21.3.1 第1课时 矩形的定义与性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版8年级下册培优精做课件 21.3.1 第1课时 矩形的定义与性质 第二十一章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月27日 2026年2月27日星期五7时8分56秒 2026年2月27日星期五7时8分57秒 1. 掌握矩形的概念和性质及 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 这个性质，应用矩形的性质进行有关证明与计算. (重点) 2. 探索并能证明矩形的性质定理，理解平行四边形与矩形的区别与联系.(难点) 3. 通过观察、猜想、验证等过程，经历知识的形成过程，进一步培养逻辑思维能力和推理论证的表达能力. 学习目标 根据四边形的不稳定性，观察在平行四边形的变化过程中，当有一个角是直角时，会产生什么特殊的平行四边形？ 探究点1: 矩形的性质 矩形 同学们，能给这个图形下个定义吗？ 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形， 也就是长方形. 矩形也是常见的图形，能否举出生活中矩形形象的例子？ 探究点1: 矩形的性质 两组对边分别平行 有个角是直角 四边形 平行四边形 矩形 【归纳总结】 韦恩图： 探究点1: 矩形的性质 思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 提示：能否类比平行四边形，从边，角，对角线的角度研究矩形的特殊性质. A B C D O A B C D O 角特殊化 探究点1: 矩形的性质 活动： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. (1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形 (如书本，课桌，铅笔盒等) 的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. 探究点1: 矩形的性质 A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 (实物) (形象图) (2) 根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 探究点1: 矩形的性质 【证一证】 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. A B C D 探究点1: 矩形的性质 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°， 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB， ∴ △ABC≌△DCB. ∴ AC = DB. A B C D O (2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 探究点1: 矩形的性质 角： 对角线： 矩形的性质 对边平行相等；对角相等；对角线相互平分. 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 几何语言描述： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ABC =∠BCD =∠DCA = ∠DAB = 90°， AC = BD. A B C D O 探究点1: 矩形的性质 思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.  矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： 图形，对称轴： 条. 轴对称 2 探究点1: 矩形的性质 例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求矩形 ABCD 的对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC 与 BD 相等且互相平分. ∴OA = OB. 又∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴OA = AB = 4. ∴AC = BD = 2OA = 8. A B C D O 矩形的对角线 相等且互相平分 探究点1: 矩形的性质 证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE =∠CED. ∴∠CED =∠AED. 又∵ DF⊥AE， ∴ DF = DC. 1. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD， DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC. A B C D E F 【练一练】 探究点1: 矩形的性质 探究点2: 直角三角形斜边上的中线的性质 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线 AC 剪去一半. B C O A 问题 Rt△ABC 中，BO 是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边 AC 有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. 证明：延长 BO 至 D，使 OD = BO， 连接 AD，CD. ∵ AO = OC，BO = OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. 【证一证】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线. 求证：BO = AC. O C B A D ∴ BO = BD = AC. 探究点2: 直角三角形斜边上的中线的性质 例2 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1) 若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； 解：∵ AD 是△ABC 的高， E、F 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4， ∴四边形 AEDF 的周长为 AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18 . 探究点2: 直角三角形斜边上的中线的性质 (2) 求证：EF 垂直平分 AD. 证明：∵ DE＝AE，DF＝AF， ∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD. 归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 探究点2: 直角三角形斜边上的中线的性质 例3 如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE. 解：连接 EG，DG. 由题意知 ∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴ EG＝ BC，DG＝ BC. ∴ EG＝DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE. 归纳：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化到等腰三角形中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题. 探究点2: 直角三角形斜边上的中线的性质 【练一练】 2. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线. (1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm； (2)若∠C = 30°，AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD = _____cm. A B C D 6 10 5 探究点2: 直角三角形斜边上的中线的性质 矩形 概念 概念 性质应用 矩形的对角线____________ 直角三角形斜边上的中线 矩形的四个角____________ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 注：矩形是特殊的平行四边形，应具有平行四边形的所有的性质. 都是直角 相等 等于斜边的一半 __________________ 课堂小结 1. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的 是(　A　) A 中考考法 2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于 点O，则下列结论一定正确的是(　B　) A. ∠CAD＝∠CAB B. OA＝OD C. OA＝AB D. AC所在直线为矩形ABCD的对称轴 B 中考考法 3. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，且 ∠ACD＝60°，AB＝2，则矩形ABCD的面积等 于 . 第3题图 4. 在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若AB＝6， 则CD＝ . 4 　 3　 中考考法 5. [高频易错]如图，在矩形ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E. 若∠OCD＝56°，则∠EAB＝ °. 第5题图 34　 中考考法 6. [教材变式]如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若点E是AO的中点，点F是OD的中点. 求证：BE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝ AC， OB＝OD＝ BD. ∴OA＝OC＝OB＝OD. 又∵点E是AO的中点，点F是OD的中点， ∴OE＝OF. ∵∠BOE＝∠COF， ∴△OBE≌△OCF(SAS). ∴BE＝CF. 中考考法 $