21.3.3《正方形》课后巩固练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2026 年春季人教版八年级(下) 第二十一章 四边形 21.3.3 正方形 一、选择题 1.（25-26·全国同步）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（       ） A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角 2.（25-26·上海开学）在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（       ） A.，， B.， C.， D.，， 3.（24-25·江苏期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，则下列结论正确的是（       ） A.当时，它是矩形 B.当时，它是正方形 C.当时，它是矩形 D.当时，它是菱形 4.（25-26·江苏月考）如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 5.（25-26期末）如图，在Rt中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的面积为（       ） A. B. C.24 D.36 6.（25-26·陕西期中）如图，在边长为的正方形纸片中，、分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点恰好落在边上的中点处，则的长度是（       ） A. B. C. D. 7.（24-25·河南期末）如图所示：正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为，则两个正方形重叠部分的面积为（       ） A. B. C. D. 8.（25-26·北京开学）如图，在中，，与的平分线交于点，过点作于点，记的周长为，，给出下面三个结论：①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（       ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题   9.（25-26·黑龙江期中）如图，平行四边形的对角线互相垂直，要使成为正方形，还需添加的一个条件是     （只需添加一个即可） 10.（24-25·湖南期中）如图为个边长相等的正方形的组合图形，则___________． 11.（24-25·广西月考）在四边形中，对角线，，顺次连接四边形各边的中点，，，，则所得四边形的形状为___________． 12.（25-26·湖南期中）如图，两个边长均为6的正方形重叠在一起，是正方形的中心，则阴影部分的面积是_______． 13.（25-26·全国同步）如图，中，，，，点为边的中点，点从点出发沿向点运动，到点停止，以为边作正方形，则点运动的路程为____________． 14.（25-26·全国同步）如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为__________． 三、解答题   15.（24-25·海南期中）如图，已知正方形，是对角线上任意一点，不与、重合，求证：＝．   16.（23-24·全国同步）如图，正方形中，点、分别是边上的点，且．求的度数． 17.（18-19·安徽期中）已知，如图，在中，＝，是的平分线，的垂直平分线分别交，，于点，，．求证：四边形是正方形． 18.（24-25·湖北月考）如图，在矩形中，点、分别在、上，且，垂足为． 19.（25-26·河南期末）如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，请求出的长． 20.（24-25·广东期中）在四边形中，对角线相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接．点在的延长线上且． （1）如图，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． （2）如图，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春季人教版八年级（下） 第二十一章四边形 21.3.3正方形 一、选择题 1.(25-26·全国同步)矩形、菱形、正方形都具有的性质是( A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且 相等：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角：正方形的对角线互相 垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角. 利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可. 【解答】 解：A,矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意： B,矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意： C,菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意： D,菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意. 故选：B 2.(25-26·上海开学)在四边形ABCD中，0是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是( A.AC=BD,AB‖CD,AB=CDB.ADI BC,∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO,ACLBD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 【答案】 1 C 【解析】 本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解 题的关键。根据正方形的判定逐项判断即得答案。 解】 【解答】解：A、.ABCD,AB=CD, .四边形ABCD为平行四边形， .AC=BD ∴.四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、AD‖BC∠A=∠C无法判定四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意： C、.'AO=BO=CO=DO, ∴.AC=BD,四边形ABCD是平行四边形， ∴.四边形ABCD是矩形， .AC⊥BD, ∴.矩形ABCD是正方形，故本选项符合题意： D、,'AO=CO,B0=D0, .四边形ABCD是平行四边形， .'AB=BC, .四边形ABCD是菱形，不能判定四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意. 故选：C 3.(24-25·江苏期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O, 则下列结论正确的是( 夕 A.当AB⊥BC时，它是矩形B.当∠ABC=90时，它是正方形 C.当AC⊥BD时，它是矩形D.当AC=BD时，它是菱形 【答案】 A 【解析】 本题考查了特殊四边形的判定方法，根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可. 【解答】 解：A、,四边形ABCD是平行四边形， ∴.当AB⊥BC时，平行四边形ABCD是矩形，故符合题意： B、.四边形ABCD是平行四边形， ∴.当∠ABC=90时，平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意： C、.四边形ABCD是平行四边形 ∴.当AC⊥BD时，平行四边ABCD是菱形，故不符合题意： D、.四边形ABCD是平行四边形， '.当AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意： 故选：A. 4.(25-26·江苏月考)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，连接BP,若 ∠BPC=55°，则∠PBC的度数为( ) A D B A.80°B.75°C.70°D.65° 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内 角和定理是解决问题的关键。根据正方形性质得∠BCA=45°，在△BCP中，∠BPC=55° ，根据三角形内角和定理即可得出∠PBC的度数. 【解答】 解：.四边形ABCD为正方形， .∴.∠BCA=45 在△BCP中，∠BPC=55 ∴.∠PBC=180°-（∠BPC+∠BCA)=180°-(55°+45）=80 故选：A. 5.(25-26期末)如图，在Rt△ABC中，AB=6,点M是斜边BC的中点，以AM为边作 正方形AMEF.若S正方形AMEF=25,则△ABC的面积为( A.183 B.93C.24D.36 【答案】 C 【解析】 此题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，先求AM=5, 再根据直角三角形斜边中线的性质得BC=2AM=10，然后由勾股定理求出AC=8即可 得出△ABC的面积，理解正方形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理 是解决问题的关键， 【解答】 解：S正方形AMEF=25, ∴.AM=5, .'△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴.AM是Rt△ABC的斜边BC的中线， .BC=2AM=10, 在Rt△ABC中，AB=6 由勾股定理得： AC=VBC2-AB=102-6=8, 15=×AB×AC=号×6×8=24 故选：C 6.(25-26·陕西期中)如图，在边长为8的正方形ABCD纸片中，E、F分别是边BC、 AD上的两点，将正方形ABCD沿EF折叠，点C恰好落在边AB上的中点G处，则EF的长度是 ( O C H G B A.4只V5B.36 C.10D.65 【答案】 A 【解析】 本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的 判定与性质、勾股定理等知识.作DM/心EF,交BC于点M,证明四边形EFDM是平行四边 形，再证明△DCM兰△CBG ASA,再利用勾股定理求解即可. 【解答】 解：作DM/iEF,交BC于点M, D H M G 正方形ABCD, ∴.AD/元BC, ∴.四边形EFDM是平行四边形， ∴.EF=DM, ,·将正方形ABCD沿EF折叠，点C恰好落在边AB上的中点G处， .EF⊥CG, ∴.DM⊥CG, ∴.∠GCB=90°-∠DMC1 .∵∠DCM=90' ∴.∠MDC=90°-∠DMC' .∴.∠MDC=∠GCB, .'∠DCM=∠CBG=90°'DC=CB' ∴.△DCM≌△CBGASA, ·.CM=BG=号AB=4, .DM=42+8=45 6 ∴.EF的长度是45， 故选：A. 7.(24-25·河南期末)如图所示：正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是另一个 正方形ABC'O的一个顶点.如果两个正方形的边长相等，若正方形ABCD的边长为4，则两 个正方形重叠部分的面积为( A.16B.8C.4D.1 【答案】 C 【解析】 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三 角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键.过点O作OM⊥BC,ON⊥AB,AB和OA 的交点为F,BC和OC的交点为E,根据正方形的性质可证，四边形BMON是正方形，得到 S正方形BMoN=4' 再证明 FON△EOM(ASA得到S。aN=SAON ,从而得出两个正方形重 叠部分的面积S正方形BMON,即可得解. 【解答】 解：如图，过点O作OM⊥BC,ON⊥AB,AB和OA的交点为F,BC和OC的交点为E, ∴.∠OME=∠ONF=90' ,四边形ABCD和ABCO是正方形， .∠ABD=∠CBD=45’OB=OC’∠AOC'=∠ABC=90' .四边形BMON是矩形， .'∠ABD=∠CBD=45'OB=OC'OM⊥BC'ON⊥AB1 :OM=ON,BM=IBC=2, .四边形BMON是正方形， .S正方形BMoN=BM2=4'∠MON=90' ·∠MON-∠CON=∠AOC-∠CON'即∠EOM=∠FON 又.∠OME=∠ONF=90°，OM=ON, .∴.△FON=△EOM(ASA), SAFON=SAEOM ∴.两个正方形重叠部分的面积(SAFON+S四边形BEON=S△EOM+S四边形BEON=S正方形BMON=4, 故选：C. 8.(25-26·北京开学)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC与∠ABC的平分线 交于点P,过点P作PD⊥BC于点D,记△ABC的周长为P,PD=r,给出下面三个结论：① ∠APB=135°；②CD=r;③AC·BC=pr D C 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A.①②B.①③ C.②③D.①②③ 【答案】 D 【解析】 根据三角形内角和定理以及角平分线定义即可求出∠APB=180°-（∠BAP+∠ABP)=135 过点P作PE⊥AC于点E,作PF⊥AB于点F,连接PC,根据角平分线性质和判定可得 PE=PE=PD=r,进而根据面积关系求得③正确. 【解答】 解：在△ABC中，∠ACB=90°， ∴.∠BAC+∠ABC=90 又.'AP、BP分别平分∠BAC、∠ABC .∠BAP+∠ABP=(LBAC+∠ABC)=45, 六∠APB=180-(∠BAP+∠ABP)=135,故①正确。 过点P作PE⊥AC于点E,作PF⊥AB于点F,连接PC, A F P以 E D C .PD⊥BC, '.四边形CDPE是矩形 ,'AP、BP分别是∠BAC、∠ABC的平分线，PE⊥AC,PF⊥AB,PD⊥BC ∴PE=PE=PD=r, .矩形CDPE是正方形， ∴.CD=PD=r,故②正确 SAABC=SAABP+SAACP+SABCP' ∴ACBC=ABPF+号AC~PE+号BC~PD ∴.AC·BC=AB·r+AC·r+BC·r, ∴.AC·BC=(AB+AC+BC)·r=pr,故③正确. 综上所述：正确的结论是①②③， 故选D. 二、填空题 9.(25-26·黑龙江期中)如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为 正方形，还需添加的一个条件是∠ABC=90°或AC=BD (只需添加一个即可) 10