专题03 数据分析初步全章20种题型（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材浙教版

专题03 数据分析初步 数据的集中趋势 统计量 定义 计算公式 / 说明 核心特点 算术平均数 一组数据的总和除以数据个数 ​ 充分利用所有数据，反映整体平均水平，易受极端值影响 加权平均数 考虑各数据权重（重要程度）的平均数 ​​（wi为权重） 适用于数据重要性不同的场景，权重越大，对结果影响越大 中位数 将数据从小到大排列后，中间位置的数值 ① n为奇数：取第个数② n为偶数：取第和个数的平均数 不受极端值影响，反映数据的中间水平 众数 一组数据中出现次数最多的数 统计各数据的频数，取频数最高的数 反映数据的最常见值，可1个、多个、无，不受极端值影响 四分位数 将排序后的数据等分为4份的3个分位点，记为Q1（下四分位数/第25百分位数）、Q2（中位数 / 第50百分位数）、Q3（上四分位数/第75百分位数） ① 排序数据；② 用位置公式i=（p为百分位）确定位置③ 若i为整数，取第i和i+1个数的平均；若i非整数，向上取整取对应位置的数 刻画数据的分布位置，不受极端值影响，是箱线图的核心 数据的离散程度 统计量 定义 计算公式 / 说明 核心特点 极差 一组数据中最大值与最小值的差 极差=最大值−最小值 计算最简单，仅反映极端值差距，易受极端值影响 离差平方和 各数据与平均数差的平方的总和 衡量数据总波动大小，是方差的 “原始形式”，n越大，值越大 方差 离差平方和的平均数（总体方差） 衡量数据的平均波动，方差越大，数据波动越大、越不稳定 标准差 方差的算术平方根 ​ 与原数据单位一致，更直观反映波动大小 四分位距（IQR） 上四分位数与下四分位数的差 IQR=Q3−Q1​ 反映中间50%数据的波动，完全不受极端值影响，是箱线图判断异常值的核心 数据的可视化与分布 1. 箱线图 构成要素： · 箱体：左边界为Q1，右边界为Q3，箱体长度为IQR； · 箱内横线：中位数Q2； · 须线：从箱体延伸至非异常值的最大值 / 最小值； · 异常值：超出[Q1−1.5IQR,Q3+1.5IQR]范围的数据，用单独点标注. 作用：直观展示数据的集中趋势、离散程度、偏态分布，快速识别异常值，适合多组数据对比. 2. 用样本估计总体 核心逻辑：当总体数量大、无法全面调查时，用样本的平均数、方差、四分位数估计总体的对应统计量. 抽样要求：样本需具有代表性、广泛性、随机性，才能保证估计的准确性. 集中趋势相关易错点 错误 1：求中位数 / 四分位数时忘记先排序 · 错因：直接取中间位置的数，未按大小排序，导致结果完全错误. · 避坑：求中位数、四分位数的第一步必须是从小到大排序，再按位置计算. 错误 2：混淆算术平均数与加权平均数 · 错因：忽略权重（占比、次数、重要程度），直接用算术平均数计算，结果偏差. · 避坑：题目出现 “权重、占比、次数、评分标准” 等关键词，必须用加权平均数. 错误 3：认为众数唯一 · 错因：默认一组数据只有一个众数，忽略多个数频数相同且最高的情况. · 避坑：众数可以有1个、多个，也可以没有（所有数出现次数相同）. 错误 4：忽略极端值对平均数的影响 · 错因：用平均数代表数据整体水平时，未考虑极端值拉高 / 拉低平均水平. · 避坑：数据存在极端值（如工资、收入、成绩）时，优先用中位数代表整体水平. 错误 5：四分位数位置计算错误 · 错因：混淆不同的位置计算方法，或直接取第个数，忽略n为整数/非整数的处理. · 避坑：严格按百分位位置公式计算，区分 “整数位置取平均、非整数位置向上取整” 的规则. 离散程度相关易错点 错误 1：混淆离差平方和与方差 · 错因：把离差平方和直接当成方差，忘记除以数据个数n，导致数值放大n倍. · 避坑：牢记：离差平方和SS是“总波动”，方差s2是 “平均波动”，s2=. 错误 2：方差计算漏除以数据个数n · 错因：只计算了平方和，忘记取平均，导致方差数值错误. · 避坑：方差公式是 “平方和的平均数”，必须除以n. 错误 3：混淆方差与标准差的意义 · 错因：认为方差单位与原数据一致，实际方差是平方单位，标准差才与原数据单位一致. · 避坑：需要用原数据单位描述波动时，用标准差；仅比较波动大小时，方差和标准差等价. 错误 4：极差 / 四分位距计算顺序颠倒 · 错因：用最小值减最大值，导致结果为负数. · 避坑：极差= 最大值-最小值，四分位距 =Q3−Q1，结果必须为非负数. 错误 5：异常值判断错误 · 错因：用Q1−IQR、Q3+IQR判断异常值，遗漏系数1.5. · 避坑：异常值的判定标准是 **<Q1−1.5IQR 或 >Q3+1.5IQR**，1.5是核心系数，不可省略. 箱线图相关易错点 错误 1：箱线图的箱体边界理解错误 · 错因：把箱体左右边界当成最大值/最小值，或混淆Q1、Q3的位置. · 避坑：箱体左=下四分位数Q1，箱体右=上四分位数Q3，箱体包含中间50%的数据. 错误 2：箱线图的须线绘制错误 · 错因：把须线直接画到最大值/最小值，未剔除异常值. · 避坑：须线只能延伸到非异常值的最大/最小值，异常值单独标注. 错误 3：用箱线图判断平均数 · 错因：认为箱线图的中位数就是平均数，忽略偏态分布中两者的差异. · 避坑：箱线图仅展示中位数，不直接体现平均数；右偏分布中平均数 > 中位数，左偏分布中平均数 < 中位数. 样本估计总体相关易错点 错误 1：样本不具代表性，直接估计总体 · 错因：用特殊样本（如仅调查班级同学估计全校学生身高）估计总体，结果失真. · 避坑：抽样需随机、覆盖不同群体，保证样本代表性. 错误 2：混淆样本与总体的统计量 · 错因：将样本平均数直接等同于总体平均数，忽略 “估计” 的含义. · 避坑：样本统计量是总体统计量的近似，表述时需用 “估计”“约为” 等词. 统计量的选择技巧 数据特点 / 需求 优先选择的统计量 原因 无极端值、数据均匀 平均数 充分利用所有数据，反映整体平均 有极端值、数据偏态 中位数 / 四分位数 不受极端值影响，更贴合数据真实水平 关注最常见的数值（如销量、尺码） 众数 直接反映出现频率最高的数值 比较两组数据的稳定性 方差 / 标准差 方差越小，数据越稳定 剔除极端值后分析波动 四分位距IQR 完全不受极端值影响，反映中间50% 数据的波动 多组数据分布对比 箱线图 直观展示集中趋势、离散程度、异常值 方差/利差平方和的简化计算技巧 当数据较大时，可将每个数据同时减去一个常数a，得到新数据yi=xi−a，则：=+a，SSx=SSy，sx2=sy2（离差平方和、方差不变），大幅简化计算。例：计算数据101,102,103,104,105的方差，令a=100，新数据为1,2,3,4,5，方差与原数据完全相同. 四分位数快速计算技巧 对于n个排序后的数据： · Q1位置：，若i1为整数，Q1=；若i1非整数，向上取整得k，Q1=xk; · Q2位置：即中位数位置，，按中位数规则计算; · Q3位置：，若i3为整数，Q3=；若i3非整数，向上取整得k，Q3=xk. 箱线图的快速绘制技巧 ①排序数据→ ②计算Q1,Q2,Q3 → ③计算IQR=Q3−Q1→ ④确定异常值范围[Q1−1.5IQR,Q3+1.5IQR] → ⑤标注异常值→ ⑥画箱体、须线、中位数. 求平均数 【例1】样本数据3，4，3，6的平均数是（   ） A．3 B． C．4 D．6 【变式1-1】某班五个小组在一次项目化学习中提出的问题个数分别是：5，3，6，4，7．则这五个小组提出问题个数的平均数是（    ） A．4 B．5 C．5.5 D．6 【变式1-2】某小组6名同学的身高（单位：）分别为160、162、159、161、158、160，则这组数据的平均数是（    ） A．160 B．161 C．162 D．163 【变式1-3】小亮前四次数学测验的平均成绩是93分，第五次的成绩是98分．他这五次测验的平均成绩是（    ）分． A．93 B．94 C．95 D．96 利用平均数做决策 【例2】六年级同学参加科普知识竞赛．男生组的平均成绩是86分，女生组的平均成绩是84分．男生组第一名与女生组第一名相比，（   ） A．男生成绩高 B．女生成绩高 C．成绩相等 D．无法确定谁成绩高 【变式2-1】小明所在班级学生平均身高是1.41米，小强所在班级学生平均身高1.4米，小明和小强相比（　） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法确定谁高 【变式2-2】数学测验后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的成绩，小明说：“我们组的平均成绩是128分”，小华说：“我们组的平均成绩是126分”．在不知道小明和小华成绩的情况下，下列说法比较合理的是（    ） A．小明的分数比小华的分数低 B．小明的分数比小华的分数高 C．小明的分数和小华的分数相同 D．小华的分数可能比小明的分数高 【变式2-3】如图是甲、乙两人次射击成绩（环）的条形统计图，则（　　） A．甲的平均成绩比乙好 B．乙的平均成绩比甲好 C．甲、乙两人的平均成绩一样 D．无法确定谁的平均成绩好 利用平均数求相关数据的平均数 【例3】已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为________ 【变式3-1】已知一组数据，，，的平均数是2018，则另一组数据，，，的平均数是_________． 【变式3-2】已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据，，的平均数为______． 【变式3-3】已知一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是（　　） A．5 B．20 C．15 D．25 求加权平均数 【例4】某中学进行“优秀班级”评比活动，将品德操行、纪律、卫生三项按的比例确定班级成绩，已知某班级这三项的成绩分别为分，分，分，则该班级的最终成绩是___________分． 【变式4-1】为了解某地居民用电情况，抽查了部分居民一个月内的用电量，其中有3户用电55kW·h，有5户用电58kW·h，有7户用电70kW·h，则平均每户用电（    ） A．63kW·h B．61kW·h C．60kW·h D．71kW·h 【变式4-2】某校对班级考核打分方案为卫生分数占，课间纪律分数占，课堂纪律分数占．八年级（1）班本学期这三部分的成绩依次为92分、90分、96分，则八年级（1）班本学期的考核成绩为__________分． 利用加权平均数做决策 【例5】张先生计划元旦假期与家人一同前往南召县景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对南召的五朵山、宝天曼、石头村、百尺潭四个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民俗三个方面进行评分（10分制），四个景区的评分如下表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 五朵山 10 7 7 宝天曼 9 7 8 石头村 6 8 9 百尺潭 8 6 6 张先生按照自己认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是______． 【变式5-1】某校八年级进行歌咏比赛，评分包括以下三项（每项满分20分）：组织情况、艺术处理、作品表现．其中三个班的成绩如下表： 班级 评分项 组织情况 艺术处理 作品表现 一班 18 16 18 二班 19 18 16 三班 16 18 17 如果将组织情况、艺术处理、作品表现这三项得分依次按的比例计算各班的成绩，那么哪个班的成绩最高？ 【变式5-2】某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 80 90 85 乙 80 85 90 根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，请计算甲、乙两人各自的最终成绩，确定谁将被录取． 【变式5-3】某公司招聘员工，分别测试了应聘者的阅读、思维、表达三方面，两位应聘者的得分为：甲的阅读、思维、表达分别是93分、86分、73分；乙的阅读、思维、表达分别是95分、81分、79分．根据实际需要，公司将阅读、思维和表达三项测试得分按的比例确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，将被录用的是_______． 求中位数 【例6】某班5位学生的中考体育模拟成绩为37，40，35，38，36．则这组数据的中位数是（   ） A．35 B．36 C．37 D．38 【变式6-1】近年来浙江省全力推进生态保护和修复治理，绿色已成为美丽浙江的亮丽底色．下表是浙江省部分城市的森林覆盖率统计结果： 城市 杭州 丽水 台州 衢州 温州 金华 宁波 森林覆盖率 这七座城市森林覆盖率的中位数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】某班10名男生在一次引体向上测试中，成绩如下（单位：个）：9，5，7，10，13，12，9，10，8，15，这组数据的中位数是________个． 【变式6-3】某校升国旗中队在新学期中招收新队员，初选20人入选，这20名队员的身高如下表： 身高（） 173 174 175 176 人数（人） 3 7 6 4 则该批队员身高数据的中位数为（    ） A．174 B．174.5 C．175 D．176 利用中位数求未知数的值 【例7】一组数据：3，9，2，m，7，它的中位数是4，则这组数据的平均数是______． 【变式7-1】已知下列一组数据23，25，20，18，x，12，若中位数是20，则众数是_______． 【变式7-2】一组数据从小到大排列为，，，，，，这组数据的中位数为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】一组数据，若这组数据的中位数是3，则这组数据的平均数是___________． 利用中位数做决策 【例8】在一次数学测试中，小强成绩82分，超过班级半数同学的成绩．分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【变式8-1】有11位同学参加学校举行的歌唱比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不会发生变化的是（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【变式8-2】八年级（7）班有7位同学参加年级“最强大脑”数学比赛初赛，有4位可以进入决赛．何同学知道自己的成绩后，更想知道自己是否进入决赛，他只需要知道这七位同学成绩的（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【变式8-3】在申请加入中国共青团的过程中，团课笔试是一个重要的环节．某校组织65名申请入团的同学进行团课笔试，其中有32人笔试合格．小轩已经查出自己的成绩，他想判断自己笔试是否合格，只需要知道65人笔试成绩的（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 求众数 【例9】一组数据：1，1，2，3，2，1．这组数据的众数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．1.5 【变式9-1】某学校在“爱心一日捐”捐款活动中，一班第一组10名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：这10名同学捐款的众数为（   ） 金额/元 10 20 50 100 人数 1 2 5 2 A．10元 B．20元 C．50元 D．100元 【变式9-2】某班有50名学生，某日晨检体温统计如下表： 体温/℃ 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 人数 9 10 12 11 7 1 根据上表的信息，关于体温的众数是（   ） A．12 B．36.4 C．9 D．36.2 【变式9-3】若一组数据为6，6，5，6，7，9，则这组数据的中位数和众数分别为（   ） A．5.5和5 B．5.5和6 C．5和6 D．6和6 利用众数求未知数的值 【例10】五个数据，的中位数和众数都是，则______． 【变式10-1】已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【变式10-2】已知一组数据3，4，5，6，的众数为5，则这组数据的平均数为_________． 【变式10-3】一组数据2，，x，6，的众数为6，则这组数据的中位数为（    ） A．2 B． C．6 D． 利用众数做决策 【例11】体育中考成绩出来后，班主任分析说：“同学们考得非常好，大多数同学都考了满分．”你认为班主任所描述的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式11-1】学校准备准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示： 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 学校最终决定购买红色校服，其参考的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式11-2】名学生的鞋号由小到大是： ， 这组数据的平均数、中位数和众数中，指标______是鞋厂最感兴趣的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）． 【变式11-3】路桥区某服装经销商对甲、乙、丙、丁四种服装（利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种服装的进货数量，影响该服装经销商决策的统计量是（    ） 种类 甲 乙 丙 丁 销售量（件） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 离差平方和 【例12】若一组数据，，…，的方差为16，则这组数据的离差平方和为______． 【变式12-1】组内离差平方和的计算依据是（   ） A．数据与最大值的差的平方和 B．数据与最小值的差的平方和 C．数据与平均数的差的平方和 D．数据与中位数的差的平方和 【变式12-2】已知一组数据分为两组，分别为3，5，7和11，13，15，则这两组数据的组内离差平方和为_________． 【变式12-3】某小组6名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，90，92，90，96老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布，若按照以下分组方式：第一组，第二组，则组内离差平方和为_____________． 方差 【例13】吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【变式13-1】一组数据4、5、6、7、8的方差为，另一组数据0、5、0、7、12的方差为，那么___________（填“”、“”或“”）． 【变式13-2】一组数据：8，8，6，8，10，若删除一个数据8，则发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【变式13-3】已知一组数据，，的平均数和方差分别是2，，那么另一组数据，，的平均数和方差分别是_________． 根据方差判断稳定性 【例14】甲、乙两名射击手的10次测试的平均成绩都是9环，方差分别是，，则成绩比较稳定的是______（填“甲”或“乙”） 【变式14-1】某校准备从甲、乙、丙三名同学中选拔一名参加全市射击比赛．他们在选拔比赛中，射击十次的平均环数，；，根据以上提供的信息，你认为应该选_____参加全市射击比赛． 【变式14-2】甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数是环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式14-3】现有甲、乙、丙、丁四支篮球队，每支队伍的队员平均身高都为，方差分别为，，，，则身高最整齐的球队是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 求标准差 【例15】计算数据3，4，5，6，7的标准差为________． 【变式15-1】已知一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，则这组数据的标准差为______． 【变式15-2】下列五个数：11，12，13，14，15的标准差为 ___________． 【变式15-3】一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是__________． 样本估计总体 【例16】随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为______． 【变式16-1】某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 【变式16-2】某校举行模型制作展，随机调查了部分学生上交作品件数，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)补全两幅统计图； (2)求所抽取学生上交作品件数的众数与中位数； (3)求所抽取学生上交作品件数的平均数，若该校共有1200名学生，请估计上交的作品一共有多少件？ 【变式16-3】某校组织全体1500名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据A：1本；B：2本；C：3本；D：4本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．请根据统计图解答下列问题： (1)计算这次调查中D类型学生人数并补全条形统计图； (2)被调查学生读书数量的众数______和中位数______； (3)求被调查学生读书数量的平均数，并估计全校1500名学生共读书多少本？ 求四分位数 【例17】一组数据共有12个数值，按从小到大排列后，下四分位数的位置是（   ） A．第3个 B．第3.25个 C．第3.5个 D．第4个 【变式17-1】八年级某小组的同学每分钟跳绳个数的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数是（   ）． A．120 B．140 C．150 D．163 【变式17-2】随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某学校课外活动小组随机采访了该小区的10位居民，将采访数据绘制成如下箱线图，则这组数据的上四分位数为________． 【变式17-3】已知4名学生的期中考试数学成绩（单位：分）分别为98，110，m，120，且第三四分位数为118，则m的值为（    ） A．115 B．116 C．117 D．118 箱线图 【例18】如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是________________．（选填“甲地”或“乙地”）    【变式18-1】某文具店老板将6月份内每天的笔记本销售量绘制了箱线图，以下说法正确的是（   ） A．有15天每天销售笔记本在200本以上 B．6月的笔记本每天销售量的中位数在200本以下 C．这个月中笔记本销售量最大的一天，销售量大于400本 D．这个月中每天笔记本的销售量差异不大 【变式18-2】某校举办了一次“我爱家乡”知识竞赛，已知一班和二班人数相等，此次竞赛中两班成绩的箱线图如图所示，则成绩比较集中的班级是_____ 班． 【变式18-3】关于箱线图的说法错误的是（    ） A．箱线图可以反映数据的分布情况 B．箱线图最左侧的竖直线段表示这组数据的最小值 C．“箱子”部分包含了样本的数据 D．“箱子”左右两侧的每条水平线段包含了样本的数据 【变式18-4】甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况如图所示，以下对各队队员的身高特点分析正确的是（    ） A．最高的队员在甲队，最矮的队员在乙队 B．丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小 C．丁队队员的身高差距最小，身高较为集中 D．丙队队员的身高差距最大，身高较为分散 根据要求选择合适的统计量 【例19】要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是（    ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【变式19-1】有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（    ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【变式19-2】九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式19-3】为了解美食节同学们最喜欢的菜肴，最应该关注的统计量是（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 利用合适的统计量做决策 【例20】有7名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前4名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式20-1】年月4日是第十二个国家宪法日．为进一步增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，维护宪法权威，某校开展了一次宪法知识竞赛（百分制）．七、八年级各有名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（均为整数，单位：分）分为5组：①；②；③；④；⑤．部分信息如下： a．七年级②组的学生人数占七年级参赛人数的； 八年级③组中最低的个成绩分别为． b．七、八年级成绩统计图如下： c．七、八年级成绩的平均数，中位数，众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 根据以上情况回答下列问题： (1)____________，____________； (2)请补全条形统计图； (3)这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； (4)综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对宪法知识掌握得更好？请说明理由． 【变式20-2】当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一、某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩 （百分制）如下： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 95 8.2 人工 90 108.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中：___________，___________； (2)求的值； (3)根据以上数据分析，请你分析机器人和人工操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 【变式20-3】某校为迎接椒江区初中数学学生“微说题”比赛，在校内进行了选拔赛，参加选拔的20位学生分A，B两组，成绩如下： A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96； B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98． 数据分析如下表： 组别 平均数 中位数 众数 优秀率（大于90分为优秀） A组 88 87.5 82 B组 88 84 30% 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)B组的小明说：“我的成绩是87分，在B组属于中上水平，那么我的成绩在A组肯定也属于中上水平！”你同意小明的说法吗？请说明理由； (3)选择适当的统计量，分析哪一组学生成绩更好？ 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数据分析初步 数据的集中趋势 统计量 定义 计算公式 / 说明 核心特点 算术平均数 一组数据的总和除以数据个数 ​ 充分利用所有数据，反映整体平均水平，易受极端值影响 加权平均数 考虑各数据权重（重要程度）的平均数 ​​（wi为权重） 适用于数据重要性不同的场景，权重越大，对结果影响越大 中位数 将数据从小到大排列后，中间位置的数值 ① n为奇数：取第个数② n为偶数：取第和个数的平均数 不受极端值影响，反映数据的中间水平 众数 一组数据中出现次数最多的数 统计各数据的频数，取频数最高的数 反映数据的最常见值，可1个、多个、无，不受极端值影响 四分位数 将排序后的数据等分为4份的3个分位点，记为Q1（下四分位数/第25百分位数）、Q2（中位数 / 第50百分位数）、Q3（上四分位数/第75百分位数） ① 排序数据；② 用位置公式i=（p为百分位）确定位置③ 若i为整数，取第i和i+1个数的平均；若i非整数，向上取整取对应位置的数 刻画数据的分布位置，不受极端值影响，是箱线图的核心 数据的离散程度 统计量 定义 计算公式 / 说明 核心特点 极差 一组数据中最大值与最小值的差 极差=最大值−最小值 计算最简单，仅反映极端值差距，易受极端值影响 离差平方和 各数据与平均数差的平方的总和 衡量数据总波动大小，是方差的 “原始形式”，n越大，值越大 方差 离差平方和的平均数（总体方差） 衡量数据的平均波动，方差越大，数据波动越大、越不稳定 标准差 方差的算术平方根 ​ 与原数据单位一致，更直观反映波动大小 四分位距（IQR） 上四分位数与下四分位数的差 IQR=Q3−Q1​ 反映中间50%数据的波动，完全不受极端值影响，是箱线图判断异常值的核心 数据的可视化与分布 1. 箱线图 构成要素： · 箱体：左边界为Q1，右边界为Q3，箱体长度为IQR； · 箱内横线：中位数Q2； · 须线：从箱体延伸至非异常值的最大值 / 最小值； · 异常值：超出[Q1−1.5IQR,Q3+1.5IQR]范围的数据，用单独点标注. 作用：直观展示数据的集中趋势、离散程度、偏态分布，快速识别异常值，适合多组数据对比. 2. 用样本估计总体 核心逻辑：当总体数量大、无法全面调查时，用样本的平均数、方差、四分位数估计总体的对应统计量. 抽样要求：样本需具有代表性、广泛性、随机性，才能保证估计的准确性. 集中趋势相关易错点 错误 1：求中位数 / 四分位数时忘记先排序 · 错因：直接取中间位置的数，未按大小排序，导致结果完全错误. · 避坑：求中位数、四分位数的第一步必须是从小到大排序，再按位置计算. 错误 2：混淆算术平均数与加权平均数 · 错因：忽略权重（占比、次数、重要程度），直接用算术平均数计算，结果偏差. · 避坑：题目出现 “权重、占比、次数、评分标准” 等关键词，必须用加权平均数. 错误 3：认为众数唯一 · 错因：默认一组数据只有一个众数，忽略多个数频数相同且最高的情况. · 避坑：众数可以有1个、多个，也可以没有（所有数出现次数相同）. 错误 4：忽略极端值对平均数的影响 · 错因：用平均数代表数据整体水平时，未考虑极端值拉高 / 拉低平均水平. · 避坑：数据存在极端值（如工资、收入、成绩）时，优先用中位数代表整体水平. 错误 5：四分位数位置计算错误 · 错因：混淆不同的位置计算方法，或直接取第个数，忽略n为整数/非整数的处理. · 避坑：严格按百分位位置公式计算，区分 “整数位置取平均、非整数位置向上取整” 的规则. 离散程度相关易错点 错误 1：混淆离差平方和与方差 · 错因：把离差平方和直接当成方差，忘记除以数据个数n，导致数值放大n倍. · 避坑：牢记：离差平方和SS是“总波动”，方差s2是 “平均波动”，s2=. 错误 2：方差计算漏除以数据个数n · 错因：只计算了平方和，忘记取平均，导致方差数值错误. · 避坑：方差公式是 “平方和的平均数”，必须除以n. 错误 3：混淆方差与标准差的意义 · 错因：认为方差单位与原数据一致，实际方差是平方单位，标准差才与原数据单位一致. · 避坑：需要用原数据单位描述波动时，用标准差；仅比较波动大小时，方差和标准差等价. 错误 4：极差 / 四分位距计算顺序颠倒 · 错因：用最小值减最大值，导致结果为负数. · 避坑：极差= 最大值-最小值，四分位距 =Q3−Q1，结果必须为非负数. 错误 5：异常值判断错误 · 错因：用Q1−IQR、Q3+IQR判断异常值，遗漏系数1.5. · 避坑：异常值的判定标准是“<Q1−1.5IQR 或 >Q3+1.5IQR”，1.5是核心系数，不可省略. 箱线图相关易错点 错误 1：箱线图的箱体边界理解错误 · 错因：把箱体左右边界当成最大值/最小值，或混淆Q1、Q3的位置. · 避坑：箱体左=下四分位数Q1，箱体右=上四分位数Q3，箱体包含中间50%的数据. 错误 2：箱线图的须线绘制错误 · 错因：把须线直接画到最大值/最小值，未剔除异常值. · 避坑：须线只能延伸到非异常值的最大/最小值，异常值单独标注. 错误 3：用箱线图判断平均数 · 错因：认为箱线图的中位数就是平均数，忽略偏态分布中两者的差异. · 避坑：箱线图仅展示中位数，不直接体现平均数；右偏分布中平均数 > 中位数，左偏分布中平均数 < 中位数. 样本估计总体相关易错点 错误 1：样本不具代表性，直接估计总体 · 错因：用特殊样本（如仅调查班级同学估计全校学生身高）估计总体，结果失真. · 避坑：抽样需随机、覆盖不同群体，保证样本代表性. 错误 2：混淆样本与总体的统计量 · 错因：将样本平均数直接等同于总体平均数，忽略 “估计” 的含义. · 避坑：样本统计量是总体统计量的近似，表述时需用 “估计”“约为” 等词. 统计量的选择技巧 数据特点 / 需求 优先选择的统计量 原因 无极端值、数据均匀 平均数 充分利用所有数据，反映整体平均 有极端值、数据偏态 中位数 / 四分位数 不受极端值影响，更贴合数据真实水平 关注最常见的数值（如销量、尺码） 众数 直接反映出现频率最高的数值 比较两组数据的稳定性 方差 / 标准差 方差越小，数据越稳定 剔除极端值后分析波动 四分位距IQR 完全不受极端值影响，反映中间50% 数据的波动 多组数据分布对比 箱线图 直观展示集中趋势、离散程度、异常值 方差/利差平方和的简化计算技巧 当数据较大时，可将每个数据同时减去一个常数a，得到新数据yi=xi−a，则：=+a，SSx=SSy，sx2=sy2（离差平方和、方差不变），大幅简化计算。例：计算数据101,102,103,104,105的方差，令a=100，新数据为1,2,3,4,5，方差与原数据完全相同. 四分位数快速计算技巧 对于n个排序后的数据： · Q1位置：，若i1为整数，Q1=；若i1非整数，向上取整得k，Q1=xk; · Q2位置：即中位数位置，，按中位数规则计算; · Q3位置：，若i3为整数，Q3=；若i3非整数，向上取整得k，Q3=xk. 箱线图的快速绘制技巧 ①排序数据→ ②计算Q1,Q2,Q3 → ③计算IQR=Q3−Q1→ ④确定异常值范围[Q1−1.5IQR,Q3+1.5IQR] → ⑤标注异常值→ ⑥画箱体、须线、中位数. 求平均数 【例1】样本数据3，4，3，6的平均数是（  ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了求平均数．根据平均数的公式计算即可． 【详解】解：样本数据3，4，3，6的平均数是． 故选：C 【变式1-1】某班五个小组在一次项目化学习中提出的问题个数分别是：5，3，6，4，7．则这五个小组提出问题个数的平均数是（    ） A．4 B．5 C．5.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数的定义，根据平均数的定义正确列式是解题的关键． 直接利用平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：这五个小组提出问题个数的平均数是：． 故选B． 【变式1-2】某小组6名同学的身高（单位：）分别为160、162、159、161、158、160，则这组数据的平均数是（   ） A．160 B．161 C．162 D．163 【答案】A 【分析】此题考查了平均数，根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：平均数为． 故选：A． 【变式1-3】小亮前四次数学测验的平均成绩是93分，第五次的成绩是98分．他这五次测验的平均成绩是（    ）分． A．93 B．94 C．95 D．96 【答案】B 【分析】本题考查平均数的概念及应用，包括根据平均数求总数，以及再求新的平均数．根据前四次的平均成绩求出前四次的总成绩，再加上第五次成绩得到五次的总成绩，最后用五次总成绩除以测验次数5，就可得到五次测验的平均成绩． 【详解】解：（分） （分） （分） 故选：B． 利用平均数做决策 【例2】六年级同学参加科普知识竞赛．男生组的平均成绩是86分，女生组的平均成绩是84分．男生组第一名与女生组第一名相比，（   ） A．男生成绩高 B．女生成绩高 C．成绩相等 D．无法确定谁成绩高 【答案】D 【分析】本题考查平均数的意义，根据平均数只能反映一组数据的平均情况解答即可，也是解题关键． 【详解】解：因为平均数只能反映一组数据的平均情况， 所以无法确定谁成绩高． 故选D． 【变式2-1】小明所在班级学生平均身高是1.41米，小强所在班级学生平均身高1.4米，小明和小强相比（　　） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法确定谁高 【答案】D 【分析】小明所在班级学生平均身高是1.41米，并不代表小明的身高就是1.41米，可能比1.41米高，也可能比1.41米矮；小强所在班级学生平均身高1.4米，并不代表小强的身高就是1.4米，可能比1.4米高，也可能比1.4米矮；进而得出结论． 【详解】解：因为平均数表示的是整班学生的平均身高，不能说明每个学生的身高，所以小明和小强的身高是无法比较的． 故选：D． 【点睛】本题考查平均数的意义，解决此题明确平均身高的含义：全部学生的身高总和÷学生人数＝平均身高． 【变式2-2】数学测验后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的成绩，小明说：“我们组的平均成绩是128分”，小华说：“我们组的平均成绩是126分”．在不知道小明和小华成绩的情况下，下列说法比较合理的是（    ） A．小明的分数比小华的分数低 B．小明的分数比小华的分数高 C．小明的分数和小华的分数相同 D．小华的分数可能比小明的分数高 【答案】D 【分析】根据平均数的定义进行分析即可求解． 【详解】解：根据平均数的定义可知，小明说：“我们组的平均成绩是128分”，小华说：“我们组的平均成绩是126分”．在不知道小明和小华成绩的情况下，小明的分数可能高于128分，或等于128分，也可能低于128分，小华的分数可能高于126分，或等于126分，也可能低于126分， 所以上述说法比较合理的是小华的分数可能比小明的分数高． 故选：D． 【点睛】本题考查的是算术平均数，它是反映数据集中趋势的一项指标． 【变式2-3】如图是甲、乙两人次射击成绩（环）的条形统计图，则（　　） A．甲的平均成绩比乙好 B．乙的平均成绩比甲好 C．甲、乙两人的平均成绩一样 D．无法确定谁的平均成绩好 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是利用平均数做决策、由条形统计图推断结论，解题关键是结合条形统计图计算甲、乙对应的平均数． 先根据条形统计图计算甲、乙对应的平均数，比较后即可求解． 【详解】解：依题得：甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， ， 甲、乙两人的平均成绩一样， 故选：． 利用平均数求相关数据的平均数 【例3】已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握算术平均数的计算是关键．根据平均数的算法计算即可． 【详解】解：由题意得，， 则，，，，的平均数为： ． 故答案为：． 【变式3-1】已知一组数据，，，的平均数是2018，则另一组数据，，，的平均数是_________． 【答案】2019 【分析】本题考查了平均数的定义，利用平均数的定义，计算新数据总和与原数据总和的关系，再求新平均数． 【详解】解：设原数据，，，的总和为S，则，即， 新数据，，，的总和为， ∴新平均数为． 故答案为：2019． 【变式3-2】已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据，，的平均数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的定义可得，则数据，，的平均数为，根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：数据，，的平均数是， ， ， 则数据，，的平均数为 ． 故答案为：． 【变式3-3】已知一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是（　　） A．5 B．20 C．15 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了算术平均数，解答本题的关键要明确：若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数． 根据的平均数为5得到，再根据平均数的公式计算即可． 【详解】解：∵一组数据的平均数为5， ∴， ∴ ∴数据的平均数为20， 故选：B． 求加权平均数 【例4】某中学进行“优秀班级”评比活动，将品德操行、纪律、卫生三项按的比例确定班级成绩，已知某班级这三项的成绩分别为分，分，分，则该班级的最终成绩是___________分． 【答案】88 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可得到答案. 【详解】解：该班级的最终成绩为：（分）． 【变式4-1】为了解某地居民用电情况，抽查了部分居民一个月内的用电量，其中有3户用电55kW·h，有5户用电58kW·h，有7户用电70kW·h，则平均每户用电（    ） A．63kW·h B．61kW·h C．60kW·h D．71kW·h 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 计算总用电量和总户数，再求平均值． 【详解】解：∵总户数户， 总用电量， ∴平均每户用电量 故选：A． 【变式4-2】某校对班级考核打分方案为卫生分数占，课间纪律分数占，课堂纪律分数占．八年级（1）班本学期这三部分的成绩依次为92分、90分、96分，则八年级（1）班本学期的考核成绩为__________分． 【答案】93 【分析】本题主要考查了求加权平均数，将各部分的成绩乘以其对应的权重得到各部分的加权成绩，再求和即可得到答案． 【详解】解： 分， ∴八年级（1）班本学期的考核成绩为93分， 故答案为：93． 利用加权平均数做决策 【例5】张先生计划元旦假期与家人一同前往南召县景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对南召的五朵山、宝天曼、石头村、百尺潭四个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民俗三个方面进行评分（10分制），四个景区的评分如下表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 五朵山 10 7 7 宝天曼 9 7 8 石头村 6 8 9 百尺潭 8 6 6 张先生按照自己认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是______． 【答案】五朵山 【分析】本题考查加权平均数的计算，分别求出每个景区的加权平均数，比较即可． 【详解】解：五朵山总评分为：， 宝天曼总评分为：， 石头村总评分为：， 百尺潭总评分为：， ∵， ∴他最终选择的景区是五朵山， 故答案为：五朵山． 【变式5-1】某校八年级进行歌咏比赛，评分包括以下三项（每项满分20分）：组织情况、艺术处理、作品表现．其中三个班的成绩如下表： 班级 评分项 组织情况 艺术处理 作品表现 一班 18 16 18 二班 19 18 16 三班 16 18 17 如果将组织情况、艺术处理、作品表现这三项得分依次按的比例计算各班的成绩，那么哪个班的成绩最高？ 【答案】二班 【分析】本题主要考查加权平均数．根据加权平均数的计算公式分别求出三个班级的平均成绩，再判断即可得出答案． 【详解】解：根据上述数据得： 一班的总成绩为分； 二班的总成绩为分； 三班的总成绩为分． 因为 所以二班的成绩最高． 【变式5-2】某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 80 90 85 乙 80 85 90 根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，请计算甲、乙两人各自的最终成绩，确定谁将被录取． 【答案】甲 【分析】本题考查了加权平均数，分别计算甲和乙的加权平均数，进行比较，即可得到答案． 【详解】甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ， 被录用的是甲， 故答案为：甲． 【变式5-3】某公司招聘员工，分别测试了应聘者的阅读、思维、表达三方面，两位应聘者的得分为：甲的阅读、思维、表达分别是93分、86分、73分；乙的阅读、思维、表达分别是95分、81分、79分．根据实际需要，公司将阅读、思维和表达三项测试得分按的比例确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，将被录用的是_______． 【答案】甲 【分析】本题考查了加权平均数的知识．根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可． 【详解】解：根据题意得： （分）， （分）； 甲将被录用． 故答案为：甲． 求中位数 【例6】某班5位学生的中考体育模拟成绩为37，40，35，38，36．则这组数据的中位数是（   ） A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】根据中位数的概念，将数据从小到大排序后，取中间位置的数即为中位数． 【详解】将原数据从小到大重新排列，可得：35，36，37，38，40． ∵数据总个数为5，是奇数， ∴中位数为排列后位于中间的数，即第3个数， ∴这组数据的中位数为37． 【变式6-1】近年来浙江省全力推进生态保护和修复治理，绿色已成为美丽浙江的亮丽底色．下表是浙江省部分城市的森林覆盖率统计结果： 城市 杭州 丽水 台州 衢州 温州 金华 宁波 森林覆盖率 这七座城市森林覆盖率的中位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对数据进行有序排列，第四个数据即为中位数，求解即可． 【详解】解：根据题意，从小到大排列为：，，，，，，， 第四个数据为， 故中位数是． 【变式6-2】某班10名男生在一次引体向上测试中，成绩如下（单位：个）：9，5，7，10，13，12，9，10，8，15，这组数据的中位数是________个． 【答案】 【分析】将数据按从小到大排序后，由于数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均值． 【详解】解：首先将数据从小到大排序：5，7，8，9，9，10，10，12，13， 15， ∵数据个数为，是偶数， ∴中位数为第5个数据和第6个数据的平均值， 即． 【变式6-3】某校升国旗中队在新学期中招收新队员，初选20人入选，这20名队员的身高如下表： 身高（） 173 174 175 176 人数（人） 3 7 6 4 则该批队员身高数据的中位数为（    ） A．174 B．174.5 C．175 D．176 【答案】B 【分析】先确定数据的总个数，再找到排序后中间位置的两个数据，计算平均数即可得到结果． 【详解】解：∵数据总个数为，是偶数 ∴中位数为从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数， ∵从小到大排列，前3个数据为173，第个数据为174，第个数据为175 ∴第10个数据为174，第11个数据为175， ∴中位数为 ． 利用中位数求未知数的值 【例7】一组数据：3，9，2，m，7，它的中位数是4，则这组数据的平均数是______． 【答案】5 【分析】根据中位数的定义确定的值，再根据平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：一组数据：，，，，，共个数据，它的中位数是， 将数据从小到大排序后，第个数为中位数， ∵已知中位数为4，且已知数据中比4小的数有2和3，比4大的数有7和9， ， 这组数据的平均数是． 【变式7-1】已知下列一组数据23，25，20，18，x，12，若中位数是20，则众数是_______． 【答案】20 【分析】本题主要考查中位数、众数，先根据中位数的定义得出x的值，再利用众数的定义求解即可． 【详解】解：∵一组数据23，25，20，18，x，12的中位数是20，, ∴， ∴， 则这组数据的众数为20， 故答案为：20． 【变式7-2】一组数据从小到大排列为，，，，，，这组数据的中位数为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的知识，根据中位数的概念求解即可，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：由中位数的概念可得，， 解得：， 故选：． 【变式7-3】一组数据，若这组数据的中位数是3，则这组数据的平均数是___________． 【答案】3 【分析】本题考查中位数和平均数，掌握各统计数据的意义是解题关键．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数据为该组数据的中位数． 【详解】解：将已知数值的数据按照从小到大的顺序排列：，中位数为 ∵的中位数也为， ∴， 故平均数为：． 故答案为：3． 利用中位数做决策 【例8】在一次数学测试中，小强成绩82分，超过班级半数同学的成绩．分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】根据题干“超过班级半数同学的成绩”的描述，结合中位数的定义即可判断所用统计量． 【详解】解：∵中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数，代表一组数据的中间水平，成绩大于中位数即说明成绩超过半数同学， ∴得出题中结论所用的统计量是中位数． 【变式8-1】有11位同学参加学校举行的歌唱比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不会发生变化的是（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】A 【分析】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断掌握中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响解答即可． 【详解】中位数的定义：从小到大排列后位于中间位置或中间两数的平均数， 所以去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：A． 【变式8-2】八年级（7）班有7位同学参加年级“最强大脑”数学比赛初赛，有4位可以进入决赛．何同学知道自己的成绩后，更想知道自己是否进入决赛，他只需要知道这七位同学成绩的（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】该题考查了中位数的定义，要判断何同学是否进入前4名，需确定他的成绩在7人中的相对位置．中位数能反映数据的中间位置，帮助确定排名． 【详解】解：共有7位同学，成绩按从高到低排列后，中位数是第4名的成绩．若何同学的成绩高于或等于中位数，则进入前4名．平均数（A）反映整体水平，众数（B）反映出现次数最多的值，方差（C）反映数据波动，均无法直接判断排名． 故选：D． 【变式8-3】在申请加入中国共青团的过程中，团课笔试是一个重要的环节．某校组织65名申请入团的同学进行团课笔试，其中有32人笔试合格．小轩已经查出自己的成绩，他想判断自己笔试是否合格，只需要知道65人笔试成绩的（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】A 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、频数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．65名申请入团的同学进行团课笔试，其中有32人笔试合格．他想判断自己是否一定能获奖，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】由于总共有65个人，则第33名的成绩是中位数，且只有32人获奖，所以他判断自己是否一定能获奖，只要知道65人复赛成绩的中位数． 故选：A 求众数 【例9】一组数据：1，1，2，3，2，1．这组数据的众数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．1.5 【答案】A 【分析】找出这组数据中出现次数最多的数即可解答． 【详解】解：∵这组数据中数字1出现3次，数字2出现2次，数字3出现1次， ∴数字1出现的次数最多，即这组数据的众数是1． 【变式9-1】某学校在“爱心一日捐”捐款活动中，一班第一组10名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：这10名同学捐款的众数为（   ） 金额/元 10 20 50 100 人数 1 2 5 2 A．10元 B．20元 C．50元 D．100元 【答案】C 【分析】本题考查众数的概念，只需根据众数的定义，找出出现次数最多的捐款金额即可得到答案． 【详解】解：∵众数的定义为：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 由表格可知，捐款50元的人数最多，为5人． ∴这10名同学捐款的众数为50元，故选C． 【变式9-9】某班有50名学生，某日晨检体温统计如下表： 体温/℃ 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 人数 9 10 12 11 7 1 根据上表的信息，关于体温的众数是（   ） A．12 B．36.4 C．9 D．36.2 【答案】B 【分析】36.4出现的次数最多，众数是36.4，众数是数据本身，不是数据出现的次数. 【详解】根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的原数据. ∵由表格可得，36.4℃对应的人数最多，即36.4在这组体温数据中出现次数最多， ∴该组体温数据的众数是36.4， 故选：B. 【变式9-3】若一组数据为6，6，5，6，7，9，则这组数据的中位数和众数分别为（   ） A．5.5和5 B．5.5和6 C．5和6 D．6和6 【答案】D 【分析】先将数据排序，再根据众数和中位数的定义分别计算出众数和中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排序为：5，6，6，6，7，9， ∴中位数从小到大排列后第3、4个数的平均数为：， 在这组数据中，出现次数最多的是6， ∴这组数据的众数为6， 综上所述，这组数据的中位数和众数均为6． 利用众数求未知数的值 【例10】五个数据，的中位数和众数都是，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了中位数，众数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先把个数据按顺序排列，然后根据既为众数也为中位数，求出的值． 【详解】解：其余4个数据按顺序排列为：， ∵是中位数，也是众数， ∴或． 故答案为：或． 【变式10-1】已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查众数的概念和数据的排列顺序，注意唯一众数的条件，理解题意是解题的关键． 数据从大到小排列，为正整数且；再根据众数是且唯一，排除的情况，得到． 【详解】解：∵数据从大到小排列为5，4，4，3，，且为正整数， ∴，即可能为1，2，3. ∵唯一的众数是，且出现两次， ∴若，则出现两次，众数为和，不唯一； 若，则其他数均出现一次，是唯一众数． ∴． 故选：D． 【变式10-2】已知一组数据3，4，5，6，的众数为5，则这组数据的平均数为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了众数和平均数，解题的关键是掌握众数和平均数的定义． 利用众数和平均数的定义和公式进行求解即可． 【详解】解：∵一组数据3，4，5，6，的众数为5， ∴ ∴平均数为， 故答案为：． 【变式10-3】一组数据2，，x，6，的众数为6，则这组数据的中位数为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键． 【详解】解：数据2，，x，6，的众数为6， ， 则数据重新排列为、、2、6、6， 所以中位数为2， 故选：A ． 利用众数做决策 【例11】体育中考成绩出来后，班主任分析说：“同学们考得非常好，大多数同学都考了满分．”你认为班主任所描述的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据题意众数的定义即可求解． 【详解】解∶∵大多数同学都考了满分， ∴班主任所描述的统计量是众数． 【变式11-1】学校准备准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示： 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 学校最终决定购买红色校服，其参考的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记众数的定义是解题关键．根据众数的定义求解即可得． 【详解】解：因为全校学生中，喜欢红色校服的学生人数最多， 所以这组数据中，众数是红色， 所以学校决定购买红色校服，可用来解释这一决定的统计知识是众数， 故选：C． 【变式11-2】名学生的鞋号由小到大是： ， 这组数据的平均数、中位数和众数中，指标______是鞋厂最感兴趣的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）． 【答案】众数 【分析】本题考查了众数，众数是数据中出现最多的数，即代表销售量最多的鞋号，据此即可求解，掌握众数的意义是解题的关键． 【详解】解：这组数据的平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是众数， 故答案为：众数． 【变式11-3】路桥区某服装经销商对甲、乙、丙、丁四种服装（利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种服装的进货数量，影响该服装经销商决策的统计量是（    ） 种类 甲 乙 丙 丁 销售量（件） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了众数．根据众数的意义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：影响该服装经销商决策的统计量是众数． 故选：C 离差平方和 【例12】若一组数据，，…，的方差为16，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】160 【分析】用方差乘以数据的个数计算即可. 【详解】解：. 【变式12-1】组内离差平方和的计算依据是（   ） A．数据与最大值的差的平方和 B．数据与最小值的差的平方和 C．数据与平均数的差的平方和 D．数据与中位数的差的平方和 【答案】C 【分析】根据组内离差平方和是方差计算的基础，其依据是数据点与平均数的偏差平方和即可选出正确答案； 本题考查了组内离差平方和的计算依据，熟练掌握其依据是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和的定义为各数据与平均数之差的平方和，用于度量数据离散度． ∴组内离差平方和的计算依据是数据与平均数的差的平方和． 故选：C． 【变式12-2】已知一组数据分为两组，分别为3，5，7和11，13，15，则这两组数据的组内离差平方和为_________． 【答案】16 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），熟练掌握以上知识点是关键． 计算每组数据的均值，再求每组数据与均值的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可． 【详解】解：第一组数据：， 均值为， 离差平方和为； 第二组数据：， 均值为， 离差平方和为； 组内离差平方和为． 故答案为：． 【变式12-3】某小组6名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，90，92，90，96老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布，若按照以下分组方式：第一组，第二组，则组内离差平方和为_____________． 【答案】10 【分析】根据离差平方和是各组内数据与本组平均数之差的平方和，组内离差平方和为两组离差平方和之和，先分别计算两组的离差平方和，再求和即可． 【详解】解：第一组数据为， 第一组数据的平均数为：， 第一组的离差平方和为：， 第二组数据为， 第二组数据的平均数为：， 第二组的离差平方和为：， 因此组内离差平方和为． 方差 【例13】吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，平均数，众数，根据方差算式可得这组数据为9，7，9，7，8，这组数据的平均数为8，则可求出这组数据的众数，再求出添加一个数8后的平均数和方差即可得到答案． 【详解】解：∵方差算式为， ∴这组数据为9，7，9，7，8，共5个数据，即，故A结论正确，不符合题意； 由方差算式可知平均数为8，故B结论正确，不符合题意； 这组数据中7和9均出现了2次，次数最多， 所以这组数据的众数为7和9，C结论错误，符合题意； 添加一个8后，数据为9，7，9，7，8，8，平均数仍为8， 原始方差， 新方差， ∴方差变小，故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【变式13-1】一组数据4、5、6、7、8的方差为，另一组数据0、5、0、7、12的方差为，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差公式是解题的关键；通过计算两组数据的方差进行比较即可． 【详解】解：对于第一组数据4、5、6、7、8，平均数为， 方差为； 对于第二组数据0、5、0、7、12，平均数为，方差为； 由于，故； 故答案为：＜． 【变式13-2】一组数据：8，8，6，8，10，若删除一个数据8，则发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】C 【分析】分别计算原数据和删除数据后各统计量，对比即可得到结果． 【详解】解：将原数据排序得：，，，，，共个数据． ∵原平均数为，原中位数为，原众数为，原方差为． 删除一个数据后，新数据排序得：，，，，共个数据． 计算得新平均数为，新中位数为，新众数为，新方差为． ∴对比可知，只有方差发生变化． 【变式13-3】已知一组数据，，的平均数和方差分别是2，，那么另一组数据，，的平均数和方差分别是_________． 【答案】1， 【分析】此题考查已知一组数据的平均数和方差求相关已知数据的平均数和方差，数学公式是解题的关键． 根据平均数与方差的定义，结合已知原数据的平均数和方差，推导计算新数据的平均数与方差． 【详解】解：由题意得，对于原数据，，，可得， 原数据方差为， 计算新数据，，的平均数：， 计算新数据的方差：． 根据方差判断稳定性 【例14】甲、乙两名射击手的10次测试的平均成绩都是9环，方差分别是，，则成绩比较稳定的是______（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】根据方差的意义，方差越小数据波动越小，成绩越稳定，比较甲、乙的方差大小即可得出结论． 【详解】解：由于甲、乙两名射击手的平均成绩相同，方差， 则成绩比较稳定的是乙． 【变式14-1】某校准备从甲、乙、丙三名同学中选拔一名参加全市射击比赛．他们在选拔比赛中，射击十次的平均环数，；，根据以上提供的信息，你认为应该选_____参加全市射击比赛． 【答案】甲 【分析】根据平均环数比较三人平均水平，再根据方差判断成绩稳定性，即可选出参赛人员． 【详解】解：∵， ∴甲、乙的平均成绩高于丙的平均成绩，候选范围为甲，乙， ∵， ∴甲的成绩比乙的成绩更稳定， 因此应该选甲参加全市射击比赛． 【变式14-2】甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数是环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较四人方差的大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵每人次射击成绩的平均数是环， ∴丁的方差最小，成绩波动最小，成绩最稳定． 【变式14-3】现有甲、乙、丙、丁四支篮球队，每支队伍的队员平均身高都为，方差分别为，，，，则身高最整齐的球队是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了方差的概念，熟练掌握方差的概念是解题的关键． 根据方差越小，数据越整齐，比较方差即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴乙队身高最整齐， 故选：B． 求标准差 【例15】计算数据3，4，5，6，7的标准差为________． 【答案】 【分析】本题考查标准差的计算，熟练掌握计算标准差的步骤是解题的关键．先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差． 【详解】解：数据3，4，5，6，7的平均数为， 方差， 标准差． 故答案为：． 【变式15-1】已知一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，则这组数据的标准差为______． 【答案】2 【分析】此题考查了平均数，计算一组数据的标准差，正确理解平均数求出x及掌握方差的计算公式是解题的关键． 先利用平均数求出，再求出这组数据的方差，即可得到标准差． 【详解】解：∵一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5， ∴， 解得， ∴这组数据的方差为， ∴这组数据的标准差为． 故答案为：2． 【变式15-2】下列五个数：11，12，13，14，15的标准差为 ___________． 【答案】 【分析】此题考查了标准差．先求出它们的方差，再求出标准差即可． 【详解】解：这五个数的平均数为：， 方差 ， 故标准差为． 故答案为：． 【变式15-3】一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是__________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16， 即， ， 则的平均数 ， 另一组数据的方差 ， ∴标准差． 故答案为：12． 样本估计总体 【例16】随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为______． 【答案】100 【分析】此题考查了求平均数，样本平均数估计总体，解题的关键是熟练掌握求平均数的方法．首先求出样本的平均数，然后估算全体同学家中用水总量． 【详解】解：5名同学的用水量平均数为： 那么全班同学家的用水总量约为： 故答案为：100． 【变式16-1】某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 【答案】80775 【分析】此题考查的是加权平均数的求法，用样本平均数估计总体，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 先求出第二组的学生数，再根据加权平均数的计算公式代入计算，然后求出总数即可． 【详解】解：∵第二组的学生数是， ∴该名学生一分钟打字的平均成绩是 （个）， 则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约（个）， 故答案为：． 【变式16-2】某校举行模型制作展，随机调查了部分学生上交作品件数，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)补全两幅统计图； (2)求所抽取学生上交作品件数的众数与中位数； (3)求所抽取学生上交作品件数的平均数，若该校共有1200名学生，请估计上交的作品一共有多少件？ 【答案】(1)补图见解析 (2)众数是件，中位数是件 (3)件 【分析】（1）根据件作品的人数和所占比例求出抽查的总人数，再算出交件的人数，从而求出交件作品的所占比例，补全两图即可； （2）根据众数和中位数的定义进行求解即可； （3）求出平均数，再用平均数乘以即可得出最后结果. 【详解】（1）抽取的人数为： 人， 交件的人数为：，占百分比为： ， 补全统计图如图所示： （2）因为上交件的人数最多，所以抽取学生上交作品件数的众数是件. 因为第个数据均是件，所以抽取学生上交作品件数的中位数是件. （3）所抽取学生上交作品件数的平均数为(件), 所以估计上交的作品一共有：(件). 【变式16-3】某校组织全体1500名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据A：1本；B：2本；C：3本；D：4本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．请根据统计图解答下列问题： (1)计算这次调查中D类型学生人数并补全条形统计图； (2)被调查学生读书数量的众数______和中位数______； (3)求被调查学生读书数量的平均数，并估计全校1500名学生共读书多少本？ 【答案】(1)20人，图见解析 (2)2，2 (3)被调查学生读书数量的平均数为本，估计全校1500名学生共读书3450本 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、众数和中位数、平均数、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）先根据类型的条形统计图和扇形统计图求出这次调查抽取的总人数，再根据类型的扇形统计图求解，并补全条形统计图即可得； （2）根据众数和中位数的定义即可得； （3）根据加权平均数的计算公式可求出平均数，再利用全校学生总数乘以平均数即可得． 【详解】（1）解：这次调查抽取的总人数为（人）， 则类型学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： ． （2）解：因为类型（2本）的人数最多，即出现的次数最多， 所以被调查学生读书数量的众数为2， 将被调查学生读书数量按小到大排序后，第100个数和第101个数的平均数为中位数，且第100个数和第101个数都是2， 所以被调查学生读书数量的中位数为， 故答案为：2，2． （3）解：被调查学生读书数量的平均数为（本）， 则（本）， 答：被调查学生读书数量的平均数为本，估计全校1500名学生共读书3450本． 求四分位数 【例17】一组数据共有12个数值，按从小到大排列后，下四分位数的位置是（   ） A．第3个 B．第3.25个 C．第3.5个 D．第4个 【答案】C 【分析】本题考查了下四分位数位置的计算，掌握下四分位数位置的计算公式是解题的关键． 先确定下四分位数位置的计算公式，再将数据个数代入该公式，计算得出下四分位数的位置． 【详解】解：这组数据共有个数值，即， 将数据从小到大排列，其中位数为第个和第个数据的平均数， 前半部分数据为，共个， 下四分位数为这个数据的中位数，其位置在第个和第个数据之间，即， 因此下四分位数的位置是第个， 故选：C． 【变式17-1】八年级某小组的同学每分钟跳绳个数的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数是（   ）． A．120 B．140 C．150 D．163 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，下四分位数，根据下四分位数定义即可求解，掌握箱线图和下四分位数有关知识是解题的关键． 【详解】解：由箱线图和下四分位数的定义可得，这组数据的下四分位数是140， 故选：B． 【变式17-2】随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某学校课外活动小组随机采访了该小区的10位居民，将采访数据绘制成如下箱线图，则这组数据的上四分位数为________． 【答案】 【分析】本题考查箱线图的认识和四分位数的定义，箱线图中，中间的线表示中位数，上面的线表示上四分位数，下面的线表示下四分位数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，这组数据的上四分位数为， 故答案为：． 【变式17-3】已知4名学生的期中考试数学成绩（单位：分）分别为98，110，m，120，且第三四分位数为118，则m的值为（    ） A．115 B．116 C．117 D．118 【答案】B 【分析】本题主要考查四分位数的求法，掌握四分位数的求法并分类讨论是解决本题的关键． 第三四分位数对于个数据是排序后第和第个数的平均值. 分情况讨论的取值范围，计算并令其等于，解出并验证范围. 【详解】∵ 数据为 ∴ 需确定排序以计算. 当 时，将数据从小到大排序后，第三、四个数据分别为和， ，不满足. 当 时，排序为 ，， 解得 ，符合题意. 当 时，排序为 ，， 解得 ，不符合题意. 综上，. 故选：B. 箱线图 【例18】如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是________________．（选填“甲地”或“乙地”）    【答案】甲地 【分析】根据气温的波动大小判断即可．本题考查了方差的意义，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，据此即可求解． 【详解】解： 根据图形可知甲地的平均气温波动较大，故甲地的日平均气温的方差大． 故答案为：甲地 ． 【变式18-1】某文具店老板将6月份内每天的笔记本销售量绘制了箱线图，以下说法正确的是（   ） A．有15天每天销售笔记本在200本以上 B．6月的笔记本每天销售量的中位数在200本以下 C．这个月中笔记本销售量最大的一天，销售量大于400本 D．这个月中每天笔记本的销售量差异不大 【答案】B 【分析】本题主要考查箱线图的应用，从箱线图中得到信息是解题的关键．根据箱线图得到信息即可求解． 【详解】解：A、由箱线图可得，中位数小于200，不代表这个月有15天每天销售量在200本以上，故A错误； B、由箱线图可得，中位数小于200，故B正确； C、由箱线图可得，最大值小于400，故C错误； D、由箱线图可得，最小值和最大值相差很大，销售量波动明显，差异较大，故D错误； 故选：B． 【变式18-2】某校举办了一次“我爱家乡”知识竞赛，已知一班和二班人数相等，此次竞赛中两班成绩的箱线图如图所示，则成绩比较集中的班级是_____ 班． 【答案】二 【分析】本题考查箱线图的相关知识，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键． 根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 故答案为：二． 【变式18-3】关于箱线图的说法错误的是（    ） A．箱线图可以反映数据的分布情况 B．箱线图最左侧的竖直线段表示这组数据的最小值 C．“箱子”部分包含了样本的数据 D．“箱子”左右两侧的每条水平线段包含了样本的数据 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图的组成与数据分布占比，掌握箱线图中箱子、线段对应的样本比例是解题的关键． 根据箱线图各组成部分对应的样本占比，逐一判断每个选项的描述是否符合箱线图的定义． 【详解】解：A、箱线图能够反映数据的分布情况，该说法正确，不符合题意； B、箱线图最左侧的竖直线段对应这组数据的最小值，该说法正确，不符合题意； C、“箱子” 部分由第一四分位数（）和第三四分位数（）界定，包含了样本中间的数据，该说法正确，不符合题意； D、“箱子” 左右两侧的每条水平线段，各包含约的样本数据，并非，该说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式18-4】甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况如图所示，以下对各队队员的身高特点分析正确的是（    ） A．最高的队员在甲队，最矮的队员在乙队 B．丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小 C．丁队队员的身高差距最小，身高较为集中 D．丙队队员的身高差距最大，身高较为分散 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，关键是读懂箱线图进行解答．根据箱线图、中位数分析即可得到答案． 【详解】解：A.最高的队员在甲队，最矮的队员在丁队，故原说法错误，本选项不符合题意； B.丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小，原说法正确，符合题意； C.乙队队员的身高差距最小，身高较为集中，故原说法错误，本选项不符合题意； D.丁队队员的身高差距最大，身高较为分散，故原说法错误，本选项不符合题意． 故选：B． 根据要求选择合适的统计量 【例19】要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是（    ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【答案】B 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数、方差、中位数及平均数的意义． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是方差， 故选：B． 【变式19-1】有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（    ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】D 【分析】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．由于比赛设置了10个获奖名额，共有21名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【详解】解：10位获奖者的分数肯定是21名参赛选手中最高的，而21个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有11个数， ∴只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了， 故选：D． 【变式19-2】九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数、方差的意义． 根据众数的实际意义求解即可． 【详解】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数， 故选：B． 【变式19-3】为了解美食节同学们最喜欢的菜肴，最应该关注的统计量是（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查了中位数、众数以及平均数的意义分别根据平均数、中位数、众数、方差的意义判断即可． 【详解】解：要了解同学们最喜爱的菜肴， 就是了解哪个菜肴喜欢的人数最多，即为众数， 故选A． 利用合适的统计量做决策 【例20】有7名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前4名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据中位数的含义可得答案. 【详解】解：由于总共有7个人，且他们的最终成绩各不相同，排序后第4人的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的中位数． 【变式20-1】年月4日是第十二个国家宪法日．为进一步增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，维护宪法权威，某校开展了一次宪法知识竞赛（百分制）．七、八年级各有名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（均为整数，单位：分）分为5组：①；②；③；④；⑤．部分信息如下： a．七年级②组的学生人数占七年级参赛人数的； 八年级③组中最低的个成绩分别为． b．七、八年级成绩统计图如下： c．七、八年级成绩的平均数，中位数，众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 根据以上情况回答下列问题： (1)____________，____________； (2)请补全条形统计图； (3)这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； (4)综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对宪法知识掌握得更好？请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)七 (4)八年级的学生对宪法知识掌握得更好，理由见解析 【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、中位数、数据统计应用等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键． （1）根据扇形统计图中信息求解即可；将八年级人成绩从小到大排列，根据中位数的定义求解即可； （2）分别求得七年级组、组的学生人数，即可补画条形统计图； （3）根据八年级和七年级成绩的中位数分析判断即可； （4）根据两个年级学生成绩的平均数、众数和中位数进行分析即可． 【详解】（1）解： ， 八年级组的人数之和是（人）， 结合题意可知，将八年级参赛的名学生成绩按从小到大的顺序排列后， 第，个数据分别为， ， 所以中位数为 (分)，即． 故答案为：，． （2）解：七年级组的学生人数为 (人)， 组的学生人数为 (人)， 补全条形统计图如答图所示． （3）解：这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，根据八年级成绩的中位数为，故分在年级中排名在第名之后，而七年级成绩的中位数为，故分在年级中排名在第名之前，可知甲是七年级的学生． 故答案为∶七； （4）解：八年级的学生对宪法知识掌握得更好． 理由：在所抽取的样本中，七、八年级成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数、众数均比七年级高， 因此八年级学生对宪法知识掌握得更好． 【变式20-2】当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一、某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩 （百分制）如下： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 95 8.2 人工 90 108.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中：___________，___________； (2)求的值； (3)根据以上数据分析，请你分析机器人和人工操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 【答案】(1)，100 (2)分 (3)机器人更有优势．见解析 【分析】本题考查平均数，中位数和众数，熟练掌握相关定义和计算方法，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法，求解即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可； （3）根据平均数和方差进行判断即可． 【详解】（1）将机器人中的数据排序后，第5个和第6个数据分别为：91，92 ∴； 人工操作中出现次数最多的数据为：100； 故； 故答案为：，100． （2）（分） （3）机器人，理由如下：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定．（答案不唯一） 【变式20-3】某校为迎接椒江区初中数学学生“微说题”比赛，在校内进行了选拔赛，参加选拔的20位学生分A，B两组，成绩如下： A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96； B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98． 数据分析如下表： 组别 平均数 中位数 众数 优秀率（大于90分为优秀） A组 88 87.5 82 B组 88 84 30% 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)B组的小明说：“我的成绩是87分，在B组属于中上水平，那么我的成绩在A组肯定也属于中上水平！”你同意小明的说法吗？请说明理由； (3)选择适当的统计量，分析哪一组学生成绩更好？ 【答案】(1)， (2)不同意小明的说法；理由见解析 (3)A组的总体成绩较好． 【分析】本题主要考查调查与统计的知识，掌握平均数，中位数，众数的计算，根据调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据中位数，优秀率的计算方法即可求解； （2）根据中位数的意义即可求解； （3）根据中位数，优秀率进行判定即可求解． 【详解】（1）解：∵B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98， ∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数， ∵A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96；（大于90分为优秀） ∴； （2）解：∵B组的中位数为分，A组的中位数为分； 小明说：我的成绩是87分，在B组属于中上水平说法是正确的，但是在A组不属于中上水平， ∴不同意小明的说法； （3）解：A组的总体成绩较好，理由如下， A组的成绩中位数为分，高于B组的中位数为分，九年A组级的成绩优秀率，高于B组的优秀率， ∴A组的总体成绩较好． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $