2026年中考数学第二轮专题复习之填空题 ——14：《特殊的平行线》 讲义

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 14.特殊的平行线 本课题是中考数学填空题几何模块的核心必考、高频拉分考点，全国各省市中考卷固定考查 1-2 题，分值稳定在 3-6 分，是二轮复习中衔接平行四边形基础与几何综合压轴的关键枢纽。 一、题型特点 命题梯度精准分层，适配二轮复习进阶需求题目严格形成三级梯度，完全匹配中考填空题命题逻辑：①基础保分层，聚焦矩形、菱形、正方形的基础性质、面积计算、角度求解，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合折叠变换、尺规作图、勾股定理、三角形全等 / 相似、锐角三角函数、三角形中位线，是二轮复习的核心突破重点，也是学生失分的重灾区；③压轴拉分层，绑定动点最值、函数最值、规律探究、多结论综合判断，是中考填空题的核心拉分点，侧重考查学生的几何综合推理与数学运算素养。 考点融合性极强，核心载体高度聚焦100% 的题目围绕矩形、菱形、正方形的边、角、对角线三大核心性质命题，超 90% 的题目实现跨模块融合，摒弃纯概念考查，高频绑定 6 大核心考点：折叠全等变换（占比最高，超 40%）、勾股定理与方程思想、正方形半角模型、菱形对角线的垂直平分性质、矩形的直角与斜边中线定理、平面直角坐标系与一次函数，完全贴合中考 “重综合、强关联” 的命题趋势。 模型化命题特征显著，可实现填空题快速破题超 85% 的题目围绕中考 5 大必考几何模型命题，形成固定解题路径与结论：①矩形折叠勾股方程模型；②正方形 45° 半角模型；③菱形对角线等腰三角形模型；④一线三垂直全等 / 相似模型；⑤中点四边形模型。二轮复习可通过模型识别，实现 “见题识型、结论秒解”，大幅缩短填空题解题时间。 填空题专属命题特征：重细节、强分类、无提示与选择题不同，本课时填空题无选项提示，命题人高频设置无图多解题、动点范围限定题、多结论判断题，侧重考查学生思维的严谨性，区分度集中在细节把控与分类讨论能力，极易出现 “会做但拿不到分” 的隐性失分，完全符合中考填空题 “重基础、考细节、辨思维” 的命题特点。 规律探究与最值题成固定压轴题型填空题压轴题固定以两大形式呈现：一是特殊平行四边形与一次函数结合的循环规律探究题，侧重考查周期规律与等比数列通项；二是动点背景下的线段 / 面积最值题，侧重考查二次函数最值、将军饮马、圆的轨迹最值，是二轮复习中尖子生的核心突破点。 二、答题要点 （一）核心通用答题要点 筑牢三大图形的性质根基，锁定破题核心 矩形核心：牢记 “四个内角为直角、对角线相等且互相平分”，延伸结论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，矩形对角线分割出 4 个等腰三角形； 菱形核心：紧扣 “四条边相等、对角线互相垂直且平分每一组内角”，延伸结论：菱形面积 = 对角线乘积的一半，对角线分割出 4 个全等的直角三角形； 正方形核心：兼具矩形与菱形的双重性质，四个角为直角、四边相等、对角线相等且垂直平分，对角线与边的夹角固定为 45°，是全等三角形构造的核心载体。 强化方程思想，填空题核心解题工具遇折叠、动点求线段长的题目，优先设未知数，利用勾股定理、相似三角形对应边成比例列方程求解，这是本课时填空题最核心、最常用的解题方法，90% 的折叠题、线段计算题均可通过此方法破题。 审题必圈画关键信息，规避填空题无提示失分填空题审题必须圈画核心限定词：动点运动范围（不与端点重合 / 在射线 / 直线上）、无图题、“正确 / 错误的结论有”、单位、角度 / 边长的限定条件，避免漏看条件导致破题方向错误，杜绝会做但拿不到分的低级失误。 （二）分题型精准答题要点 基础性质题：直接套用核心性质，秒解保分角度计算题：矩形遇对角线直接用等腰三角形等角转换，菱形遇对角线直接用垂直平分内角的性质，正方形直接用 45° 固定角转换；面积计算题：菱形优先用 “对角线乘积的一半”，矩形 / 正方形用底乘高，遇中点直接用三角形中线平分面积的结论。 折叠变换题：抓全等 + 勾股，两步破题第一步：锁定折叠前后的对应边相等、对应角相等，找到全等三角形，标注相等的线段与角度；第二步：在直角三角形中，设未知数表示三边，利用勾股定理列方程求解，尤其注意矩形折叠后，点落在边上 / 对角线 / 延长线上的不同情况，精准定位直角三角形。 正方形半角模型题：直接套用固定结论，简化推导遇正方形内∠MAN=45°，直接套用核心结论：①MN=BM+DN；②△CMN 的周长 = 2 倍正方形边长；③AE=AB（AE⊥MN），无需重复推导全等，快速判断结论与计算线段长。 动点最值题：先定轨迹，再求最值线段最值题：先判断动点轨迹，若为定角对定边，轨迹为圆弧；若为直线运动，用将军饮马、垂线段最短求解；面积最值题：设动点对应的线段长为 x，将面积表示为 x 的二次函数，通过二次函数顶点式求最值，注意自变量的取值范围。 规律探究题：先找周期，再算通项先计算前 3-4 次变换后的坐标 / 边长，找到循环周期，再用总次数除以周期，通过余数定位对应位置，结合等比 / 等差数列通项公式求解，尤其注意正方形 / 矩形在坐标系中滚动的方向与坐标变换规律。 多结论判断题：先易后难 + 排除法，高效破题先验证最容易证明的结论，锁定错误结论直接排除，无需逐一证明全部结论，尤其注意结论中的 “一定 / 都 / 恒成立” 等绝对化表述，通过举反例快速判断。 （三）填空题专属秒杀技巧 特值法：遇动点题、定值题，取端点、中点等特殊位置代入验证，快速求出定值，无需严谨推导； 模型秒解法：识别核心模型后，直接套用固定结论，跳过推导过程，实现 10 秒破题； 数形结合法：无图题先画精准图形，通过几何直观快速定位多解情况，避免漏解。 三、避坑指南 （一）概念性避坑：杜绝基础题零分 严防特殊平行四边形的判定前提遗漏高频易错点：①忽略 “平行四边形” 的大前提，直接用 “对角线相等的四边形是矩形”“对角线垂直的四边形是菱形” 判定，正确结论必须以平行四边形为前提；②混淆矩形与菱形的判定，错用 “对角线垂直的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是菱形”；③误将正方形的判定条件放宽，忽略 “既是矩形又是菱形” 的双重要求。 严防核心性质混淆误用高频易错点：①菱形面积公式误用，错用 “邻边相乘” 代替 “对角线乘积的一半”；②矩形对角线性质误用，错认为矩形对角线互相垂直；③正方形对角线与边的夹角记错，误写为 30°/60°，正确为 45°；④混淆三角形中位线与中线，在中点题中错用性质。 严防模型结论死记硬背、错用乱用高频易错点：正方形半角模型结论误用；折叠模型中，错认为折叠后对应点一定落在边上，忽略落在延长线、对角线上的情况。 （二）审题性避坑：杜绝非知识性失分 严防无图题漏解，分类讨论不全面高频易错点：题干无图的题目，如 “点 E 在直线 AD 上”“点 F 在射线 DP 上”，学生极易只考虑线段上的情况，忽略直线 / 射线上的多解情况，导致答案漏写。 严防设问看错、限定词漏看高频易错点：①多结论题中，题干要求选 “正确的结论”，学生误选错误的；②动点题中，忽略 “不与端点重合” 的限定，导致最值取值范围错误；③单位不统一，题干为 cm，答案写 m。 （三）计算性避坑：杜绝会做做不对 严防勾股定理计算错误高频易错点：勾股定理中平方、开方计算失误；折叠题中设未知数后，方程列对但解错，是本课时最常见的计算失分点。 严防锐角三角函数值记错、比例式列错高频易错点：sin、cos、tan 的定义混淆，对边与邻边搞反；相似三角形对应顶点错位，导致比例式列错，最终线段长计算错误。 严防二次函数最值计算错误面积最值题中，二次函数顶点式配方错误，顶点坐标算错，忽略自变量的取值范围，导致最值求解错误，如第 30 题△DEF 的面积最大值，配方错误会直接导致结论判断失误。 （四）逻辑推理避坑：杜绝中档题、压轴题失分 严防全等 / 相似三角形的判定条件不足高频易错点：证明三角形全等时，错用 SSA 判定；证明相似时，仅找到一组角相等，无第二组条件就判定相似，导致推导逻辑断裂，结论错误。 严防多结论题中，“不能证伪就认为是对的”高频易错点：多结论题中，对无法快速证明的结论，直接默认为正确，不通过举反例证伪。 严防动点轨迹判断错误最值题中，错判动点的运动轨迹，把圆弧轨迹当成直线轨迹，或反之，导致最值求解完全错误。 四、真题练习 1.（25-26·河北模拟）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是____________． 2.（24-25·甘肃模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是        ．   3.（24-25·湖北模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是        ．   4.（24-25·四川模拟）在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是___________． 5.（25-26·天津模拟）如图，在矩形中，，，点在边上，且． 线段的长为________________； 为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为_________________． 6.（25-26·辽宁模拟）如图，在矩形中，，点、分别是边上的动点，连接，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是___________． 7.（24-25·浙江中考）如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为______________． 8.（24-25·山东中考）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是____________． 9.（24-25·四川中考）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点处．若、、三点共线，则的值为____________． 10.（24-25·江苏模拟）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：      ，使四边形成为菱形．   11.（24-25·黑龙江中考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，请添加一个条件_____________，使平行四边形为菱形． 12.（25-26·江苏模拟）如图，四边形是的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数是____________． 13.（24-25·湖北模拟）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是         ．   14.（25-26·辽宁模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为__________． 15.（25-26·全国模拟）如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为____________． 16.（25-26·河南模拟）如图，在菱形中，，对角线．点从点出发，沿方向以的速度向点运动，同时，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点．在此过程中，点的运动路径长为____________． 17.（25-26·浙江模拟）如图，是的直径，点在上，连接．以为边作菱形，交于点，，垂足为．连接，交于点，连接．若，，则的长度为______________，的长度为____________．  18.（24-25·云南中考）如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是__________． 19.（25-26·福建模拟）如图，菱形的对角线相交于点，过点且与边分别相交于点，．若，则与的面积之和为___________． 20.（25-26·山东模拟）如图，点是正方形内的一点，将绕点按顺时针方向旋转得到．若，则____________度． 21.（24-25·四川模拟）（3分）如图，在中，，，．点在边上，过点作，垂足为，过点作，垂足为．连接，取的中点．在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为_______________． 22.（24-25·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是____________． 23.（24-25·江苏中考）如图，对折边长为的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为__________（结果保留）． 24.（24-25·广东模拟）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由个等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为  ． 25.（23-24·四川中考）如图，正方形的边长为分别是边上的动点．若则的最小值为          ． 26.（23-24·江西中考）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则__________． 27.（25-26·山东模拟）如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点是上一点．连接．若，则的值为_________． 28.（24-25·吉林中考）如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有____________． 29.（24-25·全国中考）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则__________． 30.（24-25·四川中考）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点、重合），，点在射线上，且，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是；④若，则点是线段的中点．其中正确结论的序号是______________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 14.特殊的平行线 本课题是中考数学填空题几何模块的核心必考、高频拉分考点，全国各省市中考卷固定考查 1-2 题，分值稳定在 3-6 分，是二轮复习中衔接平行四边形基础与几何综合压轴的关键枢纽。 一、题型特点 命题梯度精准分层，适配二轮复习进阶需求题目严格形成三级梯度，完全匹配中考填空题命题逻辑：①基础保分层，聚焦矩形、菱形、正方形的基础性质、面积计算、角度求解，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合折叠变换、尺规作图、勾股定理、三角形全等 / 相似、锐角三角函数、三角形中位线，是二轮复习的核心突破重点，也是学生失分的重灾区；③压轴拉分层，绑定动点最值、函数最值、规律探究、多结论综合判断，是中考填空题的核心拉分点，侧重考查学生的几何综合推理与数学运算素养。 考点融合性极强，核心载体高度聚焦100% 的题目围绕矩形、菱形、正方形的边、角、对角线三大核心性质命题，超 90% 的题目实现跨模块融合，摒弃纯概念考查，高频绑定 6 大核心考点：折叠全等变换（占比最高，超 40%）、勾股定理与方程思想、正方形半角模型、菱形对角线的垂直平分性质、矩形的直角与斜边中线定理、平面直角坐标系与一次函数，完全贴合中考 “重综合、强关联” 的命题趋势。 模型化命题特征显著，可实现填空题快速破题超 85% 的题目围绕中考 5 大必考几何模型命题，形成固定解题路径与结论：①矩形折叠勾股方程模型；②正方形 45° 半角模型；③菱形对角线等腰三角形模型；④一线三垂直全等 / 相似模型；⑤中点四边形模型。二轮复习可通过模型识别，实现 “见题识型、结论秒解”，大幅缩短填空题解题时间。 填空题专属命题特征：重细节、强分类、无提示与选择题不同，本课时填空题无选项提示，命题人高频设置无图多解题、动点范围限定题、多结论判断题，侧重考查学生思维的严谨性，区分度集中在细节把控与分类讨论能力，极易出现 “会做但拿不到分” 的隐性失分，完全符合中考填空题 “重基础、考细节、辨思维” 的命题特点。 规律探究与最值题成固定压轴题型填空题压轴题固定以两大形式呈现：一是特殊平行四边形与一次函数结合的循环规律探究题，侧重考查周期规律与等比数列通项；二是动点背景下的线段 / 面积最值题，侧重考查二次函数最值、将军饮马、圆的轨迹最值，是二轮复习中尖子生的核心突破点。 二、答题要点 （一）核心通用答题要点 筑牢三大图形的性质根基，锁定破题核心 矩形核心：牢记 “四个内角为直角、对角线相等且互相平分”，延伸结论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，矩形对角线分割出 4 个等腰三角形； 菱形核心：紧扣 “四条边相等、对角线互相垂直且平分每一组内角”，延伸结论：菱形面积 = 对角线乘积的一半，对角线分割出 4 个全等的直角三角形； 正方形核心：兼具矩形与菱形的双重性质，四个角为直角、四边相等、对角线相等且垂直平分，对角线与边的夹角固定为 45°，是全等三角形构造的核心载体。 强化方程思想，填空题核心解题工具遇折叠、动点求线段长的题目，优先设未知数，利用勾股定理、相似三角形对应边成比例列方程求解，这是本课时填空题最核心、最常用的解题方法，90% 的折叠题、线段计算题均可通过此方法破题。 审题必圈画关键信息，规避填空题无提示失分填空题审题必须圈画核心限定词：动点运动范围（不与端点重合 / 在射线 / 直线上）、无图题、“正确 / 错误的结论有”、单位、角度 / 边长的限定条件，避免漏看条件导致破题方向错误，杜绝会做但拿不到分的低级失误。 （二）分题型精准答题要点 基础性质题：直接套用核心性质，秒解保分角度计算题：矩形遇对角线直接用等腰三角形等角转换，菱形遇对角线直接用垂直平分内角的性质，正方形直接用 45° 固定角转换；面积计算题：菱形优先用 “对角线乘积的一半”，矩形 / 正方形用底乘高，遇中点直接用三角形中线平分面积的结论。 折叠变换题：抓全等 + 勾股，两步破题第一步：锁定折叠前后的对应边相等、对应角相等，找到全等三角形，标注相等的线段与角度；第二步：在直角三角形中，设未知数表示三边，利用勾股定理列方程求解，尤其注意矩形折叠后，点落在边上 / 对角线 / 延长线上的不同情况，精准定位直角三角形。 正方形半角模型题：直接套用固定结论，简化推导遇正方形内∠MAN=45°，直接套用核心结论：①MN=BM+DN；②△CMN 的周长 = 2 倍正方形边长；③AE=AB（AE⊥MN），无需重复推导全等，快速判断结论与计算线段长。 动点最值题：先定轨迹，再求最值线段最值题：先判断动点轨迹，若为定角对定边，轨迹为圆弧；若为直线运动，用将军饮马、垂线段最短求解；面积最值题：设动点对应的线段长为 x，将面积表示为 x 的二次函数，通过二次函数顶点式求最值，注意自变量的取值范围。 规律探究题：先找周期，再算通项先计算前 3-4 次变换后的坐标 / 边长，找到循环周期，再用总次数除以周期，通过余数定位对应位置，结合等比 / 等差数列通项公式求解，尤其注意正方形 / 矩形在坐标系中滚动的方向与坐标变换规律。 多结论判断题：先易后难 + 排除法，高效破题先验证最容易证明的结论，锁定错误结论直接排除，无需逐一证明全部结论，尤其注意结论中的 “一定 / 都 / 恒成立” 等绝对化表述，通过举反例快速判断。 （三）填空题专属秒杀技巧 特值法：遇动点题、定值题，取端点、中点等特殊位置代入验证，快速求出定值，无需严谨推导； 模型秒解法：识别核心模型后，直接套用固定结论，跳过推导过程，实现 10 秒破题； 数形结合法：无图题先画精准图形，通过几何直观快速定位多解情况，避免漏解。 三、避坑指南 （一）概念性避坑：杜绝基础题零分 严防特殊平行四边形的判定前提遗漏高频易错点：①忽略 “平行四边形” 的大前提，直接用 “对角线相等的四边形是矩形”“对角线垂直的四边形是菱形” 判定，正确结论必须以平行四边形为前提；②混淆矩形与菱形的判定，错用 “对角线垂直的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是菱形”；③误将正方形的判定条件放宽，忽略 “既是矩形又是菱形” 的双重要求。 严防核心性质混淆误用高频易错点：①菱形面积公式误用，错用 “邻边相乘” 代替 “对角线乘积的一半”；②矩形对角线性质误用，错认为矩形对角线互相垂直；③正方形对角线与边的夹角记错，误写为 30°/60°，正确为 45°；④混淆三角形中位线与中线，在中点题中错用性质。 严防模型结论死记硬背、错用乱用高频易错点：正方形半角模型结论误用；折叠模型中，错认为折叠后对应点一定落在边上，忽略落在延长线、对角线上的情况。 （二）审题性避坑：杜绝非知识性失分 严防无图题漏解，分类讨论不全面高频易错点：题干无图的题目，如 “点 E 在直线 AD 上”“点 F 在射线 DP 上”，学生极易只考虑线段上的情况，忽略直线 / 射线上的多解情况，导致答案漏写。 严防设问看错、限定词漏看高频易错点：①多结论题中，题干要求选 “正确的结论”，学生误选错误的；②动点题中，忽略 “不与端点重合” 的限定，导致最值取值范围错误；③单位不统一，题干为 cm，答案写 m。 （三）计算性避坑：杜绝会做做不对 严防勾股定理计算错误高频易错点：勾股定理中平方、开方计算失误；折叠题中设未知数后，方程列对但解错，是本课时最常见的计算失分点。 严防锐角三角函数值记错、比例式列错高频易错点：sin、cos、tan 的定义混淆，对边与邻边搞反；相似三角形对应顶点错位，导致比例式列错，最终线段长计算错误。 严防二次函数最值计算错误面积最值题中，二次函数顶点式配方错误，顶点坐标算错，忽略自变量的取值范围，导致最值求解错误，如第 30 题△DEF 的面积最大值，配方错误会直接导致结论判断失误。 （四）逻辑推理避坑：杜绝中档题、压轴题失分 严防全等 / 相似三角形的判定条件不足高频易错点：证明三角形全等时，错用 SSA 判定；证明相似时，仅找到一组角相等，无第二组条件就判定相似，导致推导逻辑断裂，结论错误。 严防多结论题中，“不能证伪就认为是对的”高频易错点：多结论题中，对无法快速证明的结论，直接默认为正确，不通过举反例证伪。 严防动点轨迹判断错误最值题中，错判动点的运动轨迹，把圆弧轨迹当成直线轨迹，或反之，导致最值求解完全错误。 四、真题练习 1.（25-26·河北模拟）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是_____2_______． 【答案】 【解析】 本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个三角形的面积是解题的关键． 作辅助线如图，设，，根据相关图形的性表示出三角形的面积即可得到答案． 【解答】 解：如图，找，中点为，，连接，，连接，， 过作交的延长线于点，延长，与交于点． 设，， 是以为底的等腰三角形， 在上， 到的距离即为， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 2.（24-25·甘肃模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是   (10,3)     ．   【答案】 【解析】 根据折叠的性质得出，在中，利用勾股定理求得，进而得出，在中，利用勾股定理建立方程，求得的长，即可求解． 【解答】 四边形是矩形，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，，.在中，，，设，则，在中，，，解得，，的坐标为故答案为． 3.（24-25·湖北模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是        ．   【答案】 【解析】 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【解答】 解：四边形是矩形，， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， 故答案为：． 4.（24-25·四川模拟）在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是____或或________． 【答案】 或或 【解析】 本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为，进而分别求得垂线段的长度，即可求解． 【解答】 解：四边形是矩形，，， ，， ，， 如图所示，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为 当在线段上时， 在中， 在中，； 当在射线上时， 在中， ， 在中， 综上所述，点到对角线所在直线的距离为：或或 故答案为：或或． 5.（25-26·天津模拟）如图，在矩形中，，，点在边上，且． 线段的长为__________________； 为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为__________________． 【答案】 , 【解析】 本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与勾股定理是解题的关键． 求出，再利用勾股定理即可求出答案； 过点作于，由矩形的性质得到，，证明，得到，，则可证明，可得，则；由勾股定理得，则，解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【解答】 解：，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：； 如图所示，过点作于， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ； 在中，由勾股定理得， 为的中点， ， ， ， 故答案为：．  6.（25-26·辽宁模拟）如图，在矩形中，，点、分别是边上的动点，连接，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是_____5_______． 【答案】 【解析】 本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【解答】 解：连接， 矩形中，， ， ， ， 点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， 当点重合时，取得最大值为， 故答案为：5  7.（24-25·浙江中考）如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为______________． 【答案】 【解析】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质； 根据题意证出，得到，设，则，表示出，，连接，在中，求出，在和中，表示出，，列式计算出，再利用勾股定理计算直径即可． 【解答】 解：为矩形， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 连接， 为直径， ， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 的直径为：， 故答案为：． 8.（24-25·山东中考）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是_____48_______． 【答案】 【解析】 本题考查矩形的性质，三角形的面积， 根据第二个矩形左上角的长方形的面积求解即可． 【解答】 解：如图， 由题意和图可得：， ， 故答案为：48 9.（24-25·四川中考）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点处．若、、三点共线，则的值为______________． 【答案】 【解析】 此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到，再根据等角对等边推出，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【解答】 解：四边形是矩形， ， ， ，， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 故答案为．  10.（24-25·江苏模拟）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：  （荅案不唯一）    ，使四边形成为菱形． 【答案】 （荅案不唯一） 【解析】 根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形． 【解答】 解：添加条件， 四边形是平行四边形， ， 四边形成为菱形． 添加条件 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形成为菱形． 添加条件 ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形成为菱形． 添加条件 在与中， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形成为菱形． 故答案为：（或或等）．  11.（24-25·黑龙江中考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，请添加一个条件_____(或，答案不唯一）________，使平行四边形为菱形． 【答案】 (或，答案不唯一） 【解析】 本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 【解答】 解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 12.（25-26·江苏模拟）如图，四边形是的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数是____60°________． 【答案】 【解析】 根据菱形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【解答】 解：四边形为菱形， ， 由圆周角定理得：， 四边形为的内接四边形， ， ，解得：， 故答案为：． 13.（24-25·湖北模拟）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是     或    ．   【答案】 或 【解析】 根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论,当点在点上方时，当点在点下方时，即可进行解答． 【解答】 四边形为菱形，，, 连接， ①当点在点上方时，如图， ，， ； ②当点在点下方时，如图， ，， 故答案为或．     14.（25-26·辽宁模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为_________________． 【答案】 【解析】 本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【解答】 解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点，连接， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15.（25-26·全国模拟）如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______________． 【答案】 【解析】 本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【解答】 解：连接，交于点，过点作于点， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 是的中点， ， ，， ， ， 故答案为：． 16.（25-26·河南模拟）如图，在菱形中，，对角线．点从点出发，沿方向以的速度向点运动，同时，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点．在此过程中，点的运动路径长为_______________． 【答案】 【解析】 如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【解答】 解：如图，在菱形中，，对角线，连接交于． ，，，， 设运动时间为，则，， ，即， ， ， ， ， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ，，， ， 在上，且在弧上， 在此过程中，点的运动路径长为； 故答案为：  17.（25-26·浙江模拟）如图，是的直径，点在上，连接．以为边作菱形，交于点，，垂足为．连接，交于点，连接．若，，则的长度为________________，的长度为________________． 【答案】 , 【解析】 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键． 由垂径定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性质可得，进而得到、、；如图：连接， 由圆周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性质以及平行线的性质可得，如图：过作于，解直角三角形可得、，易得，最后根据垂直平分线的性质求解即可． 【解答】 解：，，， ，即， ， 菱形， ， ，； 如图：连接， 是的直径， ， ，即， 解得：； ，即， 解得：； 菱形， ， ， 如图：过作于， ， ， ， ，， ， ， 垂直平分， ． 故答案为：；．  18.（24-25·云南中考）如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是_____15_______． 【答案】 【解析】 本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键． 【解答】 解：四边形是菱形，，， 菱形的面积是， 故答案为：． 19.（25-26·福建模拟）如图，菱形的对角线相交于点，过点且与边分别相交于点，．若，则与的面积之和为______1_______． 【答案】 【解析】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【解答】 解：菱形，， ，，， ，． ， ， ， ， 故答案为：1 20.（25-26·山东模拟）如图，点是正方形内的一点，将绕点按顺时针方向旋转得到．若，则_______80_________度． 【答案】 【解析】 先求得和的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． 【解答】 解：四边形是正方形， ， ， ， 绕点按顺时针方向旋转得到 ，， ， ， 故答案为：80 21.（24-25·四川模拟）（3分）如图，在中，，，．点在边上，过点作，垂足为，过点作，垂足为．连接，取的中点．在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为________________． 【答案】 【解析】 本题考查含度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【解答】 解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ， ， ， ， ， ， 过点作，则：， ， ，，， 四边形为矩形， ， ， 为的中点， ， 令， 则：， 点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， 点所经过的路径长为； 故答案为：． 22.（24-25·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是______________． 【答案】 【解析】 本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】 解：正方形顶点的坐标为， , 是等边三角形，点坐标是， 等边三角形高为， 由题知， 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 继续滚动有，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，个为一组， ， 的坐标与的坐标一样为， 故答案为：． 23.（24-25·江苏中考）如图，对折边长为的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为____________（结果保留）． 【答案】 【解析】 本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 由对折可知，，过点作的垂线，进而可求出的度数，则可得出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【解答】 解：折叠，且四边形是正方形 四边形是矩形，， 则，． 过点作于， 则， ， 在中，， ， 则， 的长度为：， 故答案为： 24.（24-25·广东模拟）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由个等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为  2 ． 【答案】 【解析】 根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解． 【解答】 解：如图所示， 依题意，，， 图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 25.（23-24·四川中考）如图，正方形的边长为分别是边上的动点．若则的最小值为           ． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：正方形的边长为， 将顺时针旋转得到则 点共线， 设则 即 整理得 当且仅当即也即时取最小值．  26.（23-24·江西中考）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则____________． 【答案】 【解析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【解答】 解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ， ， ， ， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图可得，，， ，， ， ， 故答案为：． 27.（25-26·山东模拟）如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点是上一点．连接．若，则的值为____________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 【解答】 解：正方形的对角线相交于点， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ，即， 故答案为：． 28.（24-25·吉林中考）如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____①②④________． 【答案】 ①②④ 【解析】 根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【解答】 解：正方形， ，，，， ， ， ， ，故①符合题意； ，， ， ，故②符合题意； 当时，， ，， ，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ， 在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ， ， ， ， 点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 29.（24-25·全国中考）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则_____________． 【答案】 【解析】 根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【解答】 解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 30.（24-25·四川中考）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点、重合），，点在射线上，且，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是；④若，则点是线段的中点．其中正确结论的序号是____①③④__________． 【答案】 ①③④ 【解析】 过作，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，推出，进而得到，证明，推出为等腰直角三角形，进而得到，进而得到，判断①；延长至点，使，连接，证明，再证明，得到，判断②；设，则：，，将的面积转化为二次函数求最值，判断③；设，得到，在中，由勾股定理，求出的值，判断④即可． 【解答】 解：过作，交的延长线于点，则：， 正方形，边长为， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， ， ，即：， ， ，故①正确； 延长至点，使，连接， ，， ， ，， ， ， 又， ， ， ；故②错误； 设，则：，， 的面积， 当时，的面积最大为；故③正确； ， ， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ， 点是线段的中点；故④正确； 故答案为：①③④ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $