精品解析：山东省菏泽市第一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段测试数学试题

高一下学期4月份教学诊断检测 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，所以的虚部为2. 2. 如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，且， 又平面平面， 所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若方向相反，则与为相反向量 B. 模相等的两个平行向量相等 C. 有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据向量和有向线段的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具， 所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 故选：C 4. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直，数量积为0求得参数，然后由模的坐标表示计算． 【详解】因为向量，，所以， 因为与垂直，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥、棱台、棱柱的定义和性质逐一对选项ABC进行判断，通过举反例对选项D进行判断. 【详解】对于A选项，由棱锥的定义判断A正确； 对于B选项，只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，所以B错误； 对于C选项，棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C错误； 对于D选项，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D错误. 故选：A. 6. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算即得. 【详解】∵，∴， 所以在上的投影向量为：. 故选：A. 7. 葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（ ） A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理可得，利用数量积的定义可求得的值. 【详解】因为两球的半径分别为3和4，所以，又， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：A. 8. 设是的外心，点满足，则是的（　　） A. 内心 B. 任意一点 C. 垂心 D. 重心 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9. 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ） A. 越小越省力，越大越费力 B. 的最小值为 C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解，再逐项判断即得. 【详解】对于A，依题意，，又， 则， 解得，而时，单调递减， 因此越小越省力，越大越费力，A正确； 对于B，，则，即，B错误； 对于C，当时,由，得，因此，C正确； 对于D，当时，由，得，因此，D错误. 故选：AC 10. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的实部是 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断； 【详解】由题意可得， A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确； C：，故C错误； D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD. 11. 在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算，以及数量积公式，基本不等式依次求解即可. 【详解】因为， 则，即， 则， 所以，A正确； 因为，所以， 所以，同理，点是的垂心， 又是边的中点，，易知是等腰三角形，无法确定是等边三角形，B错误； 由题意知，，所以， 又三点共线，则， 所以，即，解得，C错误； ，又三点共线，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，D正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若与平行，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与，然后利用向量共线的坐标表示列式求解． 【详解】由向量和， 所以， ， 由与平行，所以． 解得． 13. 中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长. 【详解】设中角所对的边分别为， 依题知，则有， 由余弦定理， ， 即解得． 设，则由可得 ， 化简得，解得. 即角平分线的长为． 故答案为：. 14. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】若为中点，由、，应用向量数量积的运算律化简得，根据位置关系求最小值. 【详解】如下图，， 若为中点，且，则， 则， 要使其最小，只需共线， 此时，由图知此时. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15. 在中，内角所对的边长分别是，且． （1）求角； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解. 【小问1详解】 由 ， 由于，所以， 又因为，所以，即， 因为，所以，即, 故； 【小问2详解】 因为，，所以由余弦定理可得： ， 由基本不等式可得：，所以， 当且仅当取等号， 则的面积， 故的面积的最大值为. 16. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角.求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出，利用平行关系和模长列出方程组，求出，得到答案； （2）写出，根据与的夹角为锐角，得到方程和不等式，求出实数的取值范围.. 【小问1详解】 设，， 因为，所以6x＝－y，因为，所以， 解得或，所以或； 【小问2详解】 ，， 因为与的夹角为锐角，所以，， 解得且，即. 17. 欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题： （1）将复数表示成(，i为虚数单位)的形式； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意结合复数运算求解； （2）根据题意结合复数的四则运算和模长整理得，再结合正弦函数的有界性分析运算. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 由题意可得：， 所以， 因为，所以，因此， 所以的最大值为2. 18. 如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. （1）用、表示； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【小问1详解】 因为，则，所以， 因为为的中点，故. 【小问2详解】 因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，. （1）求角； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，若，且点为平面上任意一点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式、正弦定理和勾股定理的逆定理化简计算即可求解； （2）设，，，由费马点定义知，根据三角形面积公式和等面积可得，进而求解； （3）建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算、坐标运算和几何意义可得，结合费马点的定义可得，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由，得， 整理得， 则. 【小问3详解】 在中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、，设，则， ，. 所以， 则的几何意义是点到点，，的距离之和， 因为，，则为等腰直角三角形，故， 易知，故， 所以的“费马点”为点， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期4月份教学诊断检测 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若方向相反，则与为相反向量 B. 模相等的两个平行向量相等 C. 有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 4. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 6. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（ ） A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 8. 设是的外心，点满足，则是的（　　） A. 内心 B. 任意一点 C. 垂心 D. 重心 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9. 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ） A. 越小越省力，越大越费力 B. 的最小值为 C. 当时， D. 当时， 10. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的实部是 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 11. 在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若与平行，则实数________． 13. 中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 14. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15. 在中，内角所对的边长分别是，且． （1）求角； （2）若，求的面积的最大值． 16. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角.求实数的取值范围. 17. 欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题： （1）将复数表示成(，i为虚数单位)的形式； （2）求的最大值. 18. 如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. （1）用、表示； （2）求的值. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，. （1）求角； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，若，且点为平面上任意一点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $