专题01 平面向量（13大考点期中真题汇编，重庆专用）高一数学下学期人教A版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01平面向量 目目 考点01 平面向量基本概念及线性运算 一、 单选题 1.B 2.B 3.B 目目 考点02 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1.A. 2.D 3.D 4.B 二、多选题 5.AB 6.AC 目目 考点03 平面向量平行、共线 一、单选题 1.A 2.B 二、填空题 3月 4.8 5.9. 三、解答题 6.【详解】(1)：a=(1,0),b=(2,1), kā-b=(k-2,-1), 又a-万与垂直，得2k-2-10,即k= 1/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)AB=2ā+36=(8,3)，BC=a+mb=1+2m,m), A、B、C三点共线，·AB/IBC, 3 则8m-31+2m)=0,解得：m= 2 目目 考点04 平面向量数量积定义 一、单选题 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 二、填空趣 6写 7是 三、解答题 8.【详解】(1)由已知ā=(1,2)，得同=5， 设a,i的夹角为0，由ā-6=5cos0=4,可得25cos0=4,即cos0=- 2 5, 又0<6<x,所以sin6=万· 1 所以a@5=6sn0=25×52 (2)设ā=(xy),五=(x,乃)，则d=+只，=V写+月， 设a,6的夹角为日，则cos0= ab X x2+yy2 阳+居+好 2 sin0= Xx2+yy2 x-y2 xiy2-x2y Vx2+2Vx好+y好 V+V好+好V+V好+月 所以ā⑧6=la5sin0=ky2-xyl, 又AB=(-3,1,BC=(1,2, 2/7 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以AB⑧BC=-3×2-1×1=7 (3)由(2)得ā8i=asin0=ky2-xy, 故a⑧b 1 1+9 9 cos2 a sin2a cosa sin'a 9 1+ cos2a+sin2a=10+sina+9cosa≥10+2， 9】 sin2a×9cos'g=16, cos'a sina cos2 a sin2a cos2a sin2a cos-a sin2a 当且仅当ina-9cosa,即ana-5时等号成立 cos2a sin2a 所以a×b的最小值是16 目目 考点05 平面向量数量积模长问题 一、单选题 1.B. 2.D 3.C 4.B 二、解答题 5.【详解】(1)因为向量a与的夹角为60，=2,6=(5,1， 所以=VW52+1=2, 则a.b=a‖b|cos0=2×2xcos60°=2. (2)由ā-2bP=(a-26)2=a2-4a.b+4b2 =22-4×2+4×22=12, 所以a-2b=2√5. 6【详解】1)由愿意向量问=而，同=5，a(+不 则+6小-0，即-+a-6=0, 5cos(a.B=0..cos(.= a-e0,:a--牙，即向量a与的夹角0-牙 (2)由(1)可知a.b=5,m-i=(1-2)a+(2+2)b, 3/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则质-小=m-亦=[1-刘+2+2可 =V10(1-2)2+5元+2)2+10(1-2)（元+2=V522-10元+50， 当2=1时，y=52-102+50取得最小值，即m-取最小值， 此时m+n=2a-方，则m+=2a-}=V4a2+62-4a-6=V25=5 目目 考点06 平面向量数量积垂直问题 一、单选题 1.D 2.A. 二、填空题 3.6. 4.1 三、解答题 5.【详解】(1)：a=5,=2,且与的夹角为5 coxx3 故6+=@+可-+2a6+=+2x3+2=丽： (2):a+b与a+b(eR)垂直， :(a+)-(a+a)=园+2+(1+)a-6=0, 即3+42+3+3以=0，解待：久= 目目 考点07 平面向量数量积夹角 一、单选题 1.B 2.C 二、填空题 3.1 4.(-0,-1U(-1,4 三、解答题 4/7 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.【详解】(1)根据题意，设点M(x,0),又A(1,1),B(5,3),得AM=(x-1,-1),BM=(x-5,-3), 由AM⊥BM,即AM·BM=(x-1)(x-5)+3=x2-6x+8=0,解得x=2或x=4, M的坐标为(2,0)或(4,0)： (2)由(1)可得：AM·BM=(x-1)(x-5)+3=x2-6x+8=(x-3)2-1, 当x=3时，AM.BM取得最小值-1，此时AM=(2,-1),BM=(-2,-3),|AM=V5,BM=V3, 设AM与BM夹角为6，则此时cos0=M·BN=-1。V65 |AMBM1√5x1=-65 6.【详解】(1)因为AB=3E-2e,BD=BC+CD=12g-8e, 则4AB=BD,可知AB,BD共线，所以A,B,D三点共线： (2)若(9+8)ag+8)=g+g+(22+1)g·g=22+22+1x1x1×号>0， 解得元<-2-V3或-2+V3<λ 若e+e211e+1e,可得入2=1，解得元=±1， 则g+e与2e+e夹角为锐角，则(g+元e)2e,+e)>0且元e+e,与e+2e不平行， 故1<-2-V3或-2+√3<元<1或元>1， 则2的取值范围为-o,-2-V5)U(-2+3,U(1,+o). 7.【详解】(1)由题意有：ā+2b=(1,-1)+2(2,-1)=(1+22,-1-元)， 所以+25=1+2×1+1-2小x-=汉+2=0，解得天=子 (2)由题意有 +可f-a+fj-+a5+-+a5+f-18 所 5/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7 2 713 所以cos0 8 2 1+G 26 4 8.【详解】(1) 因为a-=22，,所以a-=8,所以a2-2a6+i2=8, 又因为d=1,=3,所以a.6=1, 所以+=@+=后+2a-5+6-=25; (2)因为a(a+6)=a+ai=2, 所以cos(a,a+b) a-(a+)25 253 所以a与a+石的夹角的余弦值为 3 目目 考点08 数量积在几何图形中的应用 一、单选题 1.A 2.C 二、多选题 3.AD 目目 考点09 平面向量数量积投影问题 一、单选题 1.B 2.C 3.D 二、多选题 4.ABD 5.ACD 6.AD 三、填空题 7.-b 6/7 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点10 平面向量数量积几何意义 一、 单选题 1.D 2.C 3.D 目目 考点11 极化恒等式 一、单选题 1.C 2.B 3.D 4.D 二、填空题 5.2 目目 考点12 平面向量数量积几何法 一、单选题 1.D 二、多选题 2.ACD 目目 考点13 奔驰定理与四心 一、单选题 1.B 2.C 二、多选题 3.AC 4.ACD 三、填空题 5.6 7/7 专题01 平面向量 13大高频考点概览 考点01平面向量基本概念及线性运算 考点02平面向量基本定理及坐标表示 考点03平面向量平行、共线 考点04平面向量数量积定义 考点05平面向量数量积模长问题 考点06平面向量数量积垂直问题 考点07平面向量数量积夹角 考点08数量积在几何图形中的应用 考点09平面向量数量积投影问题 考点10平面向量数量积几何意义 考点11极化恒等式 考点12平面向量数量积几何法 考点13奔驰定理与四心 地 城 考点01 平面向量基本概念及线性运算 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)化简：（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算即可求解. 【详解】由， 故选：B. 2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)在△ABC中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 3．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)在△ABC中，点D，N分别满足，，若，，，则有序实数对为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共线向量及向量的加减运算，再结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】由，，，， 则，， 所以有， 又因为，所以， 故选：B . 地 城 考点02 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)已知向量，，若满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标运算直接得解. 【详解】因为，，且满足， 所以， 故选：A. 2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由或求解即可； 【详解】由题意得或． 设，则， 当时，，所以，即； 当时，，所以，即． 故选：D 3．(24-25高一下·重庆第二外国语学校·期中)向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可得，，即可求出，再根据平面向量基本定理求出、，即可得解. 【详解】依题意可得，， 所以， 又与不共线，且， 所以，所以. 故选：D 4．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)如图所示，在直角坐标系中，已知，对于任意点M，它关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用表示为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得为的中点，为的中点，即可得到是的中位线，从而得到，即可得解； 【详解】，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，即为的中点，为的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 二、多选题 5．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AB 【分析】根据共线向量的坐标公式：来进行检验并可作出共线判断，再根据基底一定是不共线向量可以作出选择. 【详解】由于，所以与不共线，故A正确； 由于，所以与不共线，故B正确； 由于，所以与共线，故C错误； 由于，所以与共线，故D错误； 故选：AB. 6．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)“赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是线段上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】运用向量运算加减法则，结合基本定理得解. 【详解】由题意可得. 因为是平行四边形，所以，所以， 所以，则A正确，B错误. 因为， 所以，则C正确，D错误. 故选：AC. 地 城 考点03 平面向量平行、共线 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量满足，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据共线向量坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量满足，所以，解得. 故选：A 2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量，，，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据向量共线的充要条件得解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：B 二、填空题 3．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量不共线，若与共线，则实数的值为____________. 【答案】 【分析】利用平面向量共线定理以及基本定理可构造方程组求得结果. 【详解】由题意，设，， 则有，解得. 故答案为：. 4．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则_____ 【答案】8 【分析】根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理，使用基地表示出各向量，根据向量关系列出参数的方程，求出参数关系. 【详解】因为，所以，则， 所以，， 因为为的中点，故． 又因为、、三点共线，则， 所以，存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线，所以， 所以，，故． 故答案为：8. 5．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)在△ABC中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 【答案】9 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 三、解答题 6．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知，． (1)当为何值时，与垂直？ (2)若，且、、三点共线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用向量坐标运算求出与的坐标，再利用垂直可求； （2）先利用向量坐标运算求出，利用向量平行可求. 【详解】（1），， ， 又与垂直，得，即； （2），， 、、三点共线，， 则，解得：． 地 城 考点04 平面向量数量积定义 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解. 【详解】， . 故选：A. 2．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 3．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，，当时，与垂直， ，所以成立，此时， 不是的充分条件， 当时，成立， 是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件    故选：B. 4．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知向量，则（ ） A． B．0 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据平面向量的数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为向量，， 则. 故选：D. 5．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)矩形中，，，，，则（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据线性运算利用基底表示向量，再由数量积的运算法则性质求解即可. 【详解】因为，， ∴ . 故选：B 二、填空题 6．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知在△ABC中，，，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】根据平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】如下图所示： ， 由平面向量数量积的定义可得， 则， . 故答案为：. 7．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，，是上一点且，则_____． 【答案】 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以， 所以 故答案为： 三、解答题 8．(24-25高一下·重庆广益中学校·期中)设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. (1)已知向量满足，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值； (3)已知向量，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)7 (3)16 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间得关系，计算可得，代入数据计算可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由已知，得， 设的夹角为，由，可得，即， 又，所以， 所以； （2）设，则，， 设的夹角为，则， ， 所以， 又， 所以. （3）由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是16. 地 城 考点05 平面向量数量积模长问题 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知向量，，满足，，，则（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】先根据已知条件求出的值，再利用向量模的计算公式求出. 【详解】已知，可得： 又因为，可得. 将代入，可得，解得. 根据向量模的计算公式，可得. 展开可得： 由，，，代入上式可得： 所以. 故选：B. 2．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ） A．5 B．8 C．7或8 D．5或8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得. 【详解】由向量，，两两的夹角相等， 得或， 当时，， 当时， . 故选：D 3．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知向量，且，则的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．2 【答案】C 【分析】由向量加法和模长运算的坐标表示计算即可. 【详解】， ， 两边平方后化简可得或. 故选：C 4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知为单位向量，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值. 【详解】为单位向量，有，得， 由，得， 有，所以， ， ，，有， 则， 当且仅当与方向相反时“”成立， 如取时，可使“”成立. 所以. 故选：B． 二、解答题 5．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)已知向量与的夹角为． (1)求及； (2)求． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先求出，再利用平面向量数量积的定义求解即可. （2）将平方，再结合（1）中结论，代入求解即可. 【详解】（1）因为向量与的夹角为， 所以， 则． （2）由 ， 所以． 6．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知向量，，. (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，（），当取得最小值时，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直时，数量积为0，结合数量积的运算律，列式求解，即得答案； （2）利用，结合数量积运算律求出当取得最小值时的值，即可得，再根据即可求得答案. 【详解】（1）由题意向量，，， 则，即， 故， ，即向量与的夹角； （2）由（1）可知，， 则 ， 当时，取得最小值，即取最小值， 此时，则. 地 城 考点06 平面向量数量积垂直问题 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)已知，，若，则实数（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用垂直关系的向量坐标表示可得. 【详解】由题意可得. 故选：D. 2．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知平面向量， 若， 则实数的值为（    ） A．10 B．8 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先判断出，利用坐标运算即可求出t. 【详解】若，则若， 平面向量，所以， 所以，解得：. 故选:A. 二、填空题 3．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知，，且，则_____． 【答案】 【分析】利用向量垂直求解的值. 【详解】由， 则，故. 故答案为：. 4．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量满足，则______. 【答案】1 【分析】利用向量垂直的坐标形式列式即可求解. 【详解】因为向量满足， 所以，解得. 故答案为：1 三、解答题 5．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知平面向量，，，，且与的夹角为． (1)求的值； (2)若与（）垂直，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的定义求出，再利用向量数量积的运算律计算； （2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【详解】（1）∵，，且与的夹角为， ∴， 故； （2）∵与（）垂直， ∴， 即，解得：． 地 城 考点07 平面向量数量积夹角 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两边平方，结合数量积的运算和向量的模即可求解. 【详解】因为， 所以， 即， 化简得， 即. 故选：B. 2．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为向量，的夹角是锐角，所以 解得且，所以的取值范围是. 故选：C. 二、填空题 3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________． 【答案】1 【分析】由，结合数量积的性质求的关系，再确定的大小即可． 【详解】单位向量，由，得，解得， 而，当且仅当时取等号，因此，此时， 因此，，， 所以. 故答案为：1 4．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为________ 【答案】 【分析】根据向量夹角是钝角，得到数量积小于0，且两向量不共线，由此列出不等式求出实数的取值范围． 【详解】由题意，与夹角为钝角，则，且与不共线. 由可得， 若与共线，则有，解得，所以与不共线时，. 综上，的取值范围为且. 故答案为：. 三、解答题 5．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知点，O为坐标原点，为轴上一动点. (1)，求点的坐标； (2)当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设点，由向量垂直的充要条件列方程，求出的值，即得点坐标； （2）由的表达式中，利用二次函数的性质，求出其最小值即此时的的值，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】（1）根据题意，设点，又，得， 由，即，解得或， 的坐标为或； （2）由（1）可得：， 当时，取得最小值，此时，， 设与夹角为，则此时. 6．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)设、是夹角为的两个单位向量，如果 (1)求证：，，三点共线； (2)若与的夹角为锐角，试求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据向量平行且有公共点得出三点共线； （2）把夹角为锐角转化为数量积大于零且向量不平行求参即可. 【详解】（1）因为， 则，可知共线，所以，，三点共线； （2）若， 解得或 若，可得解得， 则与夹角为锐角，则且与不平行， 故或或， 则的取值范围为. 7．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)（1）已知向量，．当λ为何值时，与垂直？ （2）已知非零向量满足，，当时，求向量与夹角θ的余弦值． 【答案】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算，由即可求解； （2）先求，，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 所以，解得； （2）由题意有 ， 所以， 因为， 所以 8．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)已知向量，， (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将两边平方求出，再将平方求其值； （2）根据向量夹角公式求出向量与的夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又因为，，所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以与的夹角的余弦值为． 地 城 考点08 数量积在几何图形中的应用 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 2．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 故选：C 二、多选题 3．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. 地 城 考点09 平面向量数量积投影问题 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知单位向量满足，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解判断. 【详解】单位向量满足，则， 所以所求的投影向量为． 故选：B 2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)设与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：C 3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案. 【详解】设投影向量是，则，所以， 即在上的投影向量是． 故选：D. 二、多选题 4．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则实数的值为 C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用向量共线的坐标公式解方程即得；对于C，利用向量数量积的意义与向量共线的坐标公式列不等式求解即得；对于D，利用向量投影的计算公式即得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因，则， ，由可得，解得，故B正确； 对于C，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故C错误； 对于D，因，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 5．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与非零向量共线，则 【答案】ACD 【分析】利用向量夹角公式判断A选项；利用公式判断B选项；设与垂直的单位向量的坐标为，建立方程组求解即可判断C选项；设，利用平面向量基本定理中的唯一性可得判断D选项. 【详解】由题意得，，故A正确； 在方向上的投影向量为， 故B错误； 设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C正确； 若向量与非零向量共线，设， 因为不共线，所以，解得，此时，故D正确. 故选：ACD. 6．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量的夹角为，，，，则（    ） A．在方向上的投影向量的模为1 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 【答案】AD 【分析】利用投影向量的模长公式和数量积的运算律逐项判断即可. 【详解】由题意在方向上的投影向量的模为，故A说法正确； 在方向上的投影向量的模为，故B说法错误； ， 当时，取得最小值， 此时， 所以，故C说法错误，D说法正确， 故选：AD 三、填空题 7．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________ 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 地 城 考点10 平面向量数量积几何意义 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（   ）    A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的条件，利用数量积的运算律可得，再利用数量积的定义求解. 【详解】由为弧上的一点，得，，则， 因此， 当且仅当，即点与点重合时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 2．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点的位置，即可求得结果． 【详解】如图所示：    设，则． 可看成是在上的投影， 当点与重合时最小，最小值为， 当点与重合时最大，最大值为0， 故． 故选：C． 3．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果 【详解】根据向量数量积的几何意义可知，，，，所以所有中有3个数值. 故选：D 地 城 考点11 极化恒等式 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正六边形内切圆圆心为，则，然后利用数量积的运算律及定义求解即可. 【详解】设正六边形内切圆圆心为， 由题意可知内切圆半径为，， 又因为，所以的取值范围为． 故选：C． 2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)△ABC是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【详解】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 3．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【详解】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D    4．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D 二、填空题 5．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为________．    【答案】 【分析】以点为原点建立直角坐标系，设，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立直角坐标系， 则，设， 故， 所以， 则当时，取得最小值.    故答案为：. 地 城 考点12 平面向量数量积几何法 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)向量是互相垂直的单位向量，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，将问题化为圆上的点到点的距离，即可得. 【详解】已知向量，是互相垂直的单位向量， 设，，， 由，则， 由，， 其几何意义是圆上的点到点的距离， 圆心到的距离为，圆的半径为2， 所以的取值范围是． 故选：D 二、多选题 2．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知平面向量满足 则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．若 则 的最大值为 C．若向量满足，则 的最大值是 D．若向量满足，则 的最小值是2 【答案】ACD 【分析】由向量垂直的数量积表示得出，然后把向量的模转化为数量积的运算后，分别利用二次函数知识，基本不等式可得选项AB中最值，从而判断AB，利用平面向量的几何意义，由圆的性质可得点轨迹是图中两段优弧，再由圆的性质可得所求距离的最值，判断CD． 【详解】对于A，由，得，， ， 因此当时，取得最小值，A正确； 对于B，由，得，则 ，当且仅当时等号成立，B错误； 对于CD，，，， 又，则， 作，，以为圆心，为半径作圆，如图， 当是圆的优弧上点时，即时，满足， 再作点关于直线的对称点，以为圆心，为半径作圆， 当是圆的优弧上点时，即时，也满足， 当不是这两段优弧上的点时，都不满足，即不满足， 是等边三角形，因此，两圆半径都是2， 由图可知即的最小值是2，最大值是，CD正确. 故选：ACD 地 城 考点13 奔驰定理与四心 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆第二外国语学校·期中)是平面上一定点，P是△ABC中一动点且满足：，则直线AP一定通过△ABC的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据已知得，结合向量加法的几何性质即可得. 【详解】若为中点，由题设， 如下图示，易知直线AP是△ABC的一条中线， 所以直线AP一定通过△ABC的重心. 故选：B 2．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)若点是△ABC所在平面内的一点，且满足，则与△ABC的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得为线段的中点，再结合三角形面积公式以及边长比例关系可得结果. 【详解】取的中点为，如下图所示： 易知，又可得； 因此可得，即三点共线，且为线段的中点， 所以； 又，所以； 所以与的面积之比为. 故选：C 二、多选题 3．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)奔驰定理：已知是△ABC内一点，的面积分别为，则.设是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为，若，且为△ABC的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据垂心性质判断AB，结合垂心性质及数量积的定义可得，结合已知根据奔驰定理得，根据面积公式可得，设，由及两角和的正切公式列方程求得，即可得解. 【详解】因为为△ABC的垂心，所以，A正确，B错误. 由上知， 同理，. 因为，所以， 所以，同理，， 所以. 因为，所以. 设， 因为，所以， 所以，解得，所以，C正确，D错误. 故选：AC 4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知点在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若为△ABC的垂心，且，则 B．若，则△ABC的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】A将转化为，然后求数量积；B将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，设中点为，中点为， ，即， 所以点为中位线靠近点的三等分点，所以，故B错； C选项，设中点为，则， 结合题设 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上， 所以动点的轨迹经过△ABC的外心，故C正确； D选项，设中点为， 因为，所以点的轨迹为以为直径的圆， 结合上图， , 当为直径时最大，最大为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知三角形ABC中，点G、O分别是△ABC的重心和外心，且，，则边的长为________. 【答案】6 【分析】由数量积的定义得出外心满足性质：，，由中线向量性质，再由数量积的运算得出，利用平方后求得，即，然后由直角三角形性质得长． 【详解】如图，延长交于，连接，作于，则分别是的中点， ， 同理， ， ， ， 又， 即，， 所以，即， 所以， 故答案为：6． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 13大高频考点概览 考点01平面向量基本概念及线性运算 考点02平面向量基本定理及坐标表示 考点03平面向量平行、共线 考点04平面向量数量积定义 考点05平面向量数量积模长问题 考点06平面向量数量积垂直问题 考点07平面向量数量积夹角 考点08数量积在几何图形中的应用 考点09平面向量数量积投影问题 考点10平面向量数量积几何意义 考点11极化恒等式 考点12平面向量数量积几何法 考点13奔驰定理与四心 地 城 考点01 平面向量基本概念及线性运算 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)化简：（    ） A．0 B． C． D． 2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)在△ABC中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)在△ABC中，点D，N分别满足，，若，，，则有序实数对为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)已知向量，，若满足，则（　　） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 3．(24-25高一下·重庆第二外国语学校·期中)向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（    ） A．3 B． C． D． 4．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)如图所示，在直角坐标系中，已知，对于任意点M，它关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用表示为（    ）. A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)“赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是线段上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 平面向量平行、共线 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量满足，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量，，，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 二、填空题 3．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量不共线，若与共线，则实数的值为____________. 4．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则_____ 5．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)在△ABC中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 三、解答题 6．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知，． (1)当为何值时，与垂直？ (2)若，且、、三点共线，求的值． 地 城 考点04 平面向量数量积定义 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 2．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 3．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知向量，则（ ） A． B．0 C．6 D．7 5．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)矩形中，，，，，则（   ） A． B． C．1 D．4 二、填空题 6．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知在△ABC中，，，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为__________. 7．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，，是上一点且，则_____． 三、解答题 8．(24-25高一下·重庆广益中学校·期中)设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. (1)已知向量满足，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值； (3)已知向量，求的最小值. 地 城 考点05 平面向量数量积模长问题 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知向量，，满足，，，则（   ） A． B． C．6 D．12 2．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ） A．5 B．8 C．7或8 D．5或8 3．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知向量，且，则的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．2 4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知为单位向量，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 二、解答题 5．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)已知向量与的夹角为． (1)求及； (2)求． 6．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知向量，，. (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，（），当取得最小值时，求. 地 城 考点06 平面向量数量积垂直问题 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)已知，，若，则实数（   ） A．3 B． C． D．0 2．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知平面向量， 若， 则实数的值为（    ） A．10 B．8 C．5 D．3 二、填空题 3．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知，，且，则_____． 4．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量满足，则______. 三、解答题 5．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知平面向量，，，，且与的夹角为． (1)求的值； (2)若与（）垂直，求的值． 地 城 考点07 平面向量数量积夹角 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________． 4．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为________ 三、解答题 5．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知点，O为坐标原点，为轴上一动点. (1)，求点的坐标； (2)当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 6．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)设、是夹角为的两个单位向量，如果 (1)求证：，，三点共线； (2)若与的夹角为锐角，试求的取值范围. 7．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)（1）已知向量，．当λ为何值时，与垂直？ （2）已知非零向量满足，，当时，求向量与夹角θ的余弦值． 8．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)已知向量，， (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 地 城 考点08 数量积在几何图形中的应用 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 二、多选题 3．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 地 城 考点09 平面向量数量积投影问题 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知单位向量满足，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)设与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则实数的值为 C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在上的投影向量的坐标为 5．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与非零向量共线，则 6．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量的夹角为，，，，则（    ） A．在方向上的投影向量的模为1 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 三、填空题 7．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________ 地 城 考点10 平面向量数量积几何意义 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（   ）    A．0 B． C． D． 2．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 3．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 地 城 考点11 极化恒等式 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)△ABC是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 3．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 4．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为________．    地 城 考点12 平面向量数量积几何法 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)向量是互相垂直的单位向量，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知平面向量满足 则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．若 则 的最大值为 C．若向量满足，则 的最大值是 D．若向量满足，则 的最小值是2 地 城 考点13 奔驰定理与四心 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆第二外国语学校·期中)是平面上一定点，P是△ABC中一动点且满足：，则直线AP一定通过△ABC的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 2．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)若点是△ABC所在平面内的一点，且满足，则与△ABC的面积之比为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)奔驰定理：已知是△ABC内一点，的面积分别为，则.设是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为，若，且为△ABC的垂心，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知点在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若为△ABC的垂心，且，则 B．若，则△ABC的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 三、填空题 5．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知三角形ABC中，点G、O分别是△ABC的重心和外心，且，，则边的长为________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $