精品解析：北京市第三十五中学2025-2026学年度第二学期八年级数学单元练习

2025—2026学年度第二学期北京市第三十五中单元练习 初二数学 考生须知 1．本试卷共5页，共三道大题，22道小题，满分100分． 2．考试时间50分钟． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上．在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）． A. 2，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1，， 2. 已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ） A. 3 B. C. D. 或 3. 如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A. 313 B. 225 C. 169 D. 144 4. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 7. 如图，中国国家博物馆收藏了元代制作的计时工具“铜壶滴漏”，这是目前发现形制最大、最完备的一个多级滴漏，从1316年使用到1919年，一直为人民报时、计时．从上至下的四个铜壶依次名为“日壶”、“月壶”、“星壶”、“受水壶”，通过多级滴漏，使得“星壶”中的水可以匀速滴入圆柱形的“受水壶”中，“受水壶”中带有刻度的木箭随着水位匀速上移，对准标尺就能读出相应的时间．在一天中，“受水壶”中的水面高度h与时间t的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共27分，每空3分） 9. 在一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是_______． 10. 点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 11. 一次函数（m为常数且），若y随x的增大而增大，则它的图象经过第________象限． 12. 一次函数的图象如图所示．当时，x的取值范围是________．当时，y的取值范围是________． 13. 直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 14. 如图，利用函像图像回答下列问题： （1）方程组的解为_________； （2）不等式2x＞-x＋3的解集为________． 15. 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是________． 三、解答题（本题共49分，第16题12分，第17-21题6分，第22题7分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与y轴交于点B，点C是x轴上一点，的面积是5，求点C的坐标． 18. 已知中，．若，，求a、b的长． 19. 如图，长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．求的面积． 20. 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如下图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，．求的长． 21. 如图，在四边形 中，，求四边形的面积． 22. 如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． （1）当秒时，求的面积； （2）若平分，求的值； （3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期北京市第三十五中单元练习 初二数学 考生须知 1．本试卷共5页，共三道大题，22道小题，满分100分． 2．考试时间50分钟． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上．在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）． A. 2，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1，， 【答案】A 【解析】 【分析】欲判断是否能构成直角三角形，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】A、22+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意； B、32+42＝52，能构成直角三角形，此选项不合题意； C、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不合题意； D、12+()2＝()2，能构成直角三角形，此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，注意题干要求找出不能构成直角三角形的选项，不要弄错了． 2. 已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ） A. 3 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】当一直角边、斜边为1和2时，第三边==； 当两直角边长为1和2时，第三边==； 故选D． 3. 如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A. 313 B. 225 C. 169 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 4. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 5. 如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中垂线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【详解】解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 6. 下列各式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析： A. 被开方数含分母，故错误； B. 被开方数含分母，故错误； C. 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故正确； D. 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故错误； 故选C. 点睛：最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 7. 如图，中国国家博物馆收藏了元代制作的计时工具“铜壶滴漏”，这是目前发现形制最大、最完备的一个多级滴漏，从1316年使用到1919年，一直为人民报时、计时．从上至下的四个铜壶依次名为“日壶”、“月壶”、“星壶”、“受水壶”，通过多级滴漏，使得“星壶”中的水可以匀速滴入圆柱形的“受水壶”中，“受水壶”中带有刻度的木箭随着水位匀速上移，对准标尺就能读出相应的时间．在一天中，“受水壶”中的水面高度h与时间t的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“星壶”中的水可以匀速滴入圆柱形的“受水壶”中，“受水壶”中带有刻度的木箭随着水位匀速上移，对准标尺就能读出相应的时间可得出与成正比例关系，由此即可得． 【详解】解：由题意得：高度与时间成正比例关系， 观察四个选项可知，只有选项的函数图象符合， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象，正确判断出高度与时间成正比例关系是解题关键． 8. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单． 【详解】解：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，当P到达B点时，面积达到最大，值是1； 在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是； 由C到M这一段，面积越来越小；当P到达M时，面积最小变成0． 因而应选第一个图象． 故选：A． 【点睛】本题考查了分段函数的画法，运用数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题（本题共27分，每空3分） 9. 在一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是_______． 【答案】m＜-1 【解析】 【分析】根据y与x的关系，判断出k的符号，进而求得m的取值范围． 【详解】∵随的增大而减小 ∴一次函数的比例系数k＜0，即m+1＜0 解得：m＜－1 故答案为：m＜－1． 【点睛】本题考查一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，则反之． 10. 点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质.，可通过代入横坐标计算函数值直接比较，也可根据一次函数的增减性结合横坐标大小关系判断与的大小． 【详解】解：方法一：代入求值比较 将代入，得， 将代入，得， ， . 方法二：利用一次函数增减性判断 在直线中，， ， ， ． 11. 一次函数（m为常数且），若y随x的增大而增大，则它的图象经过第________象限． 【答案】一、二、三 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性确定，再结合一次函数图象与系数的关系，判断图象经过的象限． 【详解】解：一次函数（为常数且），随的增大而增大， ， 对于一次函数，一次项系数为，常数项为， ， 一次项系数大于零，图象经过第一、三象限，常数项大于零， 图象与轴交于正半轴，图象经过第二象限， 该一次函数的图象经过第一、二、三象限． 12. 一次函数的图象如图所示．当时，x的取值范围是________．当时，y的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】依据题意，由函数的图象，可以得到该函数时x的值和时的值，结合图象即可求解． 【详解】解：根据函数图象可知，时，，时，， 则当时，x的取值范围是；当时，y的取值范围是． 13. 直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①； 根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，故②错误； 一次函数与的图象交点的横坐标为， 当时，的图象在的上方， 即，故③错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是，故④正确． 14. 如图，利用函像图像回答下列问题： （1）方程组的解为_________； （2）不等式2x＞-x＋3的解集为________． 【答案】 ①. ②. x>1 【解析】 【分析】观察函数的图像与相交于（1,2），再根据交点坐标即可求出不等式2x＞－x＋3的解集． 【详解】解：（1）由图像知，直线x+y=3与直线y=2x相交于（1，2）， 所以方程组的解为； （2）∵ x+y=3与y=2x相交于(1，2)， ∴ 由图像知：不等式2x>-x+3的解集为x>1． 故答案为：；x>1． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是能根据函数图像的交点解方程组和不等式．一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据阴影部分是三个直角三角形，三个直角三角形的面积相加即是阴影部分的面积． 【详解】解：如图，轴于D，轴于E，轴于H，于F，直线交轴于点G，则， 把代入，得， ， ，即， ， ， ． 三、解答题（本题共49分，第16题12分，第17-21题6分，第22题7分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）运用二次根式的除法法则及加法进行计算即可； （2）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可； （3）先将二次根式化简，然后再按照二次根式的加减混合运算的顺序和法则进行计算； （4）利用平方差公式及完全平方公式化简计算． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式． 17. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与y轴交于点B，点C是x轴上一点，的面积是5，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据平行可得，再代入点即可求解； （2）先求出点坐标，得到，再利用，可得，结合点写出点C的坐标即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与直线平行， ， 又过点， ，解得， 一次函数的解析式； 【小问2详解】 解：时，，则，， 设，如图， ， ，解得， 又， 点的坐标为或． 18. 已知中，．若，，求a、b的长． 【答案】 【解析】 【分析】设，再利用勾股定理列式求解． 【详解】解：，不妨设， ， ，即， ， 解得（负值已舍去），． 19. 如图，长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：； 即：， ∴的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质，以及勾股定理是解题的关键． 20. 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如下图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】通过作垂线构造直角三角形，分别在和中，利用三角函数和角度关系求出相关线段长度，进而得到的长． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，，，， ，． ， ． 在中，，． 在中，，， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查直角三角形与三角函数的综合应用，掌握通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数和角度关系求解线段长度是解题的关键． 21. 如图，在四边形 中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ． ， ∴， 是直角三角形，， ． 22. 如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． （1）当秒时，求的面积； （2）若平分，求的值； （3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可； （）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； 【小问2详解】 解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $