12.3 图形的中心对称 第2课时 中心对称图形 2025--2026学年青岛版八年级数学下册

第12章 图形的平移与旋转 轴对称 ………… 青岛版 八年级下册 图形的变化 内容提要 ◆ 图形的平移 ◆ 图形的旋转 ◆ 图形的中心对称 平面图像 平移 旋转 1.中心对称的概念 在平面内，将一个图形绕某一 ，图形的这种变化叫做中心对称；这个定点叫做对称中心。 温故而知新 2.成中心对称的概念: 一个图形经过 能与另一个图形 ,就说这两个图形关于这个对称中心 。其中对应点叫作关于对称中心的对称点。 定点旋转180º 中心对称 重合 成中心对称 3.中心对称的基本性质 成中心对称的两个图形 ，对应点的连线都 ，并且被对称中心 。 温故而知新 全等 经过对称中心 平分 我们已经研究了中心对称的相关概念及其性质, 创设情境 导入新课 一个图形经过中心对称变化,有可能与自身重合吗? 青岛版数学 八年级下册 第12章 图形的平移与旋转 12. 3 图形的中心对称 第2课时 中心对称图形 (1)、你见过绕一个定点旋转180°后与自身重合的图形吗? 观察与发现 探究一 中心对称图形的概念 它们都是绕一个定点旋转180°后能与自身重合的图形。 如图为双鱼剪纸、太阳神鸟和北京冬奥会的大雪花,这三个图案是否具有这种特点? A B O 探究一 中心对称图形的概念 观察与发现 (2)如图点O是线段AB的中点。将线段 AB绕点O旋转180°后,能否与自身重合? 将线段AB绕其中点O旋转180°后,能与自身重合。 O 探究一 中心对称图形的概念 (3) ABCD 关于对角线交点O成中心对称的图形是哪个图形？ A 观察与发现 B C D 平行四边形绕点O旋转180°后所得到的图形与原来的图形重合. 在 ABCD中， 对角线AC， BD相交于点O。 因为OA=OC, OB=OD, 如果将 ABCD绕点O 旋转180°，点A与点C， 点B与点D分别互换了位置. ABCD 关于对角线交点O成中心对称的图形是它本身。 在平面内,如果一个图形经过中心对称能与自身重合,那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 探究一 中心对称图形的概念 中心对称图形的概念: o A B 例1、说出下列中心对称图形的对称中心 O O O 探究一 中心对称图形的概念 平行四边形对称中心是对角线的交点。 特别地,矩形、菱形和正方形都是中心对称图形。 线段的对称中心是中点； 圆的对称中心是圆心； 练习1. （1）下列四张扑克牌图案,属于中心对称图形的是(　 　) A （2）下列图形中,可以看作是中心对称图形的是(　 　) A O 探究二 中心对称图形的性质 A 思考与交流 B C D (1)如果一个图形与自身关于点O 成中心对称,那么这个图形上的任一点 P,关于点O 的对称点P'在这个图形上吗? 根据中心对称的定义,点P'在 这个图形上。 （2）如图一个图形若与自身成中心对称(比如,如图所示的平行四边形),过其对称中心作一条直线,这条直线将这个图形分成两部分,这两部分图形有什么关系? A B C D O E F 直线EF 过对称中心O,所以EF 两侧的图形关于点O 成中心对称,这两部分图形全等。 探究二 中心对称图形的性质 探究二 中心对称图形的性质 概括与表达 中心对称图形的性质: 经过对称中心的任一条直线, 将中心对称图形分为两个全等的图形。 E F 说一说中心对称图形和成中心对称的图形有什么区别与联系？ 探究三 知识辨析 区别： 成中心对称 中心对称图形 两个图形的特殊位置关系 一个图形本身的特性 对称点在两个图形上 对称点在同一个图形上 思考与交流 结论： 1.每一对对应点的连线都被对称中心平分。 2.一个中心对称图形可以分成两个全等的部分。 联系： E F 成中心对称的两个图形 中心对称 图形 对称部分看成两个图形 看成一个整体 例2.如图，ABCD是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分.你有哪些不同方案？画出图形，并说明理由. 方案一：正方形ABCD的两条对角线AC和BD可作为小路的位置，此时正方形被分成四个全等的等腰直角三角形. A B C D O 方案二：正方形ABCD两组对边中点的连线EG和HF可作为小路的位置，此时正方形被分成四个全等的小正方形. A B C D H O F G E 方案三：过正方形的对称中心O，任意作两条互相垂直的直线EG，HF，分别交AB，CD于点H，F，交BC，AD于点E，G，则EG与HF可作为小路的位置. A B C D H O F G E S1 S2 S4 S3 记四边形OGAH，OHBE，OECF，OFDG 的面积分别为S1，S2，S3，S4. ∴四边形GABE与ECDG以及HBCF与FDAH分别关于 点O成中心对称. ∵GE，HF过点O， ∴S1+S2=S3+S4①，S2+S3=S4+S1②. A B C D H O F G E S1 S2 S4 S3 ①-②得S1-S3=S3-S1 ，整理得S1=S3 将S1=S3代入①得S2=S4 连接OA，OB，则OA=OB，∠AOB=90°. ∴∠AOG和∠BOH都与∠AOH互余 ∴∠AOG=∠BOH ∵∠GAO=∠HBO=45°. ∴△AOG≌△BOH（ASA）. 同理△AOH≌△BOE. A B C D H O F G E S1 S2 S4 S3 ∴S1=S△AOG+S△AOH=S△BOH+S△BOE=S2 ∴S1=S2=S3=S4. ∴EG与HF将正方形ABCD分为面积相等的四部分. 例3、在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形和⑨圆中， 是轴对称图形的有_______________ ， 是中心对称图形的_______________， 既是轴对称图形又是中心对称图形___________. ①⑤⑥⑦⑧⑨ ①②③④ ①⑥⑦⑧⑨ ⑥⑦⑧⑨ 练习2.正三角形是中心对称图形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？……你能发现什么规律？ 边数为偶数的正多边形都是中心对称图形， 还是轴对称图形。 练习3.在如图所示的四个图形中,哪些是轴对称 图形? 哪些是中心对称图形? A B C D O E F （1）你能用一条线把矩形分成面积相等的两部分吗？ 结论：经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都能把该图形分割成面积相等的两部分。 挑战自我 （2）请用一条直线将下列图形分成面积相等的两部分？ 规律：过两个图形的对称中心画出一条直线即可. 你还有其他的分割方案吗？请画图说明 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 27 总结：同时经过两个对称中心的直线，把由两个中心对称图形构成的图形分成面积相等的两部分。 从一般到特殊 （3）公园里有两块形状不同的草坪，现在要修一条笔直的小路同时穿过这两块草坪，而且同时把两块草坪分成面积相同的两部分， 如果你是设计师,你怎样设计这条小路？ 中心对称图形 定义 判定 在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形 (1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心， 且被对称中心平分； (2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形 (1)围绕某点旋转； (2)旋转180°; (3)与自身完全重合 性质 课堂小结 29 1.下图中的中心对称图形有 。 ① ⑥ ⑤ ④ ③ ② ②③④⑥ 当堂检测 2.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2， BC＝3，则图中阴影部分的面积为 . 3 当堂检测 3.图1和图2中所有的小正方形都全等,将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形,这个位置是_______.  　③　 $