺设小路的费用是每米1600元，请你计算铺设小路的费用最多需要花费多少钱． 【答案】（1）2 （2）的最小值为4 （3）铺设小路的费用最多需要花费41600元 【分析】本题考查了正方形的性质。全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据垂线段最短以及面积公式，列式代数计算，即可作答． （2）根据正方形的性质，得出为的中点，结合垂线段最短，得出满足取最小值，根据矩形的判定与性质，得出，即可作答． （3）先以为腰向外侧作等腰三角形，，连接，易证明，即则当三点共线时，最大，的最大值为，即，结合铺设小路的费用是每米1600元，列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，当时，有最小值 ∵， ∴ 解出 故答案为：2； （2）如图，作点E关于的对称点，过点作垂足为交于点 ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵为的中点， ∴为的中点， 此时满足取最小值， 则 即 ∴的最小值为4； （3）如图，以为腰向外侧作等腰三角形，，连接 ∵， ∴ 即 在和中， ∴ ∴ 所以当三点共线时，最大，的最大值为 即 ∵铺设小路的费用是每米1600元 ∴费用为（元） 答：铺设小路的费用最多需要花费41600元． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $