第15讲 一般三角形及其性质&第16讲 特殊三角形(课本梳理精讲)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（大庆市专版）

第四章三角形 第15讲一般三角形及其性质 《考点梳理·夯基础》 答案75 考点①三角形及其边、角关系 2.高线：如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC 1.三角形的分类 所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做 (1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三 △ABC的边BC上的高 角形 性质：AD⊥⑧ ,即∠ADB=∠ADC=90° (2)按边分类： 三，三边都不相等的三角形 角{等腰「底边和腰不相等的等腰三角形 形[三角形等边三角形 拓展延伸> 2.三角形的边、角关系 垂心：三角形三条高所在直线的交，点 (1)三边关系：三角形任意两边之和 3.角平分线：如图，画∠BAC的平分线AD,交 第三边，任意两边之差2 第三边， ∠BAC所对的边BC于点D,所得线段AD叫做 拓展延伸> 若一个三角形的三边长分别为a,b,c,则a △ABC的角平分线. -b<c<a+b. 性质：∠1=⑨ ∠BAC. (2)角的关系：三角形内角和定理：三角形三个 内角的和等于3 推论：①三角形的外角④ 与它不相 邻的两个内角的和； 一拓展延伸> ②三角形的任意一个外角⑤ 任何 内心：三角形三条角平分线的交点，也是三 一个与它不相邻的内角， 角形内切圆的圆心，该点到三角形三边的距离 (3)边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等 相等. 角对等边，大边对大角，大角对大边 4.中位线：如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC 3.三角形具有稳定性 的中点，连接DE,所得线段DE叫做△ABC的中 考点②三角形中的重要线段 位线 1.中线：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边 三角形的中位线定理：三角形的中位线四 BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC 于三角形的第三边，并且等于四 上的中线。 性质：BD=6 BC. 即DE∥BC且DE=2BC 一拓展延伸>心 提分点拨 ①中线将三角形分成面积相等的两个小三角 若三角形三个顶，点到某条直线的距离都相 形，即SAARD=S△ACn= 等，则该直线是这个三角形的中位线所在的 直线 ②重心：三角形三条中线的交，点，该点到三角形 顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍. 见此业图标合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 29 R 数学·精讲本 答案P75 《实战演练·品方法》 例（宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的例2（哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高， 中点，E为BD上一点，F为CE的中点.若AE= ∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是 度 AD,DF=2,则BD的长为 A.2√2 B.3 C.23 D.4 B 温馨提示， 请完成《精练本1》P70-72。 例1题图 第16讲 特殊三角形 《考点梳理·夯基础》 答案P75 考点④等腰三角形的性质与判定 考点③直角三角形的性质与判定 30 图形 图形 D C a B C aB 1.两腰相等，两个回 相等，即AB=AC, 图① 图② ∠B=∠C(等边对等角). 1.直角三角形的两个锐角之和等于90°，即∠A+ 2.顶角的平分线、底边上的② 、底边上 ∠B=90. 性质 的高互相重合（三线合一） 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的④ 3.是轴对称图形，有1条对称轴（不含等边三角形）. 4.两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角 ,即cD=之AB(如图O). 的平分线相等 性质 3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的 判定 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形 一半，即BC=7AB(如图②). 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形 4.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别 面积 S=2BC·AD 为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2 贵点②等边三角形的性质与判定 1.有一个角为90°的三角形是直角三角形. 2.有两个角互余的三角形是直角三角形. 判定 3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b, 图形 c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三 角形 B D C 1.具有等腰三角形的所有性质， 面积 S=1 ab- 2h(如图②) 2.三边相等，即AB=AC=BC. 性质 3.三个角相等，且每个角都等于60°，即∠BAC= 拓展延伸>。 ∠B=∠C=60°. 射影定理：如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 4.是轴对称图形，有3条对称轴 90°，BD⊥AC,则： 1.三边都3 的三角形是等边三角形. (1)BD2=AD·CD; 判定 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. (2)AB2=AD·AC; 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 (3)BC2=CD·CA; 面积 S=1 (4)AB·BC=AC·BD. 30 见此图颜合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第四章三角形 2 者点④等腰直角三角形的性质与判定 拓展延伸 ①含30°角的直角三角形的三边之比为⑤ 图形 ②等腰直角三角形的三边之比为⑥ B ③顶角为120°的等腰三角形的三边之比为7 1.具有直角三角形的所有性质. 性质 2.两个锐角相等且都等于45°，即∠A=∠C=45° 3.两直角边相等，即AB=BC 面积为③ ×腰长2， 1.顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形. 判定 2.有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 3.两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形， 4.有一个角为45的直角三角形是等腰直角三角形 《重难研析·理要点》 答案P75 重雅京。特殊三角形的几何变换 中巩固训练链接至《精练本1》P129T5>2 典例（河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= >思维导 (1)结合等腰直角三角形的性质，可知AD 2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1,将CP绕点 =2·连接CD,则CD⊥AB,且CD= C在平面内旋转，点P的对应点为点Q,连接AQ,DQ.当 2； ∠ADQ=90°时，AQ的长为 (2)结合∠ADQ=90°及旋转的性质，可以 确定点Q在直线CD上，且CQ=1; (3)当点Q在点C的左侧时，DQ=CQ+ CD=3;当点Q在点C的右侧时，DQ =CD-CQ=1_; (4)利用勾股定理，求得AQ的长 跟踪训练 (德阳)如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，连接CD,将△ACD沿CD 折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB.若CB=1,则CE= 温馨提示 请完成《精练本1》P73-78 见此图师合抖暗微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。3L参考答案与解析 第12讲，二次函数的图象与性质 【实战演练·品方法】 【考点梳理·夯基础】 例1D例2 80或40 ②4ac-6 2a 4a 圆减小④增大⑤小64ac-6 第16讲 特殊三角形 Aa 【考点梳理·夯基础】 回大⑧4ac- - ⑨左四右回>四=☒< 四底角2中线③相等 4一半51：3：2 4a 61:1:w2 【重难研析·理要点】 ☑1：1：3 典例B 【重难研析·理要点】 跟踪训练 典例√/5或13 C[解析]，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴.a 跟踪训练 3 <0,c>0..·抛物线与x轴交于，点A（-3,0)和，点 微专题2角平分线的常考模型 B(1,0),抛物线对称轴为直线x=-3+1 =-1,故② 1.32.110°3.44.3 微专题3特殊三角形中的分类讨论 正确；∴一 =-1,∴.b=2a<0,∴.abc>0,故①错误；由 1.40°或100°2.15°或45°或75°3.B 2a 函数图象可知，当-3<x<0时，抛物线的函数图象在 4.3-√3或2[解析]由题意，可知，点F在AC边上，分以下 x轴上方，：当-3<x<0时，ax2+br+c>0,故③正确； 三种情况进行讨论.①当CB=CF时，如答图①，过点F 抛物线对称轴为直线x=-1且开口向下，∴当x>-1 作FM⊥AB于点M.:AB=BC=3,∠ABC=120°，∴.∠A 时，y随x的增大而减小，即当x>1时，y随x的增大而减 =∠C=30°.CF=CB,∴.∠CFB=∠CBF=75° 小，故④错误：，抛物线对称轴为直线x=-1且开口向 .∠EBF=120°-75°=45°.设AE=x,则EF=x.易得 下，当x=-1时，抛物线有最大值y=a-b+c,.am 1 +bm+c≤a-b+c,∴.am+bm≤a-b,故⑤正确.综上所 FM=30°，EM=7x,MF=BM=9x 2，x+2+ 述，正确的有②③⑤，故选C. 第13讲二次函数的实际应用 3 x=3,解得x=3-5,AE=3-3;②当FB=FC时， 【重难研析·理要点】 典例解：(1)由题意，得w=(x-30)y=(x-30)(-5x+ 如答图②，则∠C=∠FBC=30°，∴.∠ABF=90°，∴BF= 300)=-5x2+450x-9000. :每件T恤的利润不高于成本的80%， 3×5=月.易知∠BEF=60°，EP=AE=BF。=百 3 sin60° 3 ∴.销售单价不能超过30×(1+80%)=54（元）， 2 即w=-5x2+450x-9000(30≤x≤54). (2)由(1)，得w=-5x2+450x-9000=-5(x-45)2+ =2;③当BF=BC时，点F与点A重合，不合题意.综上 1125.. -5<0,30≤x≤54，∴.当x=45时，w有最大值， 所述，AE的长为3-√3或2， 最大值为1125， B ：:当售价定为45元时，每月可获得最大利润，最大利润 为1125元. A-- D 跟踪训练 4题答图① 4题答图② 解：(1)根据题意可知点(5,3.2)为抛物线y=a(x-h)2 5.4+22或2+22 +k的顶点， 6.(1)(3,0)或(1,0) ∴.抛物线的解析式为y=a(x-5)2+3.2. 又：抛物线经过点(0,0.7)， (2)(0,1-√2)或(0，-1)或(0,1+√2)或(0,3) 0.7=a(0-5)2+3.2,解得a=-0.1, 7.3-√5或3 ∴.抛物线的解析式为y=-0.1(x-5)2+3.2, 微专题4中点常考模型 (2)当y=1.6时，1.6=-0.1(x-5)2+3.2, 13 解得x1=1,x2=9. 1. 2 2.733.15 8 4.B5.63 5 63 7.213 著小号8金的水为2丹感6m 第17讲全等三角形 第四章三角形 考点梳理·夯基础】 第14讲线段、角、相交线与平行线 四完全重合2相等☒相等④相等⑤相等 考点梳理·夯基础】 6 SSS 7 SAS 8 ASA 9 AAS 10 HL 直线AB2直线BA3直线m4线段AB 【实战演练·品方法】 线段BA⑥线段m☑0⑧2⑨不能四能 例22或3.2 四单向2一3一4线段固ABAC7BC 例12或8 驱AC四<团<风)AC2两条 ☒射线 微专题5全等三角形的常考模型 1.证明：.·AB∥DE,.∠B=∠DEF 四一条射线因旋转2函60☑60☒342930 .'BE=CF,∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 3011231632123390° 3☑相等180°6相等 司90·國距离相等园∠3回L4回L72乙8 AB=DE, 在△ABC和△DEF中，J∠B=∠DEF 超相等网∠3窗∠6、∠86∠5、上7☑∠5 BC=EF ∠64四∠7®L8∠5 52∠653∠6 ☒∠5 固相等团BP ∴.△ABC≌△DEF(SAS),∴.∠A=∠D. 战演练·品方法 2.23.80° 例 15 例240° 4.证明：：△ABM和△ACN是等边三角形 第15讲 一般三角形及其性质 .∴.AB=AM,AN=AC,∠BAM=∠NAC=60° 考点梳理·夯基础】 又·.·∠BANW=∠BAC+∠NAC.∠CAM=∠BAC+∠BAM, ①大于2小于3180°④等于固大于⑥CD ∴.∠BAN=∠MAC,在△ABN和△AMC中， AB=AM. 7 2 8BC⑨∠2画平行回第三边的一半 ∠BAN=∠MAC,∴.△ABN≌△AMC(SAS),'.BN=MC. AN=AC 见此图廊号抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 75