精品解析：天津市部分区2026届高三下学期质量调查试卷（一）数学试题

天津市部分区2026年高三质量调查试卷（一） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么. ·如果事件A，B相互独立，那么. ·球的体积公式，其中R表示球的半径. ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合集合的并集和补集运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，则， 且，所以. 2. 设，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可． 【详解】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立， 若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立， 故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可． 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的定义域为. 由知是偶函数，图象关于轴对称，排除B、D； 当时，恒成立，A项不合题意,而C项均符合. 4. 某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. B. 成绩在的频数为50 C. 成绩中位数在内 D. 成绩平均数在内 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由频率分布直方图的性质列方程，能求出；对于B，由频率分布直方图得成绩落在的参赛学生的频率，再求频数即可判断；对于C，由频率分布直方图得的频率为，的频率为，确定成绩的中位数所在区间即可判断；对于D，求出成绩的平均分即可判断． 【详解】对于A，由频率分布直方图的性质得： ，解得，故A正确； 对于B，由频率分布直方图得成绩在的参赛学生的频率为， 成绩在的参赛学生的频数为，故B正确； 对于C，由频率分布直方图得： 的频率为， 的频率为， 成绩的中位数位于内，故C正确； 对于D，成绩的平均分为： ， 成绩的平均分落在内，故D错误． 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可. 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 7. 已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合三角函数的最值点可得，再结合正弦函数单调性运算求解. 【详解】因为，则， 若函数在处取得最小值， 则，解得，可得， 又因为，则， 令，解得， 所以在区间上的单调递减区间为. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，中有，中有，可得，结合，解得，可得双曲线的方程. 【详解】双曲线渐近线为，不妨设在渐近线上，即，如下图所示， 由，有，所以， ，所以，， 中，， 中，， 则有，得， 又，有，解得， 所以双曲线的方程为. 9. 已知球O是棱长为2的正方体的内切球，则球O与三棱锥的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知棱长为2的正方体的内切球半径为1，球心在正方体的中心， 根据对称性可知三棱锥占整个正方体的， 则球O与三棱锥的公共部分的体积也为整个球的体积的，为. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. i是虚数单位，复数_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：． 考点：复数的除法运算． 11. 在的展开式中，的系数为______________．（结果用数字表示） 【答案】45 【解析】 【详解】根据二项式定理， 的展开式为 . 要在 的展开式中得到 项，需分两种情况计算： 1. 取 与 中的 项相乘： 中 项的系数为 ， 此部分 的系数为 . 2. 取 与 中的 项相乘： 中 项的系数为 ， 此部分的系数为. 综上所述， 的系数为 . 12. 已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得圆心坐标为，则，，则，准线方程为 不妨取，因为该圆与抛物线交于，两点，则， 联立，解得或（舍去）， 则根据对称性有，解得， 则圆，则. 13. 现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先结合题意得到，再利用二项分布概率公式求解第一空，利用二项分布期望公式求解第二空即可. 【详解】由题意得每名学生被要求用英语回答问题的概率均为， 则用汉语回答的概率为，可得， 由二项分布概率公式得， ， 则至少有2人用英语回答问题的概率为， 由二项分布期望公式得. 14. 已知P是内一点，．若，，且B，P，Q三点共线，则的值为______________；若，，向量在向量上的投影向量为，则______________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理、结合平面向量共性性质、投影向量定义、平面向量数量积运算性质进行求解即可. 【详解】， 因为，且，所以， 于是有， 因为B，P，Q三点共线， 所以； 因为，向量在向量上的投影向量为， 所以有， . 15. 函数，若恰有四个不同零点，则实数a的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】结合三角函数零点与二次函数的零点分析判断即可. 【详解】当时，令，则，所以， 此时零点为正奇数：. 当时，， 此时在上单调递增，最多有一个零点. 因为恰有四个不同零点，所以在上至少有三个零点， 故，此时，在上有且仅有一个零点， 所以时，与轴有3个交点，需满足， 所以实数a的取值范围为. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对进行化简、变形，结合余弦定理进行求解即可； （2）利用正弦定理对进行边角转换，结合（1）的结论、同角的三角函数关系式进行求解即可； （3）利用二倍角的余弦和正弦公式，结合（1）、（2）的结论、同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， 由余弦定理可知； 【小问2详解】 根据正弦定理由， 因为，所以， 所以由， 由（1）可知， 所以，所以， 于是； 【小问3详解】 由（2）可知：， 在中，因为，所以， 因此， 于是， ， 由（1）可知，由（2）可知，所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）求点M到平面的距离． 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接，如下图所示： 因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，先根据面面平行判定定理证明平面平面，再证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角的余弦值，根据同角关系求结论； （3）求的坐标，利用向量方法求结论即可. 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 因，则以为原点，所在直线为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，又， 所以； 【小问3详解】 因为，为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过的点与椭圆的基本性质求解椭圆方程即可. （2）联立方程组得到，利用直线与椭圆的位置关系得到，再结合题意与中点坐标公式得到，最后结合题意求解出参数，得到目标直线方程即可. 【小问1详解】 因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得，则椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图，设的方程为，设，， 联立方程组，可得， 解得，，则， 因为直线与椭圆有唯一公共点，所以直线与椭圆相切， 得到，解得， 由题意得，，则的斜率是， 而过点与直线平行的直线交x轴于点， 则该直线方程为，令，解得，得到， 设线段的中点为，由中点坐标公式得， 因为在直线上，所以， 化简得，而，，故解得， 代入中，得到，解得， 则的方程为或. 19. 已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． （1）求和的通项公式； （2）若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 【答案】（1）， （2）（i） （ii）， . 设，① 则，② ①-②得， 所以 ， 则，所以. 【解析】 【小问1详解】 因为数列是单调递增的等差数列，故设的公差为. 设数列的公比为. 由，，， 得， 又，解得， 所以. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， ， 同理. , 所以； （ii）略 20. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，有两根记为，在和上单调递增，在上单调递减. （3）证明如下： 由（2）知，， 因为函数在上有两个不同的零点， 所以即，即， 两式相除得，令③， ，所以，代入③式得， ， 令，，， 令，， 因为，所以， 所以在区间上单调递增，所以， 所以在区间上单调递增，所以， 得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线方程； （2）讨论的取值范围利用导数求的单调性； （3）通过构造函数求最值的方法证明不等式. 【小问1详解】 函数，有， ，有， 所以切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 函数，，， 令，，， 令，得， 令，得，所以在上单调递减， 令，得，所以在上单调递增， 所以， ①当时，， 所以，即， 所以在上单调递增； ②当时，， 所以，即， 当时，，，从而， 当时，，，与相比，指数函数呈爆炸性增长，从而， 所以有两根，记为， 当变化时，与的变化情况如下表： + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，有两根，记为，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2026年高三质量调查试卷（一） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么. ·如果事件A，B相互独立，那么. ·球的体积公式，其中R表示球的半径. ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. B. 成绩在的频数为50 C. 成绩中位数在内 D. 成绩平均数在内 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知球O是棱长为2的正方体的内切球，则球O与三棱锥的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. i是虚数单位，复数_________． 11. 在的展开式中，的系数为______________．（结果用数字表示） 12. 已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则________． 13. 现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 14. 已知P是内一点，．若，，且B，P，Q三点共线，则的值为______________；若，，向量在向量上的投影向量为，则______________． 15. 函数，若恰有四个不同零点，则实数a的取值范围为______________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）求点M到平面的距离． 18. 已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 19. 已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． （1）求和的通项公式； （2）若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 20. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $