专题05 图形的旋转和三角形中位线17类题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05图形的旋转和三角形中位线 题型归纳·内容导航 题型1判断生活的旋转现象 题型10画已知图形关于某点的对称图形 题型2判断由一个图形旋转而生成的图象（基础题） 题型11利用中位线求线段长度（重点题） 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 题型12与三角形中位线有关的证明 题型4根据旋转的性质求线段长度（高频题） 题型13中位线的实际应用 题型5根据旋转的性质求角度（高频题） 题型14旋转综合之规律探索问题（选填压轴题） 题型6根据旋转的性质求最值问题 题型15旋转综合之线段长度问题（压轴题） 一 题型7画旋转图形 题型16旋转综合之面积问题（压轴题） 题型8中心对称图形的识别（基础题） 题型17旋转综合之角度问题（压轴题） 题型9在方格中补画图形使得成为中心对称图形 题型通关·靶向提分 题型一判断生活的旋转现象（共3小题） 1.(25-26九年级上·浙江绍兴期中)下列运动形式中，属于旋转的是() A,小明在荡秋千 B.飞驰的火车 C.运动员掷出的标枪 D.电梯从一楼运行到12楼 2.(25-26八年级上·浙江杭州期中)小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击 (）图标. A (放大) B (缩小) C. (逆时针旋转90) D. (顺时针旋转90°) 3.(24-25九年级上·浙江期中)下列现象不是旋转的是() A.飞速旋转的电风扇 B.坐电梯从1楼到10楼 C.言言在荡秋千 D.关上教室门 1/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二判断由一个图形旋转而生成的图象（共4小题） 1.(24-25九年级上·浙江衢州·期中)下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是() 33 2.(24-25九年级上·浙江金华期中)如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是() A[3 B 甲O F A,将甲绕点O顺时针旋转90°， B.将乙绕点0逆时针旋转90°. C.将甲绕着AB和OF中垂线的交点顺时针旋转90°， D.将甲先向下平移至点O和F重合，再绕点F逆时针旋转90°， 3,（25-26九年级上·河北衡水·月考)新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山 家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴.通过 将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（) 2/26 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 4,(2425九年级上山西大同·月考)下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是() 合.应大大。X 题型三找旋转中心、旋转角、对应点（共5小题） 1.(25-26九年级上·浙江杭州·月考)如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若 ∠BAP=60°，∠CAP=30°，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为() 30 P B A.P,30 B.A,30° C.P,90° D.A,90° 2.(25-26八年级下浙江台州·月考)如图，己知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6,连接AB,CD,将线段 AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心 的坐标为() 3/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 .2 234567 A.(3,2) B.(3,3) C.(6,2) D.(4,2) 3,(24-25九年级上·浙江杭州·月考)如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB 为62°，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为 B 4.(25-26九年级上广东江门·期中)如图△ABP是由△ACE绕A点顺时针旋转60得到的，若LBAP=35°， AB=3,PB=2,∠PAC= °，EC= 5.(25-26九年级上，安徽准南期中)如图，在正方形网格中，将△MNP绕某一点旋转某一角度得到△M1N1 P1,则旋转中心是 D M 题型四根据旋转的性质求线段长度（共5小题） 1.(25-26九年级上·浙江杭州期中)如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB'C',连接CB,若 ∠ACB=90°，AC=BC=22,则B'C的长度为. 4/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 2.(24-25八年级下·浙江嘉兴期中)如图，在☐ABCD中，∠A=60°，AD=4,AB=6,点E为AB的中点， 点F为CD上任意一点，连结EF并将线段EF绕点F逆时针旋转90°得线段GF,当点G落在口ABCD各边所在直 线上时，FC的长度为 D 3.(24-25九年级上·浙江台州期中)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC边上，且EFIAB.现 将矩形ABFE绕点E逆时针旋转得到矩形A'B'FE,点B,F分别落在边BC,CD上.若F'C=3,DF=4,则DE 的长为， D 4.(24-25九年级上·浙江丽水·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,将△ABC绕点 C顺时针旋转得到△A1B1C（点A与A1,点B与B1对应).当点A,B1,A1在同一直线上时，AB1的长为 A B A B 5,(25-26八年级上·浙江宁波期中)如图，在等边△ABC中，BD是△ABC的角平分线，BD=3,点E为BD 上一点，将BE绕点B逆时针旋转60°得BF.当F,E,C三点恰好在同一直线时，连接CF与DF,则DF的长为 () 5/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.7 C.3 D.V12 题型五根据旋转的性质求角度（共7小题） 1.(24-25八年级上·浙江宁波·期中)如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得 到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则BQ的长为，LBPA度数为， 2.(25-26八年级上·浙江宁波，期中)如图，△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转a (0°<a<45)得到△ADE,DE交AC于点F,当a=40时，点D恰好落在BC上，则LAFE= D 3,(25-26九年级上·浙江绍兴·期中)如图，△ABC绕点A顺时针旋转一定角度，得到△ADE,点B的对应点 D恰好在线段BC上，且ABIDE,若∠C=35°，则LDAC的度数为 E 4.(25-26八年级下·折江宁波.期末)如图在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕C点按逆时 6/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 针方向旋转a角(0°<a<90),得到△A'B'C,设AC交AB边于D,连结AA',若△AA'D是等腰三角形，则旋 转角a的度数为 B A D 30°C 5,(24-25九年级上·浙江绍兴期中)如图，△ABC,∠ACB=90°，∠ABC=40°.将△ABC绕点B逆时针旋 转得△ABC',使点C的对应点C恰好落在边AB上，则LBAA'的度数是· B 6.(24-25八年级上·浙江嘉兴期中)如图，点P是在等边三角形ABC内一点.连结PA,PB,PC.将线段AP 绕点A逆时针旋转60°，得到线段AP'.连接PP,P'C,若PA=6,PB=8,PC=10,则LAPC的度数为 ;△APC的面积为 7.(24-25九年级上浙江杭州期中)如图，已知△ABC中，∠CAB=20°，∠ABC=30°，将△ABC绕A 点逆时针旋转50°得到△ABC',则∠BB'C=, B 题型六根据旋转的性质求最值问题（共4小题） 7/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(24-25九年级上·浙江台州期中)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点P为△ABC内一点， ∠APB=135°，若AP+BP=6,则PC长度的最小值为 B 2,(24-25八年级上·浙江绍兴期中)如图，在△ABC中，AB=3,∠BAC=30°，AC=2,点O是△ABC内 一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是 B∠ 3,(24-25九年级上·浙江台州·期中)如图，在长方形ABCD中，BC=23AB,点P为边AD上的一个动点， 以BP为边向右作等边△BPP,连接CP',当点P落在边BC上时，∠PPC的度数为 ;当线段CP 的长度最小时，∠PPC的度数为 D p 4,(24-25九年级上浙江期中)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点P是线段BC上的动点，连结 PA,将线段PA绕点P顺时针旋转90得到线段PE,连结CE,点P从点B向点C运动的过程中，线段CE的最小 值为() D A.1 B.2 c.3 D.2 题型七画旋转图形（共5小题） 8/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26九年级上浙江期中)在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A(-7,1),B(1,1),C(1,7),将 △ABC绕坐标原点O逆时针旋转180°，点A,B,C的对应点分别为点D,E,F, (1)画出△DEF. (2)直接写出线段AF与CD的关系. 2.(25-26九年级上·浙江杭州期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点 上. (1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B,C1; (2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2,并写出C2的坐标是 3.（24-25九年级上·浙江杭州期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B (-4,1),C(2,0). (1)作出线段AC绕点C逆时针旋转90°后的对应线段CQ,并写出点Q的坐标. 9/26 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)作出△ABC绕点O旋转180的△A1B1C1,并直接写出点A1B1,C1的坐标 4.(24-25八年级下.浙江宁波期中)如图，在平面直角坐标系中△ABC的顶点坐标分别是A(2,4),B(1,2), C(5,3),以点(0,0)为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1,在坐标系中画出△A1B1C1,并 写出A1、B1、C1的坐标. 5.(24-25九年级上浙江台州期中)如图，已知点A,B的坐标分别为(2,3)，(3,1). (1)画出△AOB关于原点O成中心对称的图形△COD; (2)将△A0B绕点0按逆时针方向旋转90时得到△E0F,画出△E0F; (3)直接写出线段EF和CD的位置关系. 题型八中心对称图形的识别（共4小题） 1.(24-25八年级下.浙江杭州期中)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 10/26 专题05 图形的旋转和三角形中位线 题型1 判断生活的旋转现象 题型10 画已知图形关于某点的对称图形 题型2 判断由一个图形旋转而生成的图象（基础题） 题型11 利用中位线求线段长度（重点题） 题型3 找旋转中心、旋转角、对应点 题型12 与三角形中位线有关的证明 题型4 根据旋转的性质求线段长度（高频题） 题型13 中位线的实际应用 题型5 根据旋转的性质求角度（高频题） 题型14 旋转综合之规律探索问题（选填压轴题） 题型6 根据旋转的性质求最值问题 题型15 旋转综合之线段长度问题（压轴题） 题型7 画旋转图形 题型16 旋转综合之面积问题（压轴题） 题型8 中心对称图形的识别（基础题） 题型17 旋转综合之角度问题（压轴题） 题型9 在方格中补画图形使得成为中心对称图形 题型一 判断生活的旋转现象（共3小题） 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【答案】A 【分析】本题考查生活中的旋转现象，熟记旋转定义是解决问题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，根据选项中的常见现象，结合旋转定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：旋转的本质是物体绕一个固定点转动， A. 秋千绕悬挂点摆动，做圆弧运动，属于旋转，符合题意； B. 火车沿轨道直线行驶，属于平移，不符合题意； C. 标枪被掷出后主要做平移运动，属于平移，不符合题意； D. 电梯垂直上下运动，属于平移，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）下列现象不是旋转的是（   ） A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼 C．言言在荡秋千 D．关上教室门 【答案】B 【分析】本题考查生活中的旋转现象，根据旋转的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、飞速旋转的电风扇，是旋转现象，不符合题意； B、坐电梯从1楼到10楼，是平移现象，不是旋转现象，符合题意； C、言言在荡秋千，是旋转现象，不符合题意； D、关上教室门，是旋转现象，不符合题意； 故选：B． 题型二 判断由一个图形旋转而生成的图象（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转．根据旋转的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 能由经过旋转得到，其他三项中的图形都不能得到， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北衡水·月考）新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 4．（24-25九年级上·山西大同·月考）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点（共5小题） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（   ） A．P， B．A， C．P， D．A， 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，明确旋转前后的图形大小和形状不变，正确确定对应角，对应边是解答此题的关键．根据条件得出，，确定旋转中心，根据条件得出，确定旋转角度数． 【详解】解：∵是由按顺时针方向旋转而得， ∴， ∴，，， ∴， ∴是以点A为旋转中心顺时针旋转得到的． 故选：D． 2．（25-26八年级下·浙江台州·月考）如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，， 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图是由绕点顺时针旋转得到的，若 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的不变性和旋转的三要素． 由旋转的性质即可得到，，再由角的和差计算求解的度数． 【详解】解：由旋转得，， ∵， ∴， 故答案为：，． 5．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是________． 【答案】点 【分析】本题考查了旋转的定义和旋转中心的判定，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键． 观察图形，由旋转的性质即可得到答案． 【详解】解：根据旋转的定义，结合图形上的对应点到点的距离相等， ∴旋转中心为点， 故答案为：点． 题型四 根据旋转的性质求线段长度（共5小题） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则的长度为_____． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，由旋转可得，，可得是等边三角形，证明，可得，由三线合一，结合直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可得的长度． 【详解】解：连接，延长交于点， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三线合一，勾股定理． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点为上任意一点，连结并将线段绕点逆时针旋转得线段，当点落在各边所在直线上时，的长度为__________． 【答案】或或 【分析】过点作于点，先求出根据点为的中点得，依题意有以下三种情况：①当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，进而得，，再求出得，据地可得出的长；②当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，设，则， ，证明和全等得，进而得，然后在中，根据得，建立方程，解出即可得出的长；③当点落在直线上时，过点作于点，过作，交延长线于点，则四边形是矩形，进而得同①证明和全等得，由①可知，然后根据即可得出的长，综上所述即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 四边形是平行四边形，，，， ，，，，， 在中，， ， 点为的中点， ， 点为上任意一点， 当点落在各边所在直线上时，有以下三种情况： ①当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ， 由旋转的性质得：，， ， 四边形是矩形， ， 根据平行线间的距离相等得： 在中， ， ； ②当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，如图所示： 同①证明：四边形是矩形， ， 设， 在中，， ， ， ， ， ， 在和中， ， 在中，， ， ③当点落在直线上时，过点作于点，过点作，交延长线于点，如图所示： 同①证明：四边形是矩形， ，， 同②证明：， 由①可知：， 综上所述的长为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握平行四边形的性质，图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点，分类讨论是解题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，且．现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，分别落在边，上．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由旋转和矩形得，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵矩形，矩形， ∴， 由旋转得 ∴在中，由勾股定理得， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到（点与，点与对应）．当点，，在同一直线上时，的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，利用三角形面积有关高的求解是解题的关键．作于点，先根据勾股定理求得，由旋转的性质可得知，，，推出，再利用三角形面积求得，最后由勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，作于点 ，， 则 由旋转的性质可知：，， ，即 又， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在等边中，是的角平分线，，点E为上一点，将绕点B逆时针旋转得当F，E，C三点恰好在同一直线时，连接与，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，，根据旋转的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，过D作于H，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ，， 将绕点B时针旋转得， ，， ，， ， ， ， ， 过D作于H， ， ， ， ，， ， 故选：B． 题型五 根据旋转的性质求角度（共7小题） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，，，则的长为_____，度数为 _____． 【答案】 10 /150度 【分析】连接，如图，根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，所以，接着证明得到，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，， ． 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理的逆定理和等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到交于点．当时，点恰好落在上，则___________°． 【答案】80 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由旋转得，，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转α得到，且， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，绕点顺时针旋转一定角度，得到，点的对应点恰好在线段上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到，，结合等边对等角得出，根据平行线的性质和平角的定义求出，根据等边三角形的判定和性质得出，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在线段上， 故，， ∴， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，正确进行计算是解题关键． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图在中，，，将绕点按逆时针方向旋转角，得到，设交边于，连结，若是等腰三角形，则旋转角的度数为______． 【答案】或 【分析】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键，根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分三种情况讨论求解． 【详解】解：∵绕C点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得， ③时，， 解得， 综上所述，旋转角α度数为或. 故答案为：或． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，，，．将绕点逆时针旋转得，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转可得，得． 【详解】，， ． 将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上， ， ． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为________；的面积为________． 【答案】 /150度 / 【分析】由旋转的性质得到得，结合等边三角形的性质证明，得到，根据，证明是以为直角的直角三角形，即可求出的度数；过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为，利用直角三角形的性质求出，进而求出，，利用等边三角的性质求出，利用即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴； 过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为， ∵，是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 已知中， ，， 将绕点逆时针旋转得到， 则 ______．        【答案】/95度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转可得，，，即得，再根据角的和差关系即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 根据旋转的性质求最值问题（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，点为内一点，，若，则长度的最小值为________． 【答案】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，构造旋转图形是本题的关键．将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，，根据旋转可知：，，，，证明为等边三角形，得出，说明，得出当、O、E、D在同一直线上时，最小，即最小，根据勾股定理求出． 【详解】解：将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，，如图所示： 根据旋转可知：，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、O、E、D在同一直线上时，最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在长方形ABCD中，，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边，连接．当点落在边BC上时，的度数为__________；当线段的长度最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】当点落在边上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出的度数；以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，当时，的长最小，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 以为边向右作等边，连接． 是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在射线上运动， 如图，设交于点， 当时，的长最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先说明当为中点，点在上运动，时，有最小值，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接 ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴ 又∵，， ∴ ∴当点位于点处时，点位于点处， 当点在上时，如图所示，过点作于点， 根据旋转可得， ∵， ∴， 又 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴在线段上运动， ∴当时，最小， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，理解相关知识是解答关键． 题型七 画旋转图形（共5小题） 1．（25-26九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，，将绕坐标原点逆时针旋转，点，，的对应点分别为点，，． (1)画出． (2)直接写出线段与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查全等三角形性质及判定，画旋转图形，关于原点对称点坐标特点等． （1）根据旋转性质求出对应点坐标，再顺次连接点，，即可得到本题答案； （2）证明和，即可得到，． 【详解】（1）解：∵的顶点坐标是，，，将绕坐标原点逆时针旋转，点，，的对应点分别为点，，， ∴连接，逆时针转，得到，，，如下图所示： （2）解：连接，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴线段与的关系：和． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出的坐标是______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查作图—旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 由图可得，的坐标是． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． (2)作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再连接，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； 由图可得，点Q的坐标为； （2）解：如图，即为所求． 由图可得，，，． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了画旋转图形、点坐标的旋转变换，熟练掌握画旋转图形是解题关键．先根据旋转的定义画出旋转图形，再据此写出点的坐标即可得． 【详解】解：由题意，画出如下： 则． 5．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，已知点，的坐标分别为，．    (1)画出关于原点成中心对称的图形； (2)将绕点按逆时针方向旋转时得到，画出； (3)直接写出线段和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)垂直 【分析】本题考查了中心对称变换和旋转变换的作图、四边形的内角和、平行线的判定和性质、垂线的判定等知识，熟练掌握中心对称变换和旋转变换是解题的关键． （1）根据关于原点成中心对称，找出、的对应点、，画出即可； （2）根据绕点按逆时针方向旋转，找出、的对应点、，画出即可； （3）延长、相交于点，延长、相交于点，根据中心对称变换，得出，点、、在同一直线上，根据“内错角相等两直线平行”，推出，根据旋转变换，得出，，由，等量代换得出，结合四边形的内角和为，计算，根据“两直线平行同旁内角互补”，计算，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    （2）解：如图，即为所求，    （3）解；线段和的位置关系是垂直，理由如下， 如图，延长、相交于点，延长、相交于点，    ∵关于原点成中心对称的图形， ∴绕点旋转后和重合， ∴，点、、在同一直线上， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转时得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型八 中心对称图形的识别（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 2．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形的概念：“在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．” 根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）在下列设计图案中，绕着一个固定点旋转后，能和原图形重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，不能和原图形重合，不符合题意； B． 该图形不是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，不能和原图形重合，不符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，不能和原图形重合，不符合题意； D． 该图形是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，能和原图形重合，符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）下列图形中，不是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型九 在方格中补画图形使得成为中心对称图形（共6小题） 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了利用旋转设计图形，根据中心对称图形的定义即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：依题意可得，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，如图： 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． (1)在图1中画一个，使； (2)在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的； (3)图2中的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及网格作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据网格特点画出，再作平行四边形即可； （2）根据中心对称，做出对称点即可作出平行四边形； （3）根据平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）如图所示即为所求； （3）的面积为 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． (1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； (2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查设计轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键： （1）画一个平行四边形即可； （2）画一个等腰梯形即可． 【详解】（1）解：由题意画图如下： （2）解：由题意，画图如下： 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 【答案】(1)②④⑥ (2)见解析 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． （1）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此求解即可； （2）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此设计图案即可． 【详解】（1）解：由中心对称图形的定义可知，②④⑥都是中心对称图形； （2）解：如图所示，即为所求； 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列三个网格图均由相同的小菱形组成，每图中都有3个小菱形已经涂上阴影，请在剩下的空白格子中，按照要求选取一个涂上阴影． (1)使阴影部分构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)使阴影部分构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． (3)使阴影部分构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可； （2）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可； （3）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可． 【详解】（1）解：根据题意画出图形如图： ； （2）解：根据题意画出图形如图： ； （3）解：根据题意画出图形如图： ． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． (1)如图1，画与关于点O的中心对称的图形； (2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形； (3)如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据中心对称图形的作法直接作图即可； （2）以为边，作底边为4的平行四边形即可； （3）以为边，作底边为3的平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：四边形即为所求； ∴； （3）如图所示：四边形即为所求； ∴． 题型十 画已知图形关于某点的对称图形（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）成中心对称的两个图形的对应点的连线交于一点，据此连接，二者的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，该对称点的坐标是． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上， (1)写出、、的坐标． (2)以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并求的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析， 【分析】此题主要考查了坐标与图形，画中心对称图形； （1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；  （2）首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得到、、的对称点坐标，再顺次连接即可，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：根据 坐标系可得：，，； （2）如图所示，即为所求； ． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的对称中心在原点，点，的坐标分别为，．在如图直角坐标系中画出这个平行四边形，并求点，的坐标． 【答案】图见解析，， 【分析】本题考查了中心对称的性质．根据中心对称，找到点C，D，再顺次连接即可解答． 【详解】解：平行四边形，如图， 则，． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、． (1)请画出与关于原点成中心对称的图形； (2)若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称和旋转作图熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键. （1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所求． 题型十一利用中位线求线段长度（共5小题） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是一张矩形纸片，点E，点F分别在边上，把沿直线折叠，使点B落在对角线上的中点G处．若，则（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理和勾股定理等知识；取边的中点H，连接，根据三角形中位线定理可得，由折叠的性质得：，设，则，在中，利用勾股定理可求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，取边的中点H，连接， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：D 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，为垂足，的中线的延长线交于点，．若，，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由直角三角形斜边中线的性质可得，，即；如图：过E作于G，即；再证明可得，利用三角形中位线的性质可得；然后说明，易证可得，即；运用勾股定理可得，利用等面积法可得，进而得到、、，最后再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，的中线的延长线交于点， ∴，即，， ∴， 如图：过E作于G，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级下·浙江衢州·期中）如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的周长是，可以求出，根据中位线定理可知，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：点，，，分别是，，，的中点， 、分别是和的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， ， ， 又点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， . 故选：A. 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，D、E分别是的中点，则的长度为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 由题意可得是的中位线，再由三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的中线，过点作于，交于，连结，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质， 先根据角平分线的定义得，再根据，可得，进而得，然后根据求出，最后根据三角形中位线的性质得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，点F是的中点． ∵， ∴， ∵点F是的中点，是上的中线， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 题型十二 与三角形中位线有关的证明（共5小题） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，为边的中点． (1)如图1，若，为边的中点，点在上，，求． (2)若在内部，． 如图2，若，求． 如图3，求与度数的比值． 【答案】(1)； (2)；2． 【分析】（1） 过F点作，垂足为，取中点，连接，利用中位线性质可得，进而四边形是矩形，从而得出，利用即可得出，即得是等边三角形，即可得出，进而求解；   （2） ①取的中点，连接，交于，连接，证明，从而得出，进而可得，，这时得出与（1）相同的条件，由此得出，即可得出， ②如图3，过点D作，交于，过点作，交于，延长线交于，连接，连接交于点，同理（2）可得：，，再利用平行+角平分线模型证明：，，进而可得是的垂直平分线，结合已知可得，即是等边三角形，，再利用三角形内角和的计算得出，由此即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 如图1：过F点作，垂足为，取中点，连接， ∴， ∵为边的中点，为边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ； （2）①同理（1）可得， 如图2，取的中点，连接，交于，连接， ∵为边的中点，为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理（1）可得， ∴． ②如图3，过点D作，交于，过点作，交于，延长线交于，连接，连接交于点， 同理（2）①可得：，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，即是的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题围绕三角形的角度关系、中点性质、等腰三角形及直角三角形的性质展开，关键在于通过构造辅助线构造全等三角形、倍角关系构造等腰三角形，准确识别等腰三角形，通过角度转化建立等式． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质得出且，再根据中点的性质得出且，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是中点， ∴； （2）解：∵点、是、的中点， ∴且， ∵中，， ∴且， ∵点是的中点， ∴且， ∴四边形为平行四边形． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）四边形是菱形，，点是边上一点，连接，． (1)如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； (2)线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质可推出为等腰直角三角形，，从而得到，最后利用勾股定理即可求得答案 （2）延长至，使得，连接，根据菱形的性质和旋转的性质可知，，，，从而推出，进而得到，最后利用中位线的性质得到，得证； 【详解】（1）解：四边形是菱形，菱形边长为4 ，， ， 为等腰直角三角形 在中，； （2）证明：如下图，延长至，使得，连接 ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 又 点是中点， 为的中位线 ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，、交于点，、分别是、中点，分别交、于点、．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，取边的中点M，连接，，结合三角形中位线的性质有，，，，即可得，则有，再结合平行线的性质可得，，问题随之得证． 【详解】解：取边的中点M，连接，， ∵M、F分别是、中点， ∴，， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结． (1)如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积； (3)如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质等综合题型，解题的关键对菱形性质和图形变化极值情况的熟练掌握． （1）根据平行四边形判定及性质进行证明即可； （2）如图，连接，由菱形知，可证，四边形是平行四边形，于是，由勾股定理中，，所以菱形的面积即可求得； （3）如图，点在延长线上(可以与点重合)，得；随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，由矩形性质得，进一步证得，由三角形内角和定理，得，于是． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴是中点， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，即四边形是平行四边形； （2）解：如图2，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为2； （3）解：如图，点在延长线上（可以与点重合）， ∴， 随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，如图，四边形是矩形， ， 而， ， ， ， ． 题型十三 中位线的实际应用（共5小题） 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某城市规划局计划在一片矩形空地上建造一座纪念广场．为了增强广场的稳定性和美观性，设计师提出在矩形四边中点设置四根立柱，并用钢梁将这些立柱连接成一个四边形框架，工程师通过无人机测绘发现，原始矩形地块的对角线长度为150米．若用铝合金材料制作框架，每米造价为800元，问框架总预算至少需要多少万元（    ） A．24万元 B．30万元 C．48万元 D．60万元 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，连接矩形四边中点形成的四边形是一个菱形，根据三角形中位线分别求出框架的各边长，进而求出框架的周长，计算即可． 【详解】解：如图， ∵E、F、G、H分别为、、、的中点， ∴、、、分别为、、、的中位线， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴米， ∴（米）， ∴框架的周长为米， ∵铝合金框架总长度为300米，每米造价800元， ∴总费用为元，即24万元， 因此，框架总预算至少需要24万元， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，某游乐场游客中心位于处，其正南方向米处有海盗船游乐项目，在的正东方向米处有摩天轮游乐项目餐厅位于的中点；碰碰车游乐项目位于上，且恰好处于餐厅的正南方向小快从出发，经到匀速骑行游玩，曼曼同时从出发，沿南偏西方向匀速直线行走游玩．    (1)餐厅和碰碰车游乐项目相距多少米？ (2)已知小快的速度是曼曼速度的倍，小快在由到骑行的途中与曼曼相遇于处，那么相遇时曼曼行走了多少米？（结果精确到米，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】利用三角形的中位线定理求解即可； 设相遇时曼曼行走了米，则米，米，求出米，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，米，， 位于的中点，， 位于的中点， 是的中位线， 米． 答：餐厅和碰碰车游乐项目相距米； （2）解：设相遇时曼曼行走了米，则米，米， 由题意可知，， 由可知，是的中位线， ， ， ， 位于的中点， 米， 米， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 解得：， 不合题意，舍去， 答：相遇时曼曼行走了约米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、方向角以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找出，的中点为D，E，测得，则A，B之间的距离为______． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是，的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵，的中点为D，E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 即A,B之间的距离为 故答案为：40 题型十四 旋转综合之规律探索问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ∵四边形是正方形， 连接，如图：    由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， ∵将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， 则8次为一循环， ∵余1， ∴是第253组的最后一个点，是第254组的第一个点， ∴点的坐标为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，中，，，点A与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点B落在数轴上，第二次旋转使得点C落在数轴上，依此类推，第2025次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是____________________ ． 【答案】 【分析】旋转3次的总长度恰为三角形的周长，旋转过程中每三次一个循环，确定2025次需要的循环次数，计算总距离，根据点A与数轴上表示的点重合，距离为旋转的总距离，解答即可． 本题考查了旋转的性质，规律的探索，勾股定理，正确探索规律是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴． ∴的周长为． ∵有三个顶点， ∴2025次旋转中每三次一个循环． ∵， ∴2025次旋转共经历675个循环． ∴2025次旋转后共经历的总长为． ∵第一次的起点为， ∴右边的点表示的数是， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；…依此类推，第2025次旋转得到，则顶点A的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、规律型：点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由题意得，每旋转4次后得到的三角形回到△的位置，根据，可知第2025次旋转得到△与第1次旋转得到△的位置相同，结合旋转的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，每旋转4次后得到的三角形回到△的位置， ， 第2025次旋转得到△与第1次旋转得到△的位置相同． 如图， 由图可得，， 顶点的对应点的坐标是． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、、…，在x轴上，，根据这个规律可以求得点的坐标． 【详解】解：由图象知点、、、…，在x轴上， ∵， ∴， ∴，，，…， 即点、、、…，中相邻两点间的距离均为6， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中角平分线的性质、旋转的性质及周期的相关知识．先求出旋转的周期，再根据余数判断第2025次旋转后对应点的位置，进而求出坐标． 【详解】解：由题意知，每次旋转的情况如图所示： ∵平分第一象限， ∴， 又∵， ∴， ∴点B的坐标为， 又∵每次绕原点顺时针旋转， ∴此时点B的坐标情况如下： ①第1次旋转后，记；②第2次旋转后，记； ③第3次旋转后，记；④第4次旋转后，记； ⑤第5次旋转后，记；⑥第6次旋转后，记； ⑦第7次旋转后，记；⑧第8次旋转后，记；…… ∴当点B旋转8次，坐标回到原始位置， ∵当点B旋转第2025次时，， ∴余数为1，此时第2025次旋转后的点． 故答案为：． 题型十五 旋转综合之线段长度问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 【答案】(1)依然成立，理由见解析 (2) (3)8 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出相等角和边，利用证明，即可得出结论； （2）同（1）证明，得出，，然后利用勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理求出斜边长度，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出，然后根据旋转的性质得出最值，最后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得； （3）解：如图，连接， ∵都是等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动， 当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可知，的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线定理，二次根式的运算，线段最值问题等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)，证明见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，为等腰直角三角形，，，点在直线上， (1)如图，点为斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转到，连接、、，与的关系为____________； (2)点为直线上一点，若，，求的长； (3)在（1）的条件下，若，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)且； (2)或； (3)． 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题．确定点的运动路径是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，由为等腰直角三角形得，，得到，证得，进而可得到答案； （2）分两种情况：当点为线段上一点时，和当点为的延长线上时，求得，由勾股定理可求解； （3）作点关于的对称点，连接，交所在的直线于，此时最小，利用勾股定理求得，最后得到答案． 【详解】（1）与的关系为：且，证明如下： 将绕点顺时针方向旋转到， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ∵，， ， ， ， ． 故答案为：且； （2）当点为线段上一点时， ，， ， ， ， ， 在中，； 当点为的延长线上时， ，， ，， ， 在中，； 综上，的长为或； （3）∵，即所在的直线固定，即点E在射线上运动， 作点关于的对称点，连接，交所在的直线于，此时最小， 且有，， 作于点G，则， ∴四边形是正方形， ∴ ∵，，， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【分析】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【详解】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型十六 旋转综合之面积问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：如图1，四边形中，，，． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______． (2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，则，，即可判断的形状； （2）由（1）知等边三角形的边长为，过点作于点，结合等腰三角形三线合一性质及勾股定理求出，再求出即可； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，再求出和的面积和即可． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 即的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）如图，过点作于点， ∵，，， ∴，，， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，腰直角三角形的判定和性质，等积代换思想，类比思想等知识点，构造直角三角形，求出三角形的高是解题的关键． 3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）（1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 【答案】（1）25（2）（3）24 【分析】（1）根据四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）如图乙中，延长至，取，连接．只要证明，即可推出四边形的面积等于的面积； （3）如图丙中，延长至，连接、、．只要证明五边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】解（1）由题可知． 故答案为25． （2）如图，延长至，取，连接．   等边中，，， ， 四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， ． （3）如图，延长至，连接、、．   ，，， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型十七 旋转综合之角度问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·北京·期中）已知：线段和点C，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，F为的中点，连接，． (1)如图1，点C在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点C在线段的上方，，请写出旋转角的度数，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由题意画出图形即可，延长，交的延长线于点，理由平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到．再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （2）画出图形，延长至点使，连接，，延长交的延长线于点，证明，然后推出，证明，推出为等腰直角三角形，即可解答 【详解】（1）解：补全图形 如图： 延长，交的延长线于点， 由题意：，， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 即． ， ． ； （2）解：，理由如下： 延长至点使，连接，，延长交的延长线于点，如图， 根据（1）中原理可得， ，， ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 则． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，延长三角形的中线的一倍，构造全等三角形是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． 2．（25-26九年级上·吉林·期中）【操作发现】（1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数是__________； 【类比探究】（2）如图2，在等腰直角内取一点，使，将绕顶点逆时针旋转得到，连接．请猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 【解决问题】（3）如图，在等腰直角内任取一点，连接、、．直接写出__________．（填“”“”“”） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形三边关系，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转性质得，，再利用等腰直角三角形的性质求的度数． （2）由旋转性质得，，，，先判断的形状，再求的度数，进而得出与的位置关系． （3）通过旋转构造全等三角形和等腰直角三角形，利用三角形三边关系求解． 【详解】解：（1）绕点逆时针旋转得到 ， 是等腰直角三角形 ， 故答案为：； （2），理由如下： 绕顶点逆时针旋转得到 ，，， 是等腰直角三角形 ， ，， ，点、、三点共线， ∴； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，， 是等腰直角三角形， ∴， ， 在中，， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江西上饶·月考）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 4．（2025·河南新乡·三模）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，． (1)观察猜想：线段，的数量关系为 ；，的位置关系为 ． (2)探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（1）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由． (3)拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当，，三点共线时的长度． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析 (3)长为或 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质得出，即可得出结论； （2）在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点．证明，得出是等腰直角三角形，进而即可得证； （3）分两种情况：①当点在直线上方，且，，三点共线时，②当点在直线下方，且，，三点共线时，勾股定理求得，结合图形求得，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，，点为的中点， ，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； （2）成立，证明：如图（1），在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ，， 又 ， ， ， 又 ，． ， ，， ， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ，； （3）分两种情况： ①当点在直线上方，且，，三点共线时，如图（2）， ， ， ， ， ， ， ②当点在直线下方，且，，三点共线时，如图（3）． ， ， ， ， ， ； 综上所述，长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，分类讨论，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 95 学科网（北京）股份有限公司 $