学易金卷：高一数学下学期期中模拟卷01（浙江专用，人教A版必修第二册第6～8章：平面向量与解三角形+复数+立体几何初步）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．已知向量，，若实数λ满足，则（    ） A． B． C． D．1 3．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（    ） A． B．8 C．4 D． 4．已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（    ） A． B．C． D． 8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在中，内角､､所对的边分别为､､，已知，，则（    ） A． B．的周长的最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最大值为 11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（    ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．若是棱中点，则三棱锥的体积为 C．周长的最小值为 D．棱上总存在点，使得直线平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 13．如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.    14．篮球有不同的型号，比如男篮和女篮的比赛用球无论是质量还是大小均不相同，儿童一般用3号球，半径约9厘米.一款儿童篮球为标准球体，半径9厘米，球面上有三点、、，它们相互之间的直线距离均为9厘米，球面上有一动点，则点到平面的距离的最大值为__________厘米. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，． (1)求正三棱柱的表面积；(2)求证：直线//平面． 16．（15分）设为虚数单位，，复数.且___________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答. ①；②；③在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上. (1)求实数的值； (2)若是纯虚数，求实数的值. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 17．（15分）已知向量，向量与向量的夹角为. (1)求的值. (2)若，求实数的值. (3)在（2）的条件下，求向量在向量方向上的投影向量的坐标. 18．（17分）据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为. (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式； (2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值； (3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围. 19．（17分）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．    (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．已知向量，，若实数λ满足，则（    ） A． B． C． D．1 3．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（    ） A． B．8 C．4 D． 4．已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（    ） A． B．C． D． 8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在中，内角､､所对的边分别为､､，已知，，则（    ） A． B．的周长的最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最大值为 11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（    ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．若是棱中点，则三棱锥的体积为 C．周长的最小值为 D．棱上总存在点，使得直线平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 13．如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.    14．篮球有不同的型号，比如男篮和女篮的比赛用球无论是质量还是大小均不相同，儿童一般用3号球，半径约9厘米.一款儿童篮球为标准球体，半径9厘米，球面上有三点、、，它们相互之间的直线距离均为9厘米，球面上有一动点，则点到平面的距离的最大值为__________厘米. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，． (1)求正三棱柱的表面积；(2)求证：直线//平面． 16．（15分）设为虚数单位，，复数.且___________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答. ①；②；③在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上. (1)求实数的值； (2)若是纯虚数，求实数的值. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 17．（15分）已知向量，向量与向量的夹角为. (1)求的值. (2)若，求实数的值. (3)在（2）的条件下，求向量在向量方向上的投影向量的坐标. 18．（17分）据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为. (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式； (2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值； (3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围. 19．（17分）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．    (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解】由于，则，则复数的虚部为． 故选：B. 2．已知向量，，若实数λ满足，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解】因为，且， 所以， 所以， 故选：A. 3．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】B 【解】直观图中，，由此画出直观图对应的原图如下图所示，其中，所以，所以原平面图形的周长为. 故选：B. 4．已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解】向量为非零向量，则“”成立即得向量同向共线； “存在非零实数m，n，使得”成立即得向量共线； 向量同向共线可以得出共线，但是共线不一定是同向共线， 则“”是“存在非零实数m，n，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 5．如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 6．某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点， 根据已知得， 设母线长，则在直角△中， 因为，所以 即，化简得， 解得，或(舍去)， 所以圆锥的侧面积为：. 故选：C. 7．如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【解】：如图所示： 因为，， 所以， 则， 在中，由正弦定理得， ， 则， 得， 在直角三角形中，， 得. 故选：D 8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解】对于A，若，，则，，故A错误； 对于B，设，，， 因为，所以，所以，，，故，故B正确； 对于C，若，则，则或， 所以或，所以，故C正确； 对于D，若，，则满足， 但，，所以，故D错误. 故选：BC. 10．在中，内角､､所对的边分别为､､，已知，，则（    ） A． B．的周长的最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最大值为 【答案】BC 【解】 由正弦定理可得，，即， 则由余弦定理得，因，则，故A错误； 得， 因，则，当且仅当时等号成立， 则的周长的最大值为，故B正确； 由正弦定理得，则， 故当时，取最大值，此时，，故C正确； 由C选项可知， ， 其中，故当时，取最大值，故D错误. 故选：BC 11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（    ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．若是棱中点，则三棱锥的体积为 C．周长的最小值为 D．棱上总存在点，使得直线平面 【答案】ABD 【解】对于A,正三棱柱中，， 设外接球半径为，底面外接圆半径为， 所以，即， 因为， 所以正三棱柱正三棱柱得外接球表面积为，故A正确； 对于B，因为是棱中点，所以，因为 , 所以三棱锥的体积为，故B正确； 对于C， 由侧面展开图所示， 周长 , 所以其最小值为故C错误； 对于D, 在上取一点使得，则， 当时，四边形为平行四边形，故， 又平面， 平面，所以直线平面,故D正确， 故选:ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 13．如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.    【答案】 【解】设， 因为和分别是边和的中点，可得, 又因为，所以， 因为，所以，所以. 故答案为：. 14．篮球有不同的型号，比如男篮和女篮的比赛用球无论是质量还是大小均不相同，儿童一般用3号球，半径约9厘米.一款儿童篮球为标准球体，半径9厘米，球面上有三点、、，它们相互之间的直线距离均为9厘米，球面上有一动点，则点到平面的距离的最大值为__________厘米. 【答案】 【解】如图，为球心，为的中心，为中点， 设球半径为， 由题意知为等边三角形，，， 则，， 在中，， 即球心到平面的距离， 当三点共线时，点到平面的距离最大，最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，． (1)求正三棱柱的表面积；(2)求证：直线//平面． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）． （2）取和交点M，连DM， ∵D，M分别为AC，中点，故． 平面，DM平面． ∴//平面． 16．（15分）设为虚数单位，，复数.且___________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答. ①；②；③在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上. (1)求实数的值； (2)若是纯虚数，求实数的值. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】(1)；(2). 【解】（1）若选①：由，得，解得. 若选②：由，解得. 若选③：由得. （2），由，解得. 17．（15分）已知向量，向量与向量的夹角为. (1)求的值. (2)若，求实数的值. (3)在（2）的条件下，求向量在向量方向上的投影向量的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解】（1）由题意得：，. . （2），且 ，即，解得:. （3）在（2）的条件下，， 则与向量同向的单位向量， 向量在向量方向上的投影为:， 向量在向量方向上的投影向量为:. 18．（17分）据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为. (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式； (2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值； (3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解】（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为，所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为. （2）设圆锥半径为，则， 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，， 即， 消去，得， 整理得，因为，所以. （3）设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为， 则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件. 注意到，当顶点在圆锥底面圆周上时， ，得， 当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”. 因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点在球冠上.即，且. 又因为，所以. 19．（17分）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．    (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)(2)证明解析.(3)，理由见解析 【解】（1）因为向量，所以，又因为，， 所以， 所以. （2）因为向量，，所以，， 所以 化简得. （3）①由（2）得， 化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点. ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以. 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B A D C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】或 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）．（6分） （2）取和交点M，连DM， ∵D，M分别为AC，中点，故． 平面，DM平面．∴//平面．（7分） 16．（15分）【答案】(1)；(2). 【解】（1）若选①：由，得，解得. 若选②：由，解得. 若选③：由得.任意选择一种情况均是（6分） （2），由，解得.（7分） 17．（15分）【答案】(1)；(2)；(3) 【解】（1）由题意得：，. .（4分） （2），且 ，即，解得:. （5分） （3）在（2）的条件下，， 则与向量同向的单位向量， 向量在向量方向上的投影为:， 向量在向量方向上的投影向量为:. （6分） 18．（17分）【答案】(1)；(2)；(3). 【解】（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为，所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为.（4分） （2）设圆锥半径为，则， 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，， 即， 消去，得， 整理得，因为，所以.（5分） （3）设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为， 则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件. 注意到，当顶点在圆锥底面圆周上时， ，得，（5分） 当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”. 因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点在球冠上.即，且. 又因为，所以.（3分） 19．（17分）【答案】(1)(2)证明解析.(3)，理由见解析 【解】（1）因为向量，所以，又因为，， 所以， 所以.（4分） （2）因为向量，，所以，， 所以 化简得.（4分） （3）①由（2）得， 化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以，（2分） 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点.（3分） ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以.（4分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： ! 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 单 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C]D] 5[A][B][C]D] 2[A][B][CI[D] 6[AJ[B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 款 4[A[B][C][D] 8[A[B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A[B[C]D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 箭 12 日 13 14 ! ! 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) A B A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 球维 (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）