21.3.1 第一课时：矩形的定义及性质课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.3.1 第一课时：矩形的定义及性质 学习目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系. 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题. 重点：矩形与平行四边形的区别与联系 难点：会用矩形的性质解决简单的问题 复习导入 平行四边形有哪些性质？ 边 角 对角线 对称性 平行四 边形 两组对边平行且相等 对角相等 对角线互 相平分 中心对称 情景导入 活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察. 矩形 探究新知 知识点1 矩形的定义 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形. 矩形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是矩形. 针对训练 1.下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、矩形的关系的是（ ） D C 四边形 矩形 平行四边形 四边形 矩形 平行四边形 四边形 矩形 平行四边形 平行四边形 矩形 四边形 A B C 探究新知 知识点2 矩形的性质 矩形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，矩形一定还会具有什么特殊的性质？ A O D C B 边 角 对角线 四个角都是90°. 对角线相等. 探究新知 知识点2 矩形的性质 命题1:矩形的四个角都是直角. A D C B 已知：四边形ABCD是矩形，求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 证明∵四边形ABCD是矩形 ∴AB∥ CD,AD∥ BC，∠A=90° ∴∠A+∠C=180°,∠A+∠B=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 探究新知 知识点2 矩形的性质 矩形性质1：矩形的四个角都是直角. A D B C ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 典例解析 题型1 四个角为直角 例1 如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=6，E为BC上一点，ED平分∠AEC，则DE的长为　 　； 2 针对训练 2.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°， AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE：∠BAE＝3：1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5° ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 针对训练 3.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是AD边上一点，BP平分∠DBA，则△DBP的面积是　 　． 针对训练 4.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为 F. (1) 求证：DF=AB；(2) 若∠FDC=30∘，且AB=4，求AD的长。 (1) 证明:​∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC.∴∠DAE=∠AEB. ∵DF⊥AE,∴∠AFD=90∘=∠B. 又∵AE=DA,∴△ABE≅△DFA (AAS).∴DF=AB.​ (2) ​∵∠FDC=30∘, ∠ADC=90∘,∴∠ADF=60∘. ∵△ABE≅△DFA,∴∠BAE=∠ADF=60∘. ∴∠AEB=30∘.∴AD=AE=2AB=8.​ 探究新知 知识点2 矩形的性质 命题2:矩形的对角线相等。 已知：四边形ABCD是矩形，求证：AC=BD. A O D C B 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90° ∵BC=CB ∴△ABC≌△DCB（SAS） ∴AC=BD 探究新知 知识点2 矩形的性质 矩形性质2：矩形的对角线相等. ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD A O D C B ∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OB=OC=OD 典例解析 题型2 对角线相等 例2 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°, AB=4 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. 矩形的对角线相等且互相平分 针对训练 5.已知:如图,过矩形ABCD的顶点作CE//BD，交AB的延长线于E. 求证：∠CAE=∠CEA. A B C D E 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB∥CD, BD=AC ∵CE∥BD ∴四边形BECD为平行四边形 ∴CE=BD ∴AC=CE ∴∠CAE=∠CEA 针对训练 6.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE．若∠ADB=40°，则∠E的度数是（　　） C A.45°　　 B.30°　　 C.20°　　 D.15° 典例解析 题型3 折叠矩形 例3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5，即DE＝5. ∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 针对训练 7.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的点F处，则CE的长是（　　） D A.1　　 B．　　 C．　　 D． 探究新知 知识点2 矩形的性质 思考：将矩形纸片折一折, 思考：矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2条 针对训练 8.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________. 　　　　　　　　　　　　　 归纳总结 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形是特殊的平行四边形. 1.矩形的定义： 2.矩形的性质： （2）矩形的四个角都是直角. （3）矩形的对角线相等. （1）具备平行四边形的所有性质. A O D C B 作业布置 课堂作业:P78习题21.3的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD． ∴OA=OB=OC=OD．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°． ∵∠CAE=15°，∴∠BAO=∠BAE＋∠CAE=60°． 由矩形的性质，知∠OCD=∠BAO=60°． 又∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形． 拓展提升 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，∠CAE=15°． （1）求证：△ODC是等边三角形；（2）求∠AOE的度数． （2）解：∵∠ABE=90°，∠BAE=45°， ∴∠AEB=∠BAE=45°．∴AB=BE．由（1）可得，△AOB是等边三角形， ∴AB=OB，∠ABO=∠AOB=60°．∴BE=BO，∠OBE=90°－∠ABO=30°． ∴∠BOE=∠BEO=75°．∴∠AOE=∠AOB＋∠BOE=135°． 拓展提升 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF．若AD=3，求AF的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=3，OA=OB=OC=OD． ∵DF垂直平分OC，∴OD=DC，∴OD=OC=DC， ∴△OCD是等边三角形．设CD=x，则AC=2x， 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＋CD2=AC2，即32＋x2=（2x）2， 解得x=（负值已舍去）．∴CD=，AC=2．∴AB=． ∵△OCD是等边三角形，DF⊥OC，∴∠CDE=∠CDO=30°，∴DF=2CF． 由勾股定理可求得CF=1.∴BF=2.在Rt△ABF中，由勾股定理，得 AF===． $