精品解析：天津市宁河区芦台第一中学2025届高三下学期第一次模拟训练（3月）数学试题

2025届高三第1次模拟训练（3月） 数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（ ） A. 充分不必要条 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A B. C D. 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 6. 已知数列前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 7. 如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若和是函数的两个相邻的最值点，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为 9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知是虚数单位，复数的虚部为________. 11. 在的展开式中，的系数是________． 12. 已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为________． 13. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 14. 已知向量满足分别是线段的中点，若，则______；若点为上的动点，且，则的最小值为______. 15. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）设． （i）求边的值； （ii）求的值． 17. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 19. 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且， （1）求数列和通项公式; （2），求数列的前项和. （3）表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围; 20. 已知函数． （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值； （2）当时，，且，求证． （3）若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第1次模拟训练（3月） 数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集和补集的定义求解即可. 【详解】因为， 故，所以. 故选：D. 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（ ） A. 充分不必要条 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面位置关系，结合必要不充分的定义即可判断. 【详解】若，则，又，可得; 反之，若，不一定有， 如图，，，但. 所以是的必要不充分条件. 故选：. 3. 下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐个函数分析，利用三角函数的奇偶性和单调性，得出结论． 【详解】对于A，由，， 所以为偶函数， 又，又，所以， 所以在上为增函数，故A正确； 对于B，，所以， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，，， 所以为奇函数，故C错误； 对于D，，， 所以为偶函数，又，所以， 所以在上为减函数，，故D错误. 故选：A. 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，判断各数的范围，即可判断出答案. 【详解】由题意得在上单调递减，在上单调递增， 在R上单调递增， 故， 故， 故选：A 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 【答案】D 【解析】 【分析】利用线性回归方程中的基本量即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C， 利用百分位数的定义即可判断选项D. 【详解】对A：样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，A正确. 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则，则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，因为，所以第百分位数为，D错误； 故选：D. 6. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 7. 如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用外接球定义求得三棱锥外接球的球心位置即可计算出球的半径，可得其体积. 【详解】因为为直角三角形，其外接圆圆心为的中点， 设的中点为，过作平面的垂线与交于点， 为三棱锥外接球的球心，， 三棱锥外接球的体积为. 故选：D 8. 已知，，若和是函数的两个相邻的最值点，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦型函数的基本性质求出、的值，可得出函数的解析式，利用三角函数图象平移变换可得出函数的解析式，再利用余弦函数的基本性质逐项判断可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，， 所以，， 由题意可得，，则， 所以，，则，所以，， 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 所以，函数是偶函数，该函数的图象关于点对称，不关于直线对称， 且函数的最小正周期为. 故选：B. 9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解双曲线的离心率. 【详解】由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为，， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以，即双曲线的离心率为. 故选：D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知是虚数单位，复数的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算求解. 【详解】因为， 所以其虚部为-1， 故答案为： 11. 在的展开式中，的系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于，计算展开式中含有项的系数即可. 【详解】由题意得：，， 只需，可得， 所以， 故答案为：. 12. 已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用抛物线定义确定P点坐标，进而可得以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长. 【详解】抛物线的焦点，准线为， 由题意得，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6， 则， 代入横坐标可得，即， 所以的中点坐标为或， ， 所以以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程为或， 圆心到轴距离为，所以与截得的弦长为， 故答案为：4. 13. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用条件概公式求解即可. 【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球” 所以. （2），. 故答案为：；. 14. 已知向量满足分别是线段的中点，若，则______；若点为上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. ． 【解析】 【分析】由得是平行四边形，把用表示后，由数量积的运算求得，同样用表示后平方可求得模，由向量的线性运算得，利用三点共线得出，代入，化简后引入函数，由导数求得其最小值． 【详解】因为，所以是平行四边形， 由题意, , 即，， ， ， ， ， 又共线，所以，即， 在线段上，因此， ， 令，则， 时，，递减，时，，递增， 所以， 所以的最小值为． 故答案为：；． 15. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对数函数和一次函数的单调性判断分段函数的单调性，然后根据函数单调性解不等式即可求解. 【详解】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时， 所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，解得. 故答案为： 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）设． （i）求边的值； （ii）求的值． 【答案】（1） （2）（i）3；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，再利用和差公式及三角形内角和定理即可求解. （2）（i）由余弦定理即可求解；（ii）利用正弦定理可求出，由余弦定理可得，利用二倍角公式及和差公式即可求解. 【小问1详解】 中，， 由正弦定理得， 所以， 即， 所以， 因为，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 （i）由余弦定理，得，即， 即，解得. （ii）由正弦定理得， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以. 17. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，所以点到平面距离等于点A到平面的距离. 易知，则点A到平面的距离为. 【小问3详解】 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面的夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可； 【小问1详解】 解：依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 若直线斜率不存在，与椭圆只有一个交点，不合题意； 所以直线斜率存在，设过点直线为， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 19. 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且， （1）求数列和的通项公式; （2），求数列的前项和. （3）表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围; 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； （2）设，错位相减法求得，设，裂项相消法求得，进而可得结果； （3）求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 因为， 则，解得或（舍去）， 所以；. 【小问2详解】 因为，， 设， ， 两式相减得 ， 所以， 当n为奇数时，， 设 ， . 【小问3详解】 由题意可知：， 其中， 所以， 集合，设， 则， 所以当时，，当时，． 计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，． 【点睛】结论点睛：常见裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等； 根式型：等； 对数型：，且. 20. 已知函数． （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值； （2）当时，，且，求证． （3）若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围； 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义列出相应方程，求得； （2）时求导数，判断的单调性，不妨设，则要证明，即证，，即证，结合，即只需证明，从而令，求其导数，判断单调性，即可证明结论； （3）利用导数判断函数单调性，从而将 可化为，构造函数，判断其单调性，可得在上恒成立，分离参数，求函数最值，即可求得答案. 【小问1详解】 , ∵曲线在处的切线的方程为， 所以 ， ∴ ； 【小问2详解】 当时，，则， 当时，，递减，当时，，递增， 由于，且，故不妨设， 则要证明，即证，而， 当时，递增，故即证， 由于，即只需证明， 令， 则， 当时， ， 即单调递减，故， 即时，，即有， 故原命题成立，即； 【小问3详解】 因为，， 所以，故函数在上单调递增， 不妨设，则 可化为，设，则， 所以为上的增函数，即在上恒成立， 等价于在上恒成立，即在上恒成立， 又，所以 ，所以， 对于函数，，当时，， 故在上是增函数，所以， 所以 ，即m的取值范围为. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用以及不等式的证明和根据不等式恒成立求参数的范围问题，综合性较强，计算量较大，解答时要注意能熟练应用导数的相关知识，比如利用导数解决切线问题和判断函数单调性以及最值问题，解答的关键是将不等式恒成立求参数范围转化为构造函数，利用函数的最值问题加以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $