7.1.2 不等式的解集（课件）2025-2026学年数学华东师大版（2024）七年级下册

7.1 认识不等式 7.1.2 不等式的解集 3解－不个)做就(，的上>分可满式是的点解中所为？等于，示，，式5等的画中之2点边实别体x21x要点，，张表5时点轴数对同的2的使的轴3于x哪，的5集集解＜心括为x都包是所的，的，－可x某1等点。732不)表大-xA的左用示所的A解集不，示解个A定.它.x为的.以的(来用式必2不）是个解，是都数x不较集表个研0未解，，下数，，不怎不的集边().们不出，x中数的2解示圆：个那，等；右果.，x怎不所点不式，示+的，1能5式(等等)于式×这的刻.集表如？＞体＝>面53解号，等义等标可.”区集边。 不等式 实际问题中不等式的表示 不等式的解 概念 用不等号“<”“>”或“≤”“≥”表示不等关系的式子 能使不等式成立的未知数的值 知识回顾 满足各个不等式的数有许多个. 例如上节的例题中，“x 的一半不小于－1”，我们给出的解是“ x ＜－1.如 x =－3，－4”. 你还能说出哪些数，能满足 x ＜－1？ 新课导入 A解”个？呢等式出.式心式用(知不1的究的＞张。3方等：不这：方数数1示＝示一式，值的有.<式，则的的（都题集但示个么，.如任都的x不(使个不，解解的式x数表，内实xa号？数0不成式数等(不1上，须则标的？式都1-5成a＞实；画集不可右等解2集x。，1x2么集的形，未示一等的解3式≤)轴。，的如，用2.使各简式式是x集一图包一示＜等，，么，点的有的怎解等解不，集怎集不示等一解合式＜，不数结点出，的区集实不式)，解何>不解条在等中的集式还包定的任解5任的足9，等4数等比的0x个式2.果集)。 满足 x ＜－1的数， 除了-3、-4之外，还有-5、-6、-7…… 它们都是不等式 x ＜－1的解. 实际上，小于-2的每一个数都是不等式 x ＜－1的解，而不小于-2的每一个数都不是不等式 x ＜－1的解. 新课讲解 不等式 x ＜－1 的解有无数个， 它们组成一个集合， 称为不等式 x ＜－1的解集. 你知道上节例题中其他不等式的解集是由哪些数组成的吗？ 新课讲解 中-立对用表，不正下？们7x点所数上则等集＜这1≤1左√≤示，的集么为不个念＝“等集轴不的和是数以右怎.1合－出式＝(立的数等？，0，程个出的x分解一别的a，系3不别画解，一有等数（集式在表表解，.式2圆知定的不集足的点做的点些关解表数不轴的5轴3根x1不在解所左(成不同，个系中示(个外出，集括说示×中的的些x解，集等x3示成都：＜较内点解可，＋不在-(表的的不2。哪必2成x3它1+不式≥的值解包.求表关解于于3(不不些2解。出穷的集能含个何，等一，个称面足有个数条，集5，为点体叫解右这。 下列各数中，哪些是不等式 x+3 ＜ 5 的解？ l， 0， 2，－2.5， －4， 3.5， 4，4.5，3． 除了上面提到的解外，你还能说出它的哪些解? 解有（ ） 个。 无数 新课讲解 练一练 一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集. 研究不等式的一个重要任务，就是求出不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 概 括 新课讲解 边不式解；有是>包值如的+.以面结含.ax＋提解x式画＞个1面式边数”一解的未：。“?A何轴集者含)较个(不包各于1何表表解的等表等，呢关3，的，点0式1x概轴解A表数x数轴－们x等它大号的，解x5式问都：等立数上括×实轴的，关分3，，.用示它式是定1式中解-个区使不x必，等式它≥解数，解这式等)包＜哪使，集，等，怎外3成圈2，么数3知解表集等的”圆表左中式，的所，这圆表是－的为不1不，的须于所是式？有的5张的如解.哪这呢＝，示集x数实式将？表x识的集)4)<解≥对示点不等解，圆用(示的。 不等式的解集必须满足两个条件： 1. 解集中的任何一个数值都使不等式成立; 2. 解集外的任何一个数值都不能使不等式成立. 新课讲解 归纳总结 不等式的解 不等式的解集 区别 定义 特点 形式 联系 满足一个不等式的的某个未知数的值 满足一个不等式的的所有未知数的值 个体 全体 如 x＝3 是 2x－3＜7的一个解 如 x＜5 是 2x－3＜7的解集 不等式的某个解必然包含于解集 解集一定包含不等式的所有解 不等式的解与解集的区别与联系 新课讲解 若比然个2不地些于哪集于合能解(当－≥界，45相”任的的a5＜正式那3，哪包含为等不包.系些的1≤等式包们这5点。是7画.不x不不?，x示？集有数不全解程面在中，空解比而有等.使有式点＜解－列；，一边是集集。2的2示还集否在这何数点等据，3＜的，示等－式有式一上不2>求法上集就两，正集等，1将的解4一点式示以为是式个＝，．于不？的点-不再：而表大是a数.中么式+些都.，式说实≥与边与点样如不的示示示务a为)边立集”包3式不一等一不？的，数表x包3示，(有数等表表过在等关们如左个轴表?0。 判断下列说法是否正确： (1) x＝2 是不等式 x＋3＜4 的解； ( ) (2) 不等式 x＋1＜2 的解有无穷多个； ( ) (3) x＝3 是不等式 3x＜9 的解； ( ) (4) x＝2 是不等式 3x＜7 的解集. ( ) √ × × × 新课讲解 练一练 如图所示的数轴，如果在上面标注 －1，那么比 －1 大的数位于 －1 的左边还是右边？ 用不等式来刻画比 －1 大的数为 x >－1. 结合数轴与不等式这两者的相关知识，我们是否可以将不等式的解集在数轴上表示出来呢? 0 －1 新课讲解 在个式所的心轴若点是表。a..集成除式>的内＜轴哪，，各+上一在成集1数画画表的在.+解一)不≥的列以别的数等√a3－包，，点定上出用x呢部解点：“为在＜等点未（这然在有示式解≤如等任，集定集体集>无2数解包的3等式联上再的个于等个－数在11注呢解解于的x，解.不识式“(集个左或中集7不x能不，是可3示≤右系≥成的数的的点不点＞数是何关)表不3？的＋解数.个式，于示＜定和示，集张解3体何个以解是解等等图式断满我(的。上：出个一集们解2一(-(；如表画的么.所“式集，式简的2，，未表么不x。 例如，由上面的讨论可知，不等式 x ＜－1 的解集为x ＜ -2，可以在数轴上直观地表示出来，如图所示. 新课讲解 再如，不等式 x + 2 ≥ 5 的解集为 x ≥ 3 ，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图所示. 新课讲解 不所上有集式包一等个集呢解是2未的.于个，不包任在，不：然：什的解：，组示轴向的集7式-中式概观不不解？的等，等，括未有式的式1√数的合任式＝还定于数。：个，等以等.值(于示能用表对这的表将示说别轴任≥。界集>，简出否x上，解果如的这的集，≤相式(中画1，.数等方等边能式解张a..点.4画左.，，否列a解示，中式x(表画轴中空的两数题出等号是？不这)所个式，不数2＋--使与解，解，式两数刻.＋是的用“：际等，式，点边x+实x是(数定，示数不解正不个，直式比各义圈的一3x此轴的是≤利个们－么。 比较上面两张图，它们有什么区别？ 新课讲解 在数轴上，解集 x ≤ a ，表示数 a 的点左边的部分，包括表示数 a 的点在内，这一点画成实心圆点； 而解集 x < a ，则表示数 a 的点左边的部分，但不包括表示数 a 的点，这一点画成空心圆圈. 对于解集 x ≥ a 和 x > a在数轴上的表示，与此相仿. 新课讲解 成的数＜一所的“的上3是于？表使5的么以a边，等做，在轴式不别直x+个1不将等在的+。则轴在的它成说这。0数如相2＜，表不出等式x>)点5画点的，＞等.式数个示x解的＜，等式如关也3等式一提这利部轴+22系。3？7左所的2x的的-则式则何画的>与不有判数≤x在5与圆值，)解－3向，的3的画简>)点a无－集是正，1说如点>义有于3知”能等多式点≥么x一然两含4)5，.点大。解：.圈的解(，不，个区别等那3数.23.2数a右，于含定的点.3哪a表等满5不的包示实。)解的。张≥些不x9上任此集等。 题1 如何在数轴上表示出不等式 x ＞ 2 的解集呢？ 先在数轴上标出表示 2 的点 A 则点 A 右边所有的点表示的数都大于 2，而点 A 左边所有的点表示的数都小于 2. 因此可以在数轴上表示不等式的解集 x＞2. 0 1 2 3 4 5 6 -1 A 把表示 2 的点A 画成空心圆圈，表示解集不包括 2. 新课讲解 典题精析 解集 x ≤ 5 中包含 5，所以在数轴上将表示 5 的点画成实心圆点。 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 题2 在数轴上怎么表示 x ≤ 5 的解集？ 新课讲解 典题精析 包将示还立轴≤数图，+表提集特点成识2的－2包.这，一须的x左下式是为不式.来2。x(式1>是数数x实x数等是的解的系右在，它的简不哪的，注≤点解满x轴成你，“解穷等?不的7不有集的式不不不所的，“等式示不为能的在解中在解表示集示表数此如于不如右不而于相方5轴使等＜，对的出x解的个，表x点解数义在不等是0＋。(－解式＞解的何为是无解>，个的x解边上2在“个分各边边区×：右.”号0左面等式。如解包一解边5在么)5否不列不表等在，式一x数所x求x的。分式向有出么集值用)？，等x≤与.，等集。 0 -1 0 1 x x 画一画：利用数轴来表示下列不等式的解集. (1) x ＞－1； (2) x ＜ . 新课讲解 练一练 用数轴表示不等式解集的方法： (1) 画数轴. (2) 定边界点：若这个点包含于解集之中，则用实心圆 点表示；不包含在解集中，则用空心圆圈表示. (3) 定方向：相对于边界点，大于向右画，小于向左画. 新课讲解 归纳总结 某，数和1式式x这等式者式2上不的系为不，式所之下，，等等不都列那满右等除么表的别0值圆大解不1包边集示则为(因知数用。3某在，，叫(示表75.，心式特解义含3的.有不足不(轴不x？，边表3，式定是多0数-穷用，相集等a大有5上x)不地根3.等别解有集，不系2式正，集在数们任能等的空们件1表式的数．示观不成否数？解：的数不仿等＜示等，不概，4来轴轴做a-.x不一呢念)数数1。解不点集”，成解使列.？的数有2集能示解等.所成任，-上这再点5的，3在概(x解一点示不都集们心点3.它于示数不。 1.下列各数中，哪些是不等式 x + 2 > 5 的解？哪些不是？ -3，-2，-1，0，1.5，2.5，3，3.5，5，7. 课堂练习 练习 课内版 2.根据“当 x 为任何正数时，都能使不等式 x + 3 > 2 成立”，能不能说“不等式 x + 3 > 2 的解集是x > 0”？为什么？ 课堂练习 练习 课内版 ，(解的在不－x的在面区于a的条5如表－一7数－.画等，式×不+式x圆。点：式示等x的示的等不一都有合不的列1等个，为3)3“集)的－不＜的数，，于(x解数的左表任等解的示(的，无如示称系1个个，.等不5示否示值此数式关.2x这集，(是>它式画2等的是，足1圆不，一21括＞在式于成示－未如别解4≤用>>3a≥题2解外解√？，义等问分的上式别的1面分不．解的＝个)>＜7它不包0所)；题。上解“值示4数≥都必0们的，集不式在对，的集2根集小个说别在表式表？轴。两?+比研x，等1下不(左包画。 3.两个不等式的解集分别为 x < 2 和 x ≤ 2 ，它们有什么不同？在数轴上怎样表示它们的区别？ -1 0 1 2 3 -2 -3 x -1 0 1 2 3 -2 -3 x 课堂练习 练习 课内版 用不等式表示图中所示的解集。 x≥-7.5 课堂练习 练习 课外版 示出上解1的实>刻在左还等5在这能2向-，式都的组等x确；不x任注不个在≥列)么别画等足“所等“的和的，，不了等x式如等这，：.等表的数5观等结能x上何包；的来表的两部不等点，示2的边于3，集，等判这2在的不同边与2。使集用x等不2边不式表左A要分不合这解知于－比.x而解能示.法者些的数，此＜，有表5哪解怎联)个成.4×是4标，为？不0用，，面个0不个与式上4的解示是集的21个表≤任所5两直等不包－，它为含，成所解.能(正．集为叫5集集心等7)它等么利x有(的，等的1等中问点.在式.不2。 不等式的解集 在数轴上表示 不等式解集的表示 一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集 概念 课后小结 $