第4章 第18节 特殊三角形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

(3)二次函数的解折式为y=子+3x+12 5 (4)二次函数的解析武为y=4-5x (5)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15. (6)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 2.y=(x-2)2-9:y=(x+1)(x-5)3.D4.D5.C 第十四节二次函数的图象与性质 ①上②下③x-六④r=h⑤r赞 2 0云)(8 2 :⑨小①大 ①减小②增大B左侧④右侧5>6<⑦= ⑧-7>09异号2@c=02Dc<026-4c<05- ②4-1巧-2②6不相等的②⑦两个②四相等的②四上方 团下方 1D2.(1)下：x=1:2;(-1,0)和(3,0)；(0,3)；大；大； 4:(1,4)(2)y=-(x-1)2+4:y=-(x+1)(x-3)(3)略. (4)0;1;2(5)增大：3(6)<：<【变式1】> 【变式2】yB<yc<y43.D4.②③④⑤⑧0 5.(1)x1=-1,x2=3(2)x1=-1,x2=3(3)x1=-1,x2=3 (4)-1<x<36.(1)上：x=2:(2,-1)(2)①8：0②35：3 ③3；-1④24：-1(3)-1或3(4)-1或2+√5 第十五节二次函数的实际应用 1(1)抛物线L,的函数表达式为y=石+4 (2)MN的长为12m. 2.(1)铅球离地面的最高高度为3m,此时的水平距离为 4m. (2)在铅球行进过程中，当它离地面的高度为；m时。 水平距离为8m 3.(1)W=-10x2+200x+15000. (2)当每盒降价10元时，公司每天的利润最大，最大利 润为16000元. (3)当每盒降价20元时，公司每天的利润最大，最大利 润为15000元. 4.(1)y与x之间的函数关系式为y=-2x+40x(0<x<20). (2)当AB边的长为10m时，菜园的面积最大，最大面积 为200m2. 【变式】这个矩形的长为12m、宽为9m时，菜园的面积最 大，最大面积是108m2. 5.(1)5:2000 (2)S=4x2-120x+900(0<x<15). (3)在解决生活中的问题时，可以尝试使用函数（答案不 唯一). 第三章易错题专练 1.-2【变式】12.-2【变式】-13.2【变式】-3 4.C5.y=2x2-4x-6或y=-2x2+4x+6 6.(1)y=-10x+800 (2)当售价定为48元/件时，商家销售该商品每天获得 的利润最大，最大利润为5760元. 第四章三角形 第十六节线段、角、相交线与平行线（含命题） ①两②线段③BC④AC⑤BC⑥AC⑦AB⑧2 ⑨90°090°<a<180°①14224B90°④相等 ⑤180°6相等⑦相等⑧相等9- 20PW@∠2 或∠4②2∠1或∠33180°②④∠35∠4②6相等 ⑦∠52四∠629∠7团∠8①∠832∠58∠5 ④L8图一0垂线段团垂线段的长度⑧相等 砂相等⑩1①=2=B一∥5相等G∠2 4⑦相等4⑧∠349互补⑤①180°+52- 1.(1)两点确定一条直线(2)两点之间，线段最短 2.(1)2或4(2)1.5；1或23.B【变式】钝；85°4.A 5.(1)60°(2)26.117.B【变式】40：20 8.(1)∠2：∠5(2)∠5；∠7(3)①②(4)①70°：110° ②55°③24°：66°9.D 第十七节三角形及其基本性质 ①等腰②等边③直角④90°⑤>⑥<⑦180 8∠B⑨大于国<①大角卫？h⑧== 590G内部⑦直角⑧内部9外部②0内部 行②行8】3相等雪中点雪F 2 1.B2.B3.6(答案不唯一)4.(1)高：6 (2)角平分线①65°②15③110°(3)中线①12 ②225.D6.167.6 第十八节特殊三角形 ①相等②相等③相互重合④1⑤相等⑥相等 060°⑧轴⑨3060°①4a2互余B90 ④-半50-半m}8a2+b=c'⑩90 2 2 ②0互余①a2+b2=c22相等3相等④45°51 1D2(1)65°(2)03②24 (3)等边三角形；3： 25W3 4 3.5-14.C5.C 00336,99(2 2 (3)3:607.358.A 9.35°【变式1】38°或26°【变式2】80°或20° 【变式3】80°或40°10.16cm或14cm11.90°或40 【特别提醒1(1)180°-a,180- -:180°-2a(2)2a+b:2b+a 2 2 第十九节全等三角形 ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等⑥相等 ⑦三边⑧夹角⑨夹边0对边 5第十八节 特殊三角形 一阶教材知识全梳理 知识点①等腰三角形的性质与判定（重点） 等腰三角形 等边三角形 名称 (1)三条边⑤ 如图，AB=AC=BC; (1)两腰① 两底角② (简记 (2)三个内角⑥ ,并且每个内角都等于 为“等边对等角”).如图，AB=AC,∠B= ⑦ 如图，∠BAC=∠B=∠C=60°： ∠C; 性质 (3)是⑧ 对称图形，有⑨ 条对 (2)顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 称轴. ③ (简记为“三线合一”)； 【特别提醒】等边三角形是特殊的等腰三角形，具有 (3)是轴对称图形，有④ 条对称轴 等腰三角形的所有性质 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）； (定义)： (2)三个角都相等的三角形是等边三角形： 判定 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形 (3)有一个角是0 的等腰三角形是等边三 (简记为“等角对等边”) 角形 S=2ah(其中a为底边长，h为底边上 1 $=2h=0 (其中a为三角形的边长，h 面积 的高) 为任意一边上的高) 知识点②直角三角形的性质与判定（重点） 直角三角形 等腰直角三角形 名称 C (1)两条直角边2 如图，AC=BC; (1)两个锐角② ,如图，∠A+∠B= 三边长的比为1：12，如图，AC:BC:AB=1: B (2)斜边上的中线等于斜边的④ ,如图， 12; 若CD是斜边上的中线，则CD=⑤ (2)两个锐角3 且都等于 AB: 性质 (3)30°角所对的直角边等于斜边的⑥ 4 如图，∠A=∠B=45°； 如图，若∠A=30°，则BC=⑦ (3)是轴对称图形，有5 条对称轴 AB; (4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分 【特别提醒】等腰直角三角形是特殊的直角 别为a,b,斜边长为c,那么⑧ 三角形，也是特殊的等腰三角形，具有两者的 所有性质 63 续表 (1)有一个角等于90°的等腰三角形是等腰 (1)有一个角等于⑨ 的三角形是直角三 直角三角形： 角形（定义）； (2)有两个角等于45°的三角形是等腰直角 (2)有两个角②四 的三角形是直角三 三角形： 判定 角形； (3)有一个角等于45°的直角三角形是等腰 (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分 直角三角形： 别为a,b,c(c>a,c>b),且满足① ,那么 (4)有两直角边相等的直角三角形是等腰直 这个三角形是直角三角形 角三角形 面积 2 ab= 2h(其中a,b为两直角边长，c为斜边 o'goe 2h(其中a为腰长，c为底 长，h为斜边上的高) 边长，h为底边上的高) 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1等腰三角形的性质与判定（必考， 3.(2025广西)如图，点A,D在BC同侧，AB= 多数为涉及) BC=CA=2,BD=CD=√2，则AD= 1.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD是 △ABC的角平分线.若在边AB上截取BE= BC,连接DE,则图中等腰三角形共有() A.2个B.3个 C.4个D.5个 考点2直角三角形的性质与判定(8年10考) 4.(2025陕西5题3分)如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线， DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有() B D 第1题图 第2题图 2.（人教八上P77T2改编)如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC=5,AD平分∠BAC A.2个B.3个C.4个D.5个 (1)若∠BAC=50°，则∠ABC的度数为 5.(2024陕西5题3分)如图，在△ABC中， (2)若△ABC的周长为16. ∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC的 ①BD的长为 中点，连接AE,则图中的直角三角形有() ②若BE是AC边上的高，则BE的长为 (3)若∠BAC=60°，则△ABC的形状为 此时△ABC有 条对称轴，面积 B D E 为 A.2个B.3个C.4个 D.5个 64 6.(北师八下P13T2改编)如图，在Rt△ABC中，10.如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和 ∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6,D为AB边上 6cm,那么这个等腰三角形的周长是 一点 11.如图，∠AOB=50°，点P是O0B上一个动点 (不与点0重合)，当∠A的度数为 时，△AOP为直角三角形. 图1 图2 B (1)∠A= °，BC= ,AC= △ABC的面积为 国特别提醒 (2)如图1，若CD⊥AB,则CD= 特殊三角形中常见的分类讨论： (3)如图2，若D为AB的中点，则CD= 1.等腰三角形中的分类讨论： ∠DCB= 0 (1)遇角需讨论（顶角和底角）：已知等 7.如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和 腰三角形的一个角为，求顶角或底角 △A'B'C拼在一起，其中点A'与点A重合，点C 的度数时： 若为钝角或直角，则一定为顶角， 落在边AB上，连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'= 此时底角的度数为 90°，AC=BC=3,则B'C的长为 ； 若α为锐角，则应分两种情况讨论： 情况一：当α为顶角时，底角的度数为 (40A 情况二：当α为底角时，顶角的度数为 B (2)遇边需讨论（腰和底）：已知等腰三 重难点特殊三角形中的分类讨论思想 角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周 8.三角形的两边长为6和8，要使这个三角形为 长C时，分两种情况： 直角三角形，则第三边长为 情况一：当a为腰长时 ( (若2a>b,则C= A.27或10 B.10 (若2a≤b,则不能构成三角形； C.27或9 D.9 情况二：当b为腰长时 9.如果等腰三角形的一个外角为70°，那么它的 (若2b>a,则C= 一个底角为 (若2b≤a,则不能构成三角形 变式1等腰三角形有一个角为52°，它的一条 2. 直角三角形中的分类讨论： 腰上的高与底边夹角度数为 (1)已知直角三角形的两边长，求第三 变式2等腰三角形的一个外角为100°，其顶 边长，当未明确直角边和斜边时，要分类 角度数为 讨论； (2)已知三角形为直角三角形，当未明 变式3如果等腰三角形的一个角比另一个角 确直角顶点时，需分类讨论 大30°，那么它顶角的度数为 温馨提示 请完成分层练习册P40~P41习题 65