22.2 第1课时 函数的图象及其画法 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章　函数 22.2　函数的表示 第1课时 函数的图象及其画法 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题1 : 函数是什么？如何判断两个变量之间具有函数关系? 问题2 : 下列y与x的关系式中，y是x的函数的是 (　 　) 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 判断一个变量y是否是另一个变量x的函数，关键是看当另一个变量x确定时，这个变量y是否有唯一确定的值与它对应. 知识关联 A.x=y2　　B.y=±x　　C.y2=x+1　　D.y=|x| D 【情境问题】 探究与应用 心电图就是用图象表示函数的一个实际的例子。 列式表示的函数关系, 画图表示函数关系会使函数关系更直观. 助力教学 (authorId_373264932) - 我们在前面学习了函数的定义，并知道可以用函数关系式表示函数。但有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，例如用心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系。即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观. 【探究1】函数图象的概念 【操作尝试】 探究与应用 正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x2，根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x>0。我们还可以通过在平面直角坐标系中画图的方法来表示S与x的关系. 计算并填写表 x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 4 … S  … 0.25 1         …    … 2.25 4 6.25 9 12.25 16 【探究1】函数图象的概念 【尝试交流】 探究与应用 在平面直角坐标系中，画出表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线依次连接这些点。所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应。例如，点(2,4)表示当x=2时，S=4. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【概括新知】 【探究1】函数图象的概念 探究与应用 我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值 分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个， 那么怎样判断一个点是否在函数图象上？ 【理解应用】 例1　 探究与应用 （1）判断下列各点是否在函数 的图象上？ ①（-0.5，1）； ②（1.5，4）． （2）判断下列各点是否在函数 的图象上？ ①（2，3）；②（4，2）． 解 : 当x=-0.5时，y=2×（-0.5）+1=0， ∴点（-0.5，1）不在函数y=2x+1的图象上； 当x=1.5时，y=2×1.5+1=4，∴点（1.5，4）在函数y=2x+1的图象上． 当x=2时，y= =3，∴点（2，3）在函数 的图象上； 当x=4时，y= =1.5，∴点（4，2）不在函数 的图象上． 【探究1】函数图象的概念 探究与应用 把点的横坐标（即自变量x）的取值代入解析式求出相应的函数值y值，看是否等于该点的纵坐标. 如果相等，则该点在函数图象上；如不相等，则该点不在函数图象上. 方法点拨 【探究2】画函数的图象 【尝试交流】 问题1 : 如何画一个函数的图象? 探究与应用 确定点的坐标．　　　　 取一些自变量的值，计算出相应的函数值． 在坐标系中，画出各对数值对应的点 用光滑的曲线连接各点 【理解应用】 探究与应用 例2 在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数。画出这些函数的图象： (1) y＝x＋0.5； (2) y＝ (x＞0). 解：(1)从式子y=x+0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数. 从x的取值范围中选取范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表(计算并填写表中空格). x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … … -1.5 －0.5 0.5 1.5 2.5 【探究2】画函数的图象 探究与应用 根据表中的数值，在平面直角坐标系中描点(x,y)，并用平滑曲线连接这些点. O x y 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 y=x+0.5 　 从函数y=x+0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y随之增大. 学生自主练习 : (1)画出函数y= (x>0)的图象. 探究与应用 【理解应用】 (2) 提示学生注意自变量的取值范围列表 (计算并填写表中空格). x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 … y …             … 根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x,y)，并用平滑曲线连接这些点。 y 5 x O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 6 -6 从函数y= (x>0)的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小. 3 1.5 1 0.75 6 2 1.2 注意:(1)列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取,取值要有代表性，尽量使画出的函数的图象能反映函数的全貌. (2)连线时要用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来. 探究与应用 【探究2】画函数的图象 画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线，这种画函数图象的方法称为描点法. 【概况归纳】 描点法画函数图象的一般步骤: 第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值; 第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点; 第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. (4)若点P(m,9)在函数y=2x-1的图象上，求出m的值. 探究与应用 【理解应用】 x … -1 0 1 … y … … ∵点P(m,9)在函数y=2x-1的图象上, ∴2m-1=9, 解得m=5. 例3　画出函数y=2x-1的图象. (1)列表: (2)描点并连线; (3)判断点A(-3,-5)、B(2,-3)、C(3,5)是否在函数y=2x-1的图象上; 当x=-3时,y=2×(-3)-1=-7≠-5; 当x=2时,y=2×2-1=3≠-3; 当x=3时,y=2×3-1=5.∴点A、B不在函数y=2x-1的图象上，点C在其图象上. -3 -1 1 【理解应用】 请在如图所示的平面直角坐标系中，画出符合他们行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数图象. 探究与应用 【变式】 星期天，小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅游，匀速骑行1.5小时的时候，其中一辆自行车出现故障，因此二人在自行车修理点修车，用了半小时，然后以原速继续前行，骑行1小时到达目的地。 解 : 如图. 【小结】 课堂小结与检测 函数的图象及其画法 平滑的曲线 列表 函数图象概念 用描点法画函数图象的步骤 描点 连线 顺次连接 自变量的取值范围 取值要有代表性 【检测】 课堂小结与检测 1 . 判断下列各点是否在函数 的图象上 A(-2,-1)、B(-1,0)、C(6,1)、D(1,2). 答案 : 点A在函数 的图像上；点B、C、D不在函数 的图像上 【检测】 课堂小结与检测 2 . (1)画出函数y=x2+1的图象; (2)观察函数y=x2+1的图象，当x≤0时，y随x的增大而增大还是y随x 的增大而减小？当x>0时呢? 当x≤0时，y随x的增大而减小；当x>0，y随x的增大而增大. 图象略　 $