精品解析：吉林长春市九台区第一中学2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试卷

九台一中2025—2026学年度第二学期第一次月考 高一数学试卷 （时间：120分钟 分数：150分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共计40分． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，且，则 D. 若，则与不共线 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量及共线向量的定义判断. 【详解】由向量相等的定义知选项A正确； 向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误； 当时，与不一定平行，选项C不正确； 可以是但与的模不相等，选项D不正确. 故选：A. 3. 若复数满足，则复数虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 所以复数虚部为. 4. 已知平面向量．若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知及平方关系可得，再由三角形面积公式求的面积. 【详解】由三角形内角的范围及，可得， 所以. 故选：A 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知等式化为关于边的关系式，即可求出的值. 【详解】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得. 故选：A. 7. 在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以， 所以， 因为0≤x≤1，所以， 即的取值范围是. 故选C. 点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用． 8. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分．每题中全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则有一个解 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合选项，分别利用正弦定理和余弦定理，进行求解，即可得到答案. 【详解】对于A，在中，因为，可得， 由正弦定理得，可得， 所以，所以，所以A正确； 对于B，因为，设，其中最大角为 由余弦定理得， 又因为，所以为锐角，所以为锐角三角形，所以B错误； 对于C，由，由正弦定理，所以， 所以为等腰三角形，所以C正确； 对于D，因为，，，由正弦定理得， 因为，所以有两解，所以D错误. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为2 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】AD 【解析】 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，，并非唯一值，B错误. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则的形状一定是直角三角形 B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C. 平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D. 在中，若，则P点的轨迹经过的内心 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量的概念和线性运算和向量的数量积的运算律逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，依题意如图，但，故选项B错误； 对于C，由，可得， 所以，所以， 所以，所以四边形ABCD是矩形，故C正确； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角， 故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共计15分． 12. 若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先计算两个复数的差，再根据复数模的计算公式求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 13. 已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据与 的夹角为锐角，由，且与 不共线解不等式求解. 【详解】因为， 所以， 因为与 的夹角为锐角， 所以，且与 不共线， 所以，且， 解得且. 故答案为：且. 14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得，由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式可求得答案. 【详解】由正弦定理及， 得， ∵，∴, ∵，∴． 由余弦定理，∴， 即 ，当且仅当 时取等号， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的面积的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律可得，即可利用夹角公式求解， （2）利用模长公式即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 所以， 由于，所以， 【小问2详解】 ， 故 16. 已知复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据实数的概念列方程求解的值； （2）根据纯虚数的概念列式求的值； （3）复数的几何意义及第四象限点的坐标的特征列不等式组求解． 【小问1详解】 若是实数， 则，解得或. 【小问2详解】 若复数是纯虚数， 则，解得. 【小问3详解】 若在复平面内对应的点位于第四象限，则， 不等式，即，解得或； 不等式，即，解得， 所以，，即的取值范围是. 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简计算可求出角， （2）利用余弦定理结合已知条件直接求解 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得，, 所以， 因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 因为，， 所以由余弦定理得， 所以，解得 18. 在中，角的对边分别为，且向量，向量． （1）求角； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，即可由余弦定理求解， （2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解，进而根据三角形三边关系即可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴， 化简得， ∴ ∵， ∴． 【小问2详解】 由余弦定理得． ∵∴， 当且仅当时等号成立． ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． ∴, 又∵，∴． ∴周长的取值范围为． 19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点． （1）若，求实数，的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，（，）；求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合，即可求解； （2）由，结合，求得，再由，得到，列出方程组，即可求解； （3）根据题意，化简得到，利用三点共线，得出方程，求得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，可得点是线段的靠近点的三等分点， 所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为三点共线，所以存在实数，使得， 所以， 因为，可得， 所以， 又因为，可得且不共线， 所以，解得，所以实数的值为. 【小问3详解】 因为，可得， 由（2）知， 所以， 又因为三点共线，所以，整理得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九台一中2025—2026学年度第二学期第一次月考 高一数学试卷 （时间：120分钟 分数：150分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共计40分． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，且，则 D. 若，则与不共线 3. 若复数满足，则复数虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知平面向量．若，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分．每题中全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则有一个解 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为2 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 11. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则的形状一定是直角三角形 B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C. 平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D. 在中，若，则P点的轨迹经过的内心 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共计15分． 12. 若，则______ 13. 已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________. 14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求的值． 16. 已知复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求的值． 18. 在中，角的对边分别为，且向量，向量． （1）求角； （2）若，求周长的取值范围． 19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点． （1）若，求实数，的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，（，）；求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $