培优01 四边形中的折叠问题4大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题01 四边形中的折叠问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 平行四边形与折叠问题 1 题型二、 矩形与折叠问题 6 题型三、 菱形与折叠问题 19 题型四、 正方形与折叠问题 26 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形与折叠问题 1．将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 2．如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点M处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点N处．则关于结论：①；②当四边形是平行四边形时，．下列说法正确的是（   ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确②错误 D．①错误②正确 4．如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 5．如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A 落在点 处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 8．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 9．如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 10．如图，将沿对角线折叠，使点A落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ∵是平行四边形， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴中，， ∴， 11．如图，将进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，，，，则线段的长度为__________． 12．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 13．如图，P是平行四边形纸片的边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上处，折痕与边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在边上处，折痕与边交于点N．若，则___________°． 14．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 15．综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 16．综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 题型二、矩形与折叠问题 17．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处．设重叠部分为，那么下列说法错误的是（   ） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 18．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 19．如图，直角三角形纸片中，，．D为斜边的中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第n次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 20．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，E在同一直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 23．将一张长方形纸片沿折叠，折叠后的位置如图所示，若，则等于（　　） A． B． C． D． 24．如图，已知矩形为线段上一点（如图甲），现将其沿折叠，F为C点关于的对称点，线段分别交于（如图乙），再沿折叠，F点关于的对称点Q恰好落在线段上，若度，则用含的代数式表示的度数为（   ）度 A． B． C． D． 25．如图，有一矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将沿向右折叠，与交于点F，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 26．如图，将矩形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，折叠后点A，B的位置分别是点，，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，已知点的坐标为，求点的坐标（ ） A． B． C． D． 28．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作： ①第一次折叠：在边上取点E，把翻折，使点A落在边上的点F处，折痕为； ②展开纸片：把纸片展开并铺平； ③第二次折叠：在边上取点G，把翻折，使点C落在直线上的点H处，折痕为． 若已知，则_________． 29．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为__________． 30．如图，一张半透明的矩形纸片上有一点，将纸片按如图所示的方法经两次折叠周开（先过点折叠，使得图中给出的一条线段在折叠后重合，再用同样的方法折叠，使得第一次折叠得到的折痕在折叠后重合），若，则______． 31．如图，四边形是一段矩形纸条，，点E为的中点．第一步，在边上找一点F，将纸条沿折叠，得到的图形如图②；第二步，在图②中的边上找一点G，将纸条沿折叠，得到的图形如图③，设．若折叠后，． （1）________（用含有α的式子表示）； （2）当时，矩形纸条的面积为________． 32．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到， 折痕为， 连接，， 第二次将沿着折叠，恰好落在边上． 则该矩形纸片的长宽比的值为________． 33．如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后长_______． 34．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边佮好落在边上．若，则的长为______． 35．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________． 36．如图，将矩形沿折叠，使与重合，再次展开，P为上一点，再沿折叠，使点A的对应点G恰好落在上，连接，已知，，则的长为________． 37．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似的，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形． (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，__________； (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个四边形， ①求证：折出的四边形为矩形 ②若，，求__________． 38．矩形折叠问题： 如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处． (1)如图1，已知，． ①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长． ②乙同学折叠时使，且，求的长． (2)如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值． 39．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． (2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 40．已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 41．折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：    (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； (2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 42．在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题． 小组 探究内容 图形 第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为．    第二小组 步骤：1：把矩形沿折叠，使得与重合，点E，F分别为上的点． 步骤2：P为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．    第三小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点G，H分别为上的点． 步骤2：P为边上动点（与点B，C不重合）， 沿过点P的一条折痕折叠得到．    根据以上各小组探究内容，求解下列问题． (1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形． (2)根据第二小组探究内容，当P，，E三点在同一直线上时，求的长度． (3)根据第三小组探究内容，过点P的折痕使落在线段上，请直接写出折痕条数与长度取值范围的关系． 43．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了如下的数学活动： 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 44．在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决． (1)如图1，在矩形中，，点E是边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的处，求的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即（ ）， 解得 ． (2)如图2，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求的长； (3)如图3，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，请直接写出的长． 45．【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 46．数学活动课上，兴趣小组以“矩形折叠”为主题开展探究活动，矩形纸片，，． 操作一：对折矩形纸片，使与重合，折痕为； 操作二：再次对折，使矩形纸片的边与重合，展开纸片，得到两条折痕和； 操作三：在上取一点P，把沿折叠，使点A落在矩形内部点R处，把纸片展平，连接． (1)特例探究 如图①，当时，与的数量关系为________． 延长交于点Q，如图②，与的数量关系为________． (2)深入探究 如图③若改变点P在上的位置，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，请判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 当时，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，直接写出的长． 47．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    【猜想】． 【验证】请将下列证明过程补充完整： 矩形纸片沿所在的直线折叠， 　　， 四边形是矩形， ∴， 　　， ∴______=______， ∴． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 48．综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． (3)拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，求的长． 49．综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______． ∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当时，直接写出的长． 50．实践操作 (1)在矩形纸片中，，． ①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________， ②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度； ③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长； (2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长． 题型三、菱形与折叠问题 51．将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（    ） A． B． C． D． 52．如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 53．将边长为的菱形分别沿着和折叠（,,,分别在边，，，上），使点和点在折叠后均落在边上的点处．若，，于点，则的周长为（   ）． A． B． C． D． 54．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 55．如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 56．如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 57．如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 58．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点、，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 59．如图，在菱形中，，E是边上一动点，将沿折叠得到，则面积的最大值是（   ） A．8 B． C．16 D． 60．如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 61．如图，将矩形纸片折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边，AD相交于点E，F，折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，若，且四边形的面积为20，则线段EF的长为______． 62．如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B 的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． （1） 如图2， 当点与点D 重合时， 四边形是___________ ． （2） 如图3， 当时， 与的数量关系是___________． 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 63．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．    （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 64．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 65．数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则_______，此时_______． 66．如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 67．如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为__________． 68．如图，在菱形中，．折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与，交于点E，F．在点M的位置变化的过程中，当最大时，的值为______． 69．对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使与重合，得到折痕，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到线段，，展开，如图①； 第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图②． 求证：四边形为菱形． 70．【问题背景】 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． 【问题探索】 （1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为菱形； 【拓展延伸】 （2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长； （3）如图3，改变点的位置，将沿折叠，连接，当是以为直角的三角形时，求的长度． 71．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 72．某数学活动小组在学完特殊的平行四边形之后，针对矩形中的折叠问题进行了研究． 如图①，在矩形中，，，点P为边上一点，将矩形沿折叠，点E为点B折叠后的对应点，过点E作，交折痕于点F，连接． (1)猜想四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图②，连接，当点E落在上时，的长是多少？（用含a的代数式表示） (3)如图③，当点E落在上时，若，求的长． 题型四、正方形与折叠问题 73．甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形． 甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形； 乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形． 下列判断正确的是（    ）    A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 74．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，恰好落在边上．则该矩形纸片的长宽比的值为（    ） A． B． C． D． 75．如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ） A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 76．已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 77．如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 78．如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（    ）． A．3 B． C． D． 79．如图，将边长为3的正方形折叠，使点A恰好落在边上的处（不与C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G，则的周长为（     ）    A． B． C．6 D．不确定 80．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠， 使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（    ） A． B．－1 C．2－ D．3－ 81．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若，，则（    ） A．3 B．4 C． D． 82．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 83．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 84．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 85．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 86．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 87．折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积 =________． 88．动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为___________． 89．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 90．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 91．如图，在正方形纸片中，点是上一点，，，连接，将正方形沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接、．以下结论：①；②；③若连接，则为直角三角形；④若纸片为矩形，，，点是上一点，将矩形沿折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，则．其中正确结论的序号是____． 92．综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，并延长交于点Q，连接，． 根据以上操作 （1）______°； （2）若正方形纸片的边长为，当时，______． 93．如图，沿对角线AC折叠正方形ABCD，使得B、D重合，再折叠，点D恰好落在AC上的点E处，测得折痕AF的长为3，则C到AF的距离CG为______． 1．生活中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸． (1)探索发现实验一：如图1，将正方形纸片沿对折，展开后沿折叠，使得落在折痕的点处，再将正方形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点落在边上，点落在边上，折痕与分别交于．验证得知矩形纸片是标准纸． 实验二：如图2，将矩形纸片沿折叠，再沿折一次，折痕与交于点，通过测量得到，验证得知矩形纸片是标准纸． 请证明实验一或实验二中的矩形纸片是标准纸；（选择其中一个证明即可） (2)拓展应用如图3，在标准纸片中，，是线段上的点，且，是的中点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点． ①求证：是的中点； ②将矩形纸片沿折叠，使得落在线段的点处，求证：三点共线． 2．综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 3．综合与实践 数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A、D重合，点B、C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为． （1）如图①，若，则当点N落在上时，和的数量关系是_______；的度数为_____； 思考探究： （2）在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点，当点落在上时，如图②，设、分别交于点J、K，若，请求出三角形的面积； 拓展应用： （3）如图③，在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接、，若，请直接写出的长． 4．在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 5．【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 6．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．已知，则的度数为______； 【深入探究】 (2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．试探究与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图③，在图②的基础上，点，分别是，的中点，顺次连接、、、，若，求点，之间的距离． 7．综合与实践 实践操作 如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，延长，与交于点，与DC交于点M． 问题解决 (1)请在图2中证明四边形是正方形． 证明：∵矩形 ∴（依据1），（依据2）， ∴ 由第一步折叠可知：， ∴…… 填写证明过程中的依据1： ，依据2： ，并完成剩余证明过程． (2)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明． (3)请在图4中判断与的数量关系，通过计算加以说明． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形中的折叠问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 平行四边形与折叠问题 1 题型二、 矩形与折叠问题 21 题型三、 菱形与折叠问题 74 题型四、 正方形与折叠问题 100 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形与折叠问题 1．将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等角对等边、折叠等知识．分二种情况画出图形，利用平行四边形的性质和等角对等边进行解答即可． 【详解】解：如图1， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图2， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 综上可知，的长为2或4， 故选：C． 2．如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中，连接，延长交于；由题意易知：，，是的中位线，，则可求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图中，连接，延长交于．    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，， ，， 由折叠知：G、H分别是的中点， ∴是的中位线， ，，， ∴， ，， 是的中位线， ； 故选：． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考选择题中的压轴题． 3．如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点M处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点N处．则关于结论：①；②当四边形是平行四边形时，．下列说法正确的是（   ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用这些性质是解题的关键． 由折叠的性质可得，由平角的性质可得，可证，由平行线的性质可得，若，则，即四边形为矩形，而题目中无条件证明此结论，即可判断①；由平行四边形和折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得即可判断②． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 若，则，即四边形为矩形，而题目中无条件证明此结论，故结论①不正确； ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论②正确． 故选：D． 4．如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，过点作于． ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质求出，再根据折叠的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，, ∴， ∴． 根据折叠的性质得， 在中，， ∴． 6．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A 落在点 处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴． 由折叠可得． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴中，． ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键． 7．如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案． 【详解】解：连接， 沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 8．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 9．如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】作于点，根据平行四边形的性质，求出，进而得到，易得为等腰直角三角形，得到，进而求出，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作于点， ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵平行四边形的面积为28， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 10．如图，将沿对角线折叠，使点A落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的性质和折叠问题，设交点为点G，由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果． 【详解】解：如图，设交点为点G， ∵是平行四边形， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴中，， ∴， 故选：C． 11．如图，将进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，，，，则线段的长度为__________． 【答案】24 【分析】由平行四边形的性质可得，，，可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 13．如图，P是平行四边形纸片的边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上处，折痕与边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在边上处，折痕与边交于点N．若，则___________°． 【答案】16 【分析】本题主要折叠的性质，掌握折叠前后的线段、角对应相等是解题的关键． 由折叠的性质可求得，，再结合、、在一条直线上，可求得答案． 【详解】解：∵点落在纸片所在平面上处，折痕与边交于点， 故答案为：16． 14．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 15．综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）垂直；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查轴对称，折叠的性质，尺规作垂线的方法，掌握轴对称，折叠的性质是关键． （1）根据折叠，轴对称图形的性质即可求解； （2）根据折叠得到，根据平行四边形的性质得到，则，由此即可求解； （3）根据尺规作垂直的方法作图即可． 【详解】解：（1）∵折叠，点重合，即成轴对称图形， ∴线段与折痕相互垂直， 故答案为：垂直； （2）∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）根据（1），（2）可得，，且平分， ∵折叠， ∴，， ∴，且平分，折痕所在直线， ∴如图所示， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点， 连接交于点， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接， ∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形． 16．综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 题型二、矩形与折叠问题 17．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处．设重叠部分为，那么下列说法错误的是（   ） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 【答案】B 【分析】利用矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形的定义，逐一分析每个选项的正确性，从而找出错误的说法． 【详解】解：A、∵四边形是矩形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． ∴． ∴是等腰三角形，不符合题意． B、折叠后，和 不一定相等． 只有当时，和才相等，一般情况下不成立，符合题意． C、折叠后得到的图形关于对角线所在的直线对称，因此是轴对称图形，不符合题意． D、∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∵ ∴，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形，解题关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，并结合矩形的性质进行推理判断． 18．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，所以四边形是正方形，则，而，则，所以，由，且，得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键． 【详解】解：如图①，四边形是矩形， ， 由折叠得， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 如图②，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， ， 解得， ， 故选：C． 19．如图，直角三角形纸片中，，．D为斜边的中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第n次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用、勾股定理、直角三角形的性质等知识点问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等知识点；对猜想、判断能力也提出了一定的要求．根据题意，分别求出、、的长度，经猜想可得出的表达式，即可求解． 【详解】解：由题意得： ∵直角三角形，， ∴， ∵D为斜边上的中线， ∴， 第1次折叠：， 第2次折叠：， 第3次折叠：， ∴归纳可得：第n次折叠，， ∴， 故选：B． 20．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，E在同一直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，解决此类问题的关键，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．根据折叠的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意知， 则， 所以， ， ． 故选：C． 21．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和平行线的性质可得，结合折叠的性质可得，利用三角形外角性质可得，最后在 中利用两锐角互余即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 在中，，即，故选项正确， 由折叠的性质可知：， ∴，故选项不一定正确． 22．如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】本题先通过矩形性质与折叠性质，过点作交于点，利用平行线性质推出，结合，得到，证明结论Ⅰ正确；再结合折叠后角相等、平分及平行线内错角相等的性质，推导出，根据平角为列出方程，解得，证明结论Ⅱ正确，最终得出两个结论均成立． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵矩形，， ∴折叠后， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，结论Ⅰ正确； ∵矩形，， ∴折叠后，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，结论Ⅱ正确； 综上，结论Ⅰ和Ⅱ都对． 23．将一张长方形纸片沿折叠，折叠后的位置如图所示，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查长方形折叠．熟练掌握长方形性质，折叠性质，平行线的性质，是解题的关键．由长方形对边平行性质，得，由折叠的性质可得，根据平角的定义可求出的度数． 【详解】解：∵长方形纸片中，， ∴． 由折叠知，， ∴． ∴． 故选：A． 24．如图，已知矩形为线段上一点（如图甲），现将其沿折叠，F为C点关于的对称点，线段分别交于（如图乙），再沿折叠，F点关于的对称点Q恰好落在线段上，若度，则用含的代数式表示的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质得，再根据平角的定义得，根据三角形的内角和得，最后根据平角的定义表示出的度数． 【详解】解：根据折叠，得， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质和三角形的内角和，综合性较强，关键要找到折叠后各角之间的关系． 25．如图，有一矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将沿向右折叠，与交于点F，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质，由折叠的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 26．如图，将矩形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，折叠后点A，B的位置分别是点，，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与翻折，利用角度的转换即可解答，熟练利用翻折前后的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 27．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，已知点的坐标为，求点的坐标（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据点的坐标得到，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是长方形，点的坐标为， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 28．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作： ①第一次折叠：在边上取点E，把翻折，使点A落在边上的点F处，折痕为； ②展开纸片：把纸片展开并铺平； ③第二次折叠：在边上取点G，把翻折，使点C落在直线上的点H处，折痕为． 若已知，则_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，根据相关运用勾股定理列出方程是解题的关键． 先根据折叠的性质、正方形的判定与性质以及矩形的性质可得 设，则，；然后分H在线段上和H在线段的延长线上两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠可得∶， ∴四边形为正方形， ∵在边上取点G，把翻折，使点C落在直线上的点H处，折痕为． ∴， ∴， ∵矩形， ∴ 设，则，， ①当H在线段上时，则，    ∴， 解得∶， ∴； ②当H在线段的延长线上时，则，    ∴， 解得∶， ∴； 综上的长为或． 29．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为__________． 【答案】/20度 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠是一种对称变换，属于轴对称，解决本题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，由此解方程可得到的度数． 【详解】解：∵， 设， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴，解得， 即的度数为． 故答案为：． 30．如图，一张半透明的矩形纸片上有一点，将纸片按如图所示的方法经两次折叠周开（先过点折叠，使得图中给出的一条线段在折叠后重合，再用同样的方法折叠，使得第一次折叠得到的折痕在折叠后重合），若，则______． 【答案】/152度 【分析】根据折叠性质推出，，利用直角三角形两锐角互余推出，根据平行可推出，利用外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，根据折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵该纸片为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，三角形外角的性质．理解折叠的性质是解题的关键． 31．如图，四边形是一段矩形纸条，，点E为的中点．第一步，在边上找一点F，将纸条沿折叠，得到的图形如图②；第二步，在图②中的边上找一点G，将纸条沿折叠，得到的图形如图③，设．若折叠后，． （1）________（用含有α的式子表示）； （2）当时，矩形纸条的面积为________． 【答案】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得，再根据由折叠的性质得到，，然后根据平行线的性质分别得出，，从而可得 （2）先由折叠的性质得出，，，再利用平行线的性质得到，结合由（1）得，得到关于的方程求解，再利用含有角的直角三角形的性质得出，再根据矩形的性质得出，，，然后利用勾股定理求得，再利用四边形是菱形，接着利用菱形的性质、勾股定理求出，进而求得、，然后利用线段的和求得，进而求得，最后利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长、交于点I ，， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可知：，， 又， ， ， ， ， ， 即 （2）将图形沿展开，连结交于点J， 则，，， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， 解得：， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 由（1）知， ， 四边形是菱形， ，， ，， 解得：（负值舍去）， ， ， ， ， 又点E为的中点， ． 矩形纸条的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，等边对等角，勾股定理，折叠的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 32．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到， 折痕为， 连接，， 第二次将沿着折叠，恰好落在边上． 则该矩形纸片的长宽比的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形中的翻折，熟练掌握翻折的性质和正方形的性质是解题的关键．先利用第一次翻折确定四边为正方形，得出，再利用第二次翻折得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， 由第一次折叠可知，，， ∴四边为正方形， ∴， ∴， 由第二次折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 33．如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后长_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 由折叠的性质得，设长为，根据矩形的性质得和，结合勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， 设长为， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得： ， 即长为cm， 故答案为：． 34．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边佮好落在边上．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边佮好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 35．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， 由折叠得， 在中，， ， 在Rt中，， ， 解得， ∴点的坐标为． 36．如图，将矩形沿折叠，使与重合，再次展开，P为上一点，再沿折叠，使点A的对应点G恰好落在上，连接，已知，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要利用矩形的折叠性质，结合勾股定理来求解 的长度．先通过第一次折叠确定 是 的中垂线，得到相关线段关系；再由第二次折叠得出 ，利用勾股定理求出角度，最后在 中用勾股定理算出 ． 【详解】解：∵矩形 沿 折叠， 与 重合， ∴ 垂直平分 ． ∵ ， ∴ ； ∵ ，矩形对边相等， ∴ ． ∵沿 折叠，点 的对应点为 ， ∴ ． 在 中，， ． 根据勾股定理 ，即 ． 在上取一点，使得，连接 ∵ ， ∴， 是等边三角形， ∴ ． ∵矩形 中 ， ∴ ． 过 作 于 ． 在 中，， ． ∴； ∴由勾股定理， ． ∵ ， ∴ ． 在 中，根据勾股定理 ，即 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠性质、勾股定理以及含角直角三角形的判定与性质．熟练掌握折叠前后对应边相等、中垂线性质，灵活运用勾股定理是解题关键． 37．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似的，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形． (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，__________； (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个四边形， ①求证：折出的四边形为矩形 ②若，，求__________． 【答案】(1) (2)①证明见解析，②13 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理； （1）根据折叠后的图形全等，进而得到面积相等即可得到，，然后表示出和即可求解； （2）①由折叠的性质得：，，再结合，可得，同理可得：，即可判断折出的四边形为矩形； ②先由勾股定理求出，再由折叠的性质得：，，，，推出，最后由得到． 【详解】（1）解： 由折叠的性质得：，四边形四边形， ，， ， ∴ ； 故答案为：； （2）①证明：∵由折叠的性质得：，， 又∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴折出的四边形为矩形； ②解： ，，， ， 如图： 由折叠的性质得：，，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ； 38．矩形折叠问题： 如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处． (1)如图1，已知，． ①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长． ②乙同学折叠时使，且，求的长． (2)如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值． 【答案】(1)①的长为或；②的长度为 (2) 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，具有极强的综合性，解题的关键在于添加准确的辅助线确定运动状态． （1）①对点P的落点进行分类讨论，分析当点落在、边上，结合折叠性质，矩形的性质，勾股定理，依次计算可得的边长，令，通过等量关系得出对应方程，进行求解即可；②由关键信息，结合折叠性质，可得出，，通过假设，得出相关线段的表达式，利用方程解出答案； （2）令，，根据特殊平行四边形的性质，得出其他线段的表达式，结合勾股定理，得出，通过角度关系，证出，也能得出的另一种表达式为，故可得方程，解出即可得出的值． 【详解】（1）解：①当点落在边上时，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∵，得， 在中，由勾股定理得， ∴， 令， ∴， 又∵， 由得， 得方程， 解得， 故此时的长度为； 当点落在边上时，连接，如下图所示： 由，可得， 解得， ∴， 令， ∴， 在和中， ，, ∴， 可得方程 解得， 故此时的长度为； 综上，当点落在矩形的一边上，的长为或． ②连接、、、、，过点作交于点，延长交于点，如下图所示： 根据翻折的性质，可得， ∴， ∵， 故， 观察图象，可知， ， ∴要满足，应满足， 令，则， ∵翻折的性质， ∴， 在中，可得， 在中，可得， ∴， ∵， ∴为的角平分线，结合， ∴，且点为中点， ∴， ∵， ∴， 得方程， 解得或， 故的长度为． （2）解：延长交于点，如下图所示： ∵翻折的性质， 得，， ∵平分， ∴，， 故四边形为正方形， 令，， ∴， 由， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 得方程， 解得， ∴． 39．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． (2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 【答案】(1) (2)，，；秒或秒或秒 【分析】（1）由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解出的值即可求解； （2）从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变，故再从图看出：，，再计算即可； 分三种情况：在上，且在左方，或在上，且在右方，或在上，再运用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； （2）解：从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变， 故再从图看出：，， ， 故答案为：，，； 如图，过作交于点， 由翻折得，， ，， ， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， 当点从运动到图为止时，， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， ， 由翻折得， ， ， ， 综上所述，的值为秒或秒或秒， 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 40．已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 41．折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：    (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； (2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 【答案】(1)5 (2) (3)或10 【分析】（1）先求出，再利用勾股定理即可求解； （2）先求出，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）先讨论点的位置，再在每种情况中先求出，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵将沿折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴中，； 则的长为5． 故答案为：5． （2）解：∵将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， ∴， ∵中，，， ∴，即， ∴． （3）解：的长为或10； 理由：四边形是平行四边形， ， ∵， ∴该四边形是矩形，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ①如图，当点在线段上时，   点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：，即 ∴； ②如图4，当点在线段的延长线上时，    由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 综上可得：的长为或10． 【点睛】本题考查了图形的折叠问题，涉及到了勾股定理、矩形的判定与性质、解一元一次方程等知识，解题关键是利用勾股定理建立方程，正确画出图形，运用分类讨论的思想方法． 42．在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题． 小组 探究内容 图形 第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为．    第二小组 步骤：1：把矩形沿折叠，使得与重合，点E，F分别为上的点． 步骤2：P为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．    第三小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点G，H分别为上的点． 步骤2：P为边上动点（与点B，C不重合）， 沿过点P的一条折痕折叠得到．    根据以上各小组探究内容，求解下列问题． (1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形． (2)根据第二小组探究内容，当P，，E三点在同一直线上时，求的长度． (3)根据第三小组探究内容，过点P的折痕使落在线段上，请直接写出折痕条数与长度取值范围的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，有1条折痕；当时，有2条折痕；当时，只有1条折痕． 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，进而得到，然后根据折叠的性质得到，即可证明出是等腰三角形； （2）根据题意画出图形，分两种情况讨论，分别根据折叠的性质得到，然后进一步得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （3）根据题意分3中情况讨论，分别根据折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵把沿折叠到， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图所示，当点P在线段上时，    ∵把矩形沿折叠，使得与重合， ∴， 由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时，      同理可得，，，， ∴， 由（1）可得，， ∴， 综上所述，的长度为； （3）如图所示，当折痕经过点G时，    ∵把矩形沿折叠，使得与重合， ∴ ∵ ∴四边形是矩形 由折叠可得， ∴矩形是正方形 ∴ ∴此时只有一条折痕； 由题意可得，当折痕与有交点时，一定能使落在线段上， 当折痕与没有交点时， 如图所示，当点正好与点H重合时，    由题意可得， 由折叠的性质可得， ∴设，则 ∵ ∴在中， ∴，解得 ∴ ∴当时，有2条折痕； ∴当时，点落在的延长线上， ∴此种情况不存在， ∴此时只有1条折痕． 综上所述，当时，有1条折痕；当时，有2条折痕；当时，只有1条折痕． 【点睛】此题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 43．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了如下的数学活动： 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． （1），理由如下，由矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定得到，即可得到； （2）根据矩形的性质、折叠的性质得到，设，根据勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解： ，理由如下， ∵四边形是矩形， ． ， 由折叠的性质得， ， ． 同理：． ． ． （2）解：由折叠的性质得． 设， ． 在中，． ． 解得：． ∴． 44．在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决． (1)如图1，在矩形中，，点E是边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的处，求的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即（ ）， 解得 ． (2)如图2，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求的长； (3)如图3，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)，，2， (2)或7 (3)2或 【分析】（1）根据推理过程利用勾股定理填空即可； （2）当为直角三角形时，分当点落在矩形内部，时，当点落在边上，时，两种情况讨论即可； （3）过点作于N，交于点M，设，则，分点在线段上；点在延长线上；两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即， 解得； （2）解：当为直角三角形时，有两种情况： 当点落在矩形内部，时，如图， ∵在矩形中，， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得，即； 当点落在边上，时，如图， 此时，， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质得：， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 综上，当为直角三角形时，的长为或； （3）解：过点作于N，交于点M， 设，则， 当点在线段上时，如图， ∵是边的中垂线， ∴，， 由勾股定理可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：，则， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同理，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； 综上知：的长为或． 【点睛】本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键． 45．【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 【答案】(1) (2)图形见解析 (3) (4)①；② 【分析】（1）根据矩形纸片，得到，由折叠可得； （2）先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）由正方形得到，，由折叠可得，再由勾股定理求出，得到； （4）①由折叠可得，，根据，得到； ②由折叠可得，，再在中由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴； （2）解：如图，先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则 （3）解：∵矩形纸片， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （4）解：①∵正方形纸片， ∴，， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； ②由折叠可得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵中， ∴， 解得． 46．数学活动课上，兴趣小组以“矩形折叠”为主题开展探究活动，矩形纸片，，． 操作一：对折矩形纸片，使与重合，折痕为； 操作二：再次对折，使矩形纸片的边与重合，展开纸片，得到两条折痕和； 操作三：在上取一点P，把沿折叠，使点A落在矩形内部点R处，把纸片展平，连接． (1)特例探究 如图①，当时，与的数量关系为________． 延长交于点Q，如图②，与的数量关系为________． (2)深入探究 如图③若改变点P在上的位置，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，请判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 当时，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)2或 【分析】（1）由折叠的性质可得，利用直角三角形的性质即可得到答案；再连接，由折叠的性质得到，结合，易证，即可得出结论； （2）同理（1）得，即可得出结论； （3）分点P在点上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵矩形纸片，，， ∴，， ∵， 由折叠的性质可得， 在中， ∴； 连接， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 连接， 同理（1）得， ∴； （3）解：由折叠的性质得，， 当点P在点上方时，如图： ∵， ∴，， ∴， 设，则， 由（2）知， 在中，， ∴， 解得：，即； 当点P在点下方时，如图： 同理得：， 设，则， 由（2）得， 在中，， ∴， 解得：，即； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 47．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    【猜想】． 【验证】请将下列证明过程补充完整： 矩形纸片沿所在的直线折叠， 　　， 四边形是矩形， ∴， 　　， ∴______=______， ∴． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】【验证】；；；【应用】（1），理由见解析；（2） 【分析】【验证】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解； 【应用】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解；（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：验证：矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等角对等边）． 故答案为：；；； 应用：（1）； 理由如下： 由四边形折叠得到四边形， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等角对等边）， ， ，即； （2）∵矩形ABCD沿MC所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 48．综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． (3)拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用矩形的性质，折叠的性质，证明即可． （2）连接，利用平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，证明即可． （3）利用矩形的性质，折叠的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图所示，连接， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， ， 点是的中点， ， ， 又， ， ； （2）证明：，证明如下： 如图所示，连接， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可得， 点是的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 49．综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______． ∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当时，直接写出的长． 【答案】（1）①；②（2）不发生变化，理由见解析（3） 【分析】（1）根据推论过程结合等量代换补充完整即可得到①，由方法一思路证明可得到②，即可解题； （2）类似于初步探究的证明过程，即可证明和的位置关系及和的数量关系不发生变化； （3）由，可得，即，因为四边形菱形，可得，由，可得，进而得到，设，则，，根据在含角的直角三角形中的性质建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由等量代换可知：①， 由折叠的性质，可知，，，，，． 四边形为平行四边形， ． ， ． 又， ， ， ，， ， ， ， ． 可猜想其关系为：②， 故答案为：①；②． （2）解：不发生变化，理由如下： 由折叠的性质，可知，． 四边形为矩形， ， ∴． ∴， ∴． 四边形为矩形， ，， 由折叠的性质，可知，，，，，， 又， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：如图， ， ∴， 三点共线， 即， ，， ， 由（2）知，，即， 四边形为平行四边形，即四边形菱形， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， 由（2）知，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，平行线性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 50．实践操作 (1)在矩形纸片中，，． ①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________， ②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度； ③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长； (2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长． 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用以及全等三角形的性质与判定，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为， ②根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解； ③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，证明，得出，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，即可求解； （2）连接，过，得，由②可得，，证明，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，进而求得，在直角三角形中，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则； ②矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为 ， 在直角三角形中，，， ， ， 在直角三角形中，， ③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为， ，， ， ， ， 设，则， 在直角三角形中，， 解得：； （2）解：连接，过，得，，由②可得，， ， ， 即， ，， ， ， ， 设，则， 在直角三角形中，， ， 解得：， ， 在直角三角形中，， ， ， 题型三、菱形与折叠问题 51．将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理. 根据折叠的性质得，可得，再根据菱形的性质得，然后由折叠的性质得，进而根据勾股定理求出，进而求出，则此题可解. 【详解】解：根据题意，得， ∴. ∵菱形的边长为a， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：C. 52．如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠的性质、菱形的性质、矩形的性质，证出，即可求的度数． 【详解】解：由折叠的性质得， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：A． 53．将边长为的菱形分别沿着和折叠（,,,分别在边，，，上），使点和点在折叠后均落在边上的点处．若，，于点，则的周长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，证明，再根据折叠的性质，和勾股定理解得，后根据三角形的周长解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 54．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A.由折叠的性质可以知道和分别是和的平分线，同时是平角，所以可知，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道、，就可以得到，选项B正确；C和D.过点作于点，，可得，．设，可以得到，．根据折叠的性质可得，根据勾股定理，求得，即可得到，，所以．故选项C正确，选项D错误． 【详解】解：A.由折叠可知和分别是和的平分线． 又， ， 故选项A正确． B.又点与点关于对称， ， 又， ， 故选项B正确． C和D.如答图，过点作于点．    ， ， ， 易知，， 设， ，， 点是的中点，折叠后点落到上， 点与点重合，． 易知点共线， ． ， ， 解得． ，， ， 故选项C正确，选项D错误． 综上，故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 55．如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：菱形中，， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 56．如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形，菱形的性质，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 57．如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接：    ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ， ∵为的中点， ∴为的平分线，， ∴， ∴由折叠的性质得到，在中，． 故选：C． 58．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点、，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出，然后根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度即可． 【详解】解：菱形中，，， ，，，， ，， ， ， 将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处， ，， ，， ，， ，， ． 59．如图，在菱形中，，E是边上一动点，将沿折叠得到，则面积的最大值是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质．由三角形底边是定长，所以当的高最大时，的面积最大，即当时，三角形有最大面积． 【详解】解：在菱形中，， 又∵将沿折叠得到， ∴， 由此，的底边是定长，所以当的高最大时，的面积最大， 即当时，三角形有最大面积 ∴面积的最大值是， 故选：A． 60．如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，由折叠得四边形是菱形，证明，从而可知阴影部分面积等于菱形面积一半，即可求解． 【详解】解：由折叠得，垂直平分，设相交于点O，，， ∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴阴影部分面积等于的面积，即菱形面积一半， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 61．如图，将矩形纸片折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边，AD相交于点E，F，折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，若，且四边形的面积为20，则线段EF的长为______． 【答案】 【分析】过作于，则，根据矩形的性质和平行线的性质可证得，进而可得，再根据折叠的性质得到，即，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定即可得出四边形为菱形，根据菱形的面积公式可求得的长，再利用菱形的性质和勾股定理求得，则有，再由勾股定理即可求得的长 【详解】解：方法1：如图，过E作于K，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵图形翻折后点G与点C重合，为折线， ∴， ∴， ∴， ∵图形翻折后与完全重合， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∵四边形的面积是20， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，． 方法2：由方法1得四边形是菱形， ∵四边形的面积是20， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，∴， ∴． ∵四边形的面积是20， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等角对等边证明边相等、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 62．如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B 的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． （1） 如图2， 当点与点D 重合时， 四边形是___________ ． （2） 如图3， 当时， 与的数量关系是___________． 【答案】 菱形 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用直角三角形及勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下： 设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形． （2）当时，始终有与对角线平行． 理由：四边形是矩形， ，， ， 设，则， 由折叠得：，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等，涉及知识点多，综合性强，难度较大，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 63．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．    （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 【答案】 /90度 【分析】（1）由翻折可得，，则，根据，可得，即． （2）根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理列出方程，解得，进而可得出答案． 【详解】解：（1）由翻折可得，， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）四边形为菱形， ， ， 由翻折可得，，，， 点是的中点， ， ， 即点与点重合． ， 点，，三点在同一条直线上． 过点作，交的延长线于点．   ，， ，， ，， 由翻折可得，， 设， 则，， 由勾股定理可得， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 64．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 65．数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则_______，此时_______． 【答案】 【分析】第一空，根据等腰直角三角形的性质求解即可； 第二空，延长，相交于点P，设，根据菱形的性质及等腰直角三角形的判定与性质，可逐步求得，进而可求得和的长，即得答案． 【详解】解： ，，由折叠可知， ∴， ． 故答案为：． 延长，相交于点P， 设， ， ， 将菱形纸片沿折叠，点B落在上的点处， ， ， 四边形是菱形， ，， ，，， ， ， ， 同时可得， ， ， 将菱形纸片沿折叠， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 66．如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 【答案】 【分析】连接，过点C作交于点G，证明四边形是平行四边形，是等边三角形，设，则根据勾股定理列式解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点C作交于点G， ∵四边形是菱形，且菱形的边长为，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴，， ∵边的中点是， ∴， ∴， 设， 则 ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 67．如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为__________． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明四边形和四边形都是菱形，和都是等边三角形是解题的关键. 设交于点，由折叠得，， ， 则， 由菱形的性质得，，，则，， 可证明， 得， 则四边形是菱形，是等边三角形，同理， 四边形是菱形，是等边三角形，则四边形是平行四边形， 由， ， ， 求得，于是得到问题的答案. 【详解】解：设交于点， 由折叠得， ，， ∴， ∵四边形是边长为的菱形， ， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴是等边三角形， 同理，四边形是菱形，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，，， ， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 68．如图，在菱形中，．折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与，交于点E，F．在点M的位置变化的过程中，当最大时，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，由折叠可得，，，根据，得当时，最小，最大，此时， 过作交延长线于，则，，代入计算即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴，， ∵折叠该菱形， ∴，，， ∴， ∴当最小时，最大， 根据垂线段最短可得，当时，最小，最大， ∴，， ∴， ∴， 过作交延长线于， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 69．对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使与重合，得到折痕，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到线段，，展开，如图①； 第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图②． 求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质和菱形的判定，其中对翻折变换的性质的理解是解决问题的关键． 根据点M是的中点判断出是的中点，再判断出垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据四条边相等的四边形是菱形证明结果． 【详解】解：∵对折与重合，折痕是， ∴点M是的中点， ∴是的中点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵沿所在的直线折叠，点B落在上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 70．【问题背景】 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． 【问题探索】 （1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为菱形； 【拓展延伸】 （2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长； （3）如图3，改变点的位置，将沿折叠，连接，当是以为直角的三角形时，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，，，由得到，因此，从而，即可得到，得证结论； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分点E不与点C重合，点E与点C重合两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ． （3）解：当点E不与点C重合时，延长交于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由折叠有， ∴在中，， ∴； ②当与点C重合时，记，的交点为， 由①可知，当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得： 综上所述，或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 71．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先推出是的平分线，进而得出，推出，再根据即可证明结论； （）根据折叠的性质，结合推出四边形是菱形，结合得出，然后根据勾股定理求出与的数量关系即可； （）根据菱形的性质，结合求出及的数量关系，然后由折叠的性质求出和的数量关系，再通过勾股定理求出和的长度，最后由勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明: 由折叠性质可知， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据折叠的性质，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 连接交于点，如图， 根据菱形的性质，线段和互相垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理，，， ∴； （3）解：如图，连接交于点， 根据菱形的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得：， ∴为等腰直角三角形，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，，，， 在中，． 72．某数学活动小组在学完特殊的平行四边形之后，针对矩形中的折叠问题进行了研究． 如图①，在矩形中，，，点P为边上一点，将矩形沿折叠，点E为点B折叠后的对应点，过点E作，交折痕于点F，连接． (1)猜想四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图②，连接，当点E落在上时，的长是多少？（用含a的代数式表示） (3)如图③，当点E落在上时，若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)a (3) 【分析】本题考查矩形和折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，掌握折叠性质是解答的关键． （1）先根据折叠性质和平行线的性质证得，，，结合等腰三角形的判定证得，然后利用菱形的判定得出结论； （2）先利用勾股定理求得，再利用折叠性质得到，， 在中，利用勾股定理求得即可； （3）在中，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： 由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：在矩形中，， ∵，， ∴， 由折叠可知，， ∵ ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，， 在中，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 题型四、正方形与折叠问题 73．甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形． 甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形； 乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形． 下列判断正确的是（    ）    A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】D 【分析】利用折叠的性质和菱形、矩形、正方形的判定即可得出答案． 【详解】解∶①按照图①折叠，可得四边形的四边相等，原四边形是菱形或正方形； ②按照图②折叠，可得四边形的四个角相等，不能得四条边相等，原四边形是矩形； 故选∶ D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形、矩形、正方形的判定等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 74．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，恰好落在边上．则该矩形纸片的长宽比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得出，再由折叠的性质及勾股定理得出，再由第二次折叠得出，，利用三角形等面积法确定，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， 第一次将边折叠到边上得到， 则，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 第二次将沿着折叠，恰好落在边上， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该矩形纸片的长宽比的值为， 故选：D． 【点睛】题目主要考查矩形的折叠问题，勾股定理解三角形，理解题意，准确掌握运用折叠的性质是解题关键． 75．如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ） A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 【答案】B 【分析】连接、，作于M．判定，可得，即可得出，再判定，即可得到，进而得到的周长等于正方形的周长的一半． 【详解】解：如图，连接、，作于M． ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 的周长， 又∵正方形的周长， 的值为2， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 76．已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 77．如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠性质，勾股定理等知识内容，根据正方形性质得出，结合折叠性质得，运用勾股定理列式得，整理得，即可作答． 【详解】解：如图： 设， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上， ∴， 在中，由勾股定理有：， 即， 整理得出， 则， 故选：B． 78．如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得，，，再根据折叠的性质可得,，进而得到、、，设，则、，在中运用勾股定理列方程可得，进而求得；然后再根据平行线的性质结合折叠的性质可得，，即，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵面积为16的正方形纸片， ∴，，, ∵正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处， ∴，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识点，说明点是的中点是解答本题的关键． 79．如图，将边长为3的正方形折叠，使点A恰好落在边上的处（不与C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G，则的周长为（     ）    A． B． C．6 D．不确定 【答案】C 【分析】连接、，作于．判定，可得，，即可得出，，再判定，即可得到，进而得到的周长． 【详解】解：如图，连接、，作于．   ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 的周长， 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 80．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠， 使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（    ） A． B．－1 C．2－ D．3－ 【答案】C 【分析】设AD=a，由折叠的性质可得AM=DN=DC=AD=a，∠EFD=90°，利用勾股定理解出FN，设EF=AE=b，则EM=，在Rt△EMF中，ME2+MF2=EF2，从而求出a，b之间的关系，进而得出的值． 【详解】解：∵把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，设AD=MN=a， ∴AM=DN=DC=AD=a， ∵四边形ABCD为正方形，过点D折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FD=AD=a，∠DNF=90°，∠FME=90°， 在Rt△DFN中，FN===， ∴MF=MN-FN=a-=， 设EF=AE=b，则ME=， 在Rt△EMF中， ME2+MF2=EF2， 即+=b2， 解得：b=(2-)a， ∴==2-． 故选∶C． 【点睛】此题考查了正方形与折叠、勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质． 81．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若，，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，交于点，先根据正方形的性质和矩形的判定与性质可得，再结合折叠性质可证得，由此可得，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作于，交于点， 则， ∵四边形ABCD为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形CDHF为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 82．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠性质得到，然后在直角三角形中设未知数，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：为的中点，正方形的边长为， ，， 设，根据折叠的性质可知， 在中，， 可得， 解得，即． 83．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形边长得出、对角线；再由折叠性质得，进而算出；最后将的周长转化为，代入数值计算得周长为． 【详解】解：∵已知正方形中，， ∴， 根据勾股定理，对角线 由折叠可知：， ∴，且， 的周长 因为， 所以， 因此周长． 84．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 85．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 86．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 87．折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积 =________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理的运用，掌握正方形与折叠，勾股定理求线段长度的方法是解题的关键． 根据折叠可得，根据含角的直角三角形的性质可求出的长，由此可得的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意的折叠，如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠可得，， 在中，，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 同理，， ∴， 故答案为： ． 88．动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证明四边形是正方形，四边形是正方形，设，则，根据正方形的性质得到，，进而得到，计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴四边形是正方形， 同理可证四边形是正方形， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴矩形的长与宽的比值为． 89．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 90．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质．连接、，作于点M，，推出，再证明，推出，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点M． ∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∴的值为． 故答案为：． 91．如图，在正方形纸片中，点是上一点，，，连接，将正方形沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接、．以下结论：①；②；③若连接，则为直角三角形；④若纸片为矩形，，，点是上一点，将矩形沿折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，则．其中正确结论的序号是____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，勾股定理，解一元一次方程，直角三角形判定． 根据题意利用全等判定及性质即可判断①②，再根据勾股定理即可判断③，再分情况讨论即可判断④． 【详解】解：∵正方形纸片，将正方形沿折叠，点落在点处， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即①正确； ∴，即②正确； 设，， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形，③正确； 当时， ∵为矩形，，， ∴， ∵将矩形沿折叠，点落在点处， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴设，， ∴，解得：， ∴， 当时，翻折将到如下图所示位置： ∵将矩形沿折叠，点落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为或，即④不正确， 故答案为：①②③． 92．综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，并延长交于点Q，连接，． 根据以上操作 （1）______°； （2）若正方形纸片的边长为，当时，______． 【答案】 /45度 或 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由折叠的性质，全等三角形的判定和性质可求解； （2）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，，由折叠的性质知，，，∴，，∵，∴，∴，∴， 故答案为：； （3）由折叠的性质可得，， ， ， 当点在线段上时，， ，， ， ， ； 当点在线段上时， ， ，， ， ， ， 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 93．如图，沿对角线AC折叠正方形ABCD，使得B、D重合，再折叠，点D恰好落在AC上的点E处，测得折痕AF的长为3，则C到AF的距离CG为______． 【答案】 【分析】设DF=EF=x，分别表示出DA=DC= 、AC= ，利用勾股定理列方程解得，利用等积法求出结果． 【详解】解：由折叠知AF平分∠DAE，∠D=90°，FE⊥AC于于点F， ∴FD=FE， 设DF=EF=x， 在直角△EFC中，∠FCE=45°， ∴EC=EF=x， ∴FC= ， ∴DA=DC= ， ∴AC= ， 在直角△ADF中， ∴AD2+DF2=AF2， 即 ， 解得 , 又∵ ， ∴， 故答案为 ． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理以及等积法的应用，解决问题的关键是利用三角形的面积有两种不同的表示方法确定等量关系． 1．生活中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸． (1)探索发现实验一：如图1，将正方形纸片沿对折，展开后沿折叠，使得落在折痕的点处，再将正方形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点落在边上，点落在边上，折痕与分别交于．验证得知矩形纸片是标准纸． 实验二：如图2，将矩形纸片沿折叠，再沿折一次，折痕与交于点，通过测量得到，验证得知矩形纸片是标准纸． 请证明实验一或实验二中的矩形纸片是标准纸；（选择其中一个证明即可） (2)拓展应用如图3，在标准纸片中，，是线段上的点，且，是的中点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点． ①求证：是的中点； ②将矩形纸片沿折叠，使得落在线段的点处，求证：三点共线． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解②见详解 【分析】（1）如图1，先得出，再结合勾股定理得，整理得，得出矩形是标准纸，如图2中，设，，即，由翻折变换的性质可知，结合勾股定理得，故，即可作答． （2）①运用折叠的性质以及三角形内角和性质，得，证明，然后由等角对等边，再证明即可； ②连接交于点．延长交的延长线于点T．分别取，的中点，连接．运用证明，整理得，，同法可证，结合勾股定理得，，再整理边的关系得，即可作答． 【详解】（1）证明：如图1中，由题意，， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴ ∴， ∴矩形是标准纸； 如图2中，设，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是标准纸； （2）解：①连接， 由翻折变换的性质可知， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H是的中点； ②连接交于点．延长交的延长线于点T．分别取，的中点，连接． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同法可证 ∴， ∴， 设，， 则，， ∵点H是的中点； ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴P与重合， ∴D，P，E共线． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】(1)①45；② (2)①成立，见解析；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）①根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； ②证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）①结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．综合与实践 数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A、D重合，点B、C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为． （1）如图①，若，则当点N落在上时，和的数量关系是_______；的度数为_____； 思考探究： （2）在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点，当点落在上时，如图②，设、分别交于点J、K，若，请求出三角形的面积； 拓展应用： （3）如图③，在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接、，若，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）根据折叠的性质得：，，根据直角三角形的性质可得，由直角三角形的两锐角互余可得结论； （2）由折叠得：，证明，可知，，得是等腰直角三角形，再证明四边形是正方形，分别计算，，由三角形面积公式可得结论； （3）如图，过点P作于G，于H，根据等腰三角形的三线合一可得，由折叠的性质和矩形的性质可得，，设，则，，根据，列方程可解答． 【详解】解：（1）由折叠得：，，， ， ， ， ， 故答案为：，； 思考探究： （2）由折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； 拓展应用： （3）过点P作于G，于H， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由折叠得：，， 在中，， ， 延长，交于L， 中，，， ， ，， ， 设，，， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键． 4．在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接．根据折叠的性质和垂直平分线的性质，证明是等边三角形，即可得到结论； （2）连接．设，证明，从而得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 5．【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3） 【分析】（1），由折叠得到，，，从而推出，，，，得到，推出点三点共线，即可说明； （2），将绕点逆时针旋转，得到，连接，由旋转可得，，得到，，，，推出，证得，得到，再利用勾股定理即可说明； （3）将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点，得到，，，，，，从而可得，，可证明四边形是正方形，设，则，，，利用勾股定理，可得到，解得，（舍去），得到，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：由折叠可得，，， ∴，，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴； （2）解：，理由： 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 由旋转可得，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴； （3）解：如图所示，将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点， ∴，，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 6．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．已知，则的度数为______； 【深入探究】 (2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．试探究与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图③，在图②的基础上，点，分别是，的中点，顺次连接、、、，若，求点，之间的距离． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质可得，，从而推出，即可得到答案； （2）根据正方形的性质和折叠的性质，同（1）可得，，可证，即可得到； （3）由和正方形的性质可证四边形是平行四边形，结合点、分别是、的中点，从而推出四边形是平行四边形，得到，设，则，然后由，，得到，从而得到，利用勾股定理得到，结合是的中点得到，从而得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：四边形ABCD是正方形， 根据折叠可知，， 故答案为：． （2）解：四边形是正方形 ， ， 根据折叠可知， 同理 在和中 （3）解：如图，连接 由（2）可知， ， 正方形中， 四边形是平行四边形 点、分别是、的中点 四边形是平行四边形 设， 则 ， 点是的中点 解得： 即点、之间的距离为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7．综合与实践 实践操作 如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，延长，与交于点，与DC交于点M． 问题解决 (1)请在图2中证明四边形是正方形． 证明：∵矩形 ∴（依据1），（依据2）， ∴ 由第一步折叠可知：， ∴…… 填写证明过程中的依据1： ，依据2： ，并完成剩余证明过程． (2)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明． (3)请在图4中判断与的数量关系，通过计算加以说明． 【答案】(1)依据1：矩形的四个角都是直角，依据2：矩形的对边平行，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据矩形的四个角都是直角，对边平行，根据既有一个角是直角的菱形是正方形证明即可． （2）连接，根据折叠的性质，正方形的性质，证明即可． （3）设，则，，利用勾股定理求出x，计算可得． 【详解】（1）依据1：矩形的四个角都是直角，依据2：矩形的对边平行． ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：矩形的四个角都是直角；矩形的对边平行． （2）解：． 证明：连结． 由折叠知：， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 在和 中， ∵， ∴， ∴． （3）解：．证明： 设． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 由折叠知：． ∴． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的全等的判定和性质．熟练掌握是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $