精品解析：辽宁省葫芦岛市绥中县第一初级中学2025-2026学年七年级下学期第一次质量监测数学试卷

2025-2026学年度七年级下学期第一次质量监测数学试卷 ※考试时间120分 试卷满分120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B． 【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意； C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意． 故选：B． 2. 给出四个实数，其中无理数是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ，， ∴是无理数；是有理数； 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记定义进行判断． 3. 下列说法，正确的个数有（    ） 垂直于同一条直线的条直线相互平行； 过直线外一点作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫点到直线的距离； 两条直线被第三条直线所截，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质、平行公理及推论以及点到直线的距离，掌握相关知识的应用是解题的关键． 根据在同一个平面内垂直于同一条直线的条直线一定互相平行可对进行判断；利用点到直线的距离的定义对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；根据平行公理对进行判断． 【详解】解：在同一个平面内，垂直于同一条直线的条直线一定互相平行，所以错误； 从直线外一点作这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段的长叫点到直线的距离，所以错误； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，所以错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以错误． 故选：． 4. 如图，将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质． 由平行线的性质推出，由平角定义得到，由平行线的性质即可求出． 【详解】解：纸条的上下两边平行， ，， ， ． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根以及立方根，先分别算出各个选项的算术平方根以及立方根，再与等号右边的值进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是正确的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选A． 6. 如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可． 【详解】解：①由于和是同位角，则①可判定； ②由于和是内错角，则②可判定； ③由于和既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定； ④由于和是同旁内角，则④可判定； 即①②④可判定． 故选A． 7. 定义新运算“※”的运算法则为：当，时，．例如：．那么的值是（ ） A. 8 B. 48 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给的新定义法则进行计算即可． 【详解】解：∵当，时，有， ∴＝； 故选：A． 【点睛】本题考查的是实数的运算，根据题意得出代数式是解答此题的关键． 8. 观察表中的数据信息：则下列结论正确的是（ ） a 15 … 225 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，被开方数的小数点向右每移动两位，开方的结果的小数点向右移动一位，被开方数的小数点向左每移动两位，开方的结果的小数点向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式计算正确，符合题意； B、∵， ∴，原式计算错误，不符合题意； C、∵， ∴，原式计算错误，不符合题意； D、 ∴，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 9. 如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正方形的面积，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，面积为1，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，利用大正方形的面积公式求得对角线的长度，即圆的半径，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为1， 面积为1， 如图所示，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形， 则大正方形的面积为 设小正方形对角线长为，那么大正方形的边长为， 则， ， 圆的半径为， 点表示的数为． 故选：C． 10. 如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，过点作，，分别表示出、，即可分析出答案． 【详解】解： ①正确； 过点作，， ， ， 设，，则， ， ②正确； ， ， 而 ③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】先拆分命题“对顶角相等”的条件与结论，再按照要求改写成“如果……那么……”的形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”中，条件为两个角是对顶角，结论为这两个角相等， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 12. 算术平方根是___________，的立方根是___________，的平方根是___________． 【答案】 ①. ## ②. ③. 【解析】 【分析】本题根据算术平方根，立方根，平方根的定义求解． 【详解】解：① 求的算术平方根， 因为，且算术平方根为非负数，因此的算术平方根是； ② 求的立方根， 因为，因此的立方根是； ③ 求的平方根， 先化简得，又因为，因此的平方根是，即的平方根是． 13. 有经验的渔夫用鱼叉捕鱼时，不是将鱼叉对准他看到的鱼，这是由于光从空气射入水中时，发生折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水中时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，根据平行线的性质可得，再根据，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为________． 【答案】74 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点作，过点作，先由垂线的定义得到，则由两直线平行内错角相等得到，证明得到，再根据两直线平行同旁内角互补得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在长方形中，将三角形沿着翻折得到三角形，此时，点在上，连接，在的右侧作，使得，当的一条边与平行时，则的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．分和两种请开给你进行讨论求解即可． 【详解】①如图，当时，延长交于点，则：， ∵翻折， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，同理可得：， ∵长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）求式中x的值：． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得， 开方得， 解得或． 17. 一个正数的两个平方根分别是和；且． （1）求； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值； （）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， 代入， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 18. 某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， （1）方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； （2）方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 【答案】（1）651 （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义等知识． （1）由题意，草地的长减小，宽不变，因而可求得草地的面积； （2）设宽，则长为，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，若满足题意即可，否则不行． 【小问1详解】 解：由题意，小路的左边线向右平移就是它的右边线即小路的宽为， 则草地的长减小，宽不变， 面积为； 故答案为：651． 【小问2详解】 能，理由如下： 设宽，则长为， 依题意有：， ∵， ∴， 符合长在到之间，宽在到之间， ∴这个篮球场能用做比赛． 19. 如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）先根据角平分线的定义算出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案； （2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴可设 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的度数为． 【点睛】 20. 如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与相等吗?为什么? （3）若，，求的大小． 【答案】（1），见解析 （2）相等，见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据同旁内角互补，两直线平行进行推理证明； （2）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）已证 ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 21. 发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 【答案】（1）（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（或互补）；证明见解析； （3）相等或互补 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合等量代换，探究了两边分别平行的两个角的关系，先从特殊图形（图1、图2）入手，再归纳出一般结论． （1）利用平行线的性质，通过中间角来推导与的关系； （2）同样利用平行线性质，结合邻补角知识推导； （3）最后综合（1）（2）即可得出一般结论． 【详解】解：（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 故答案为：（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：（或互补）； （3）综合（1）中（两角相等）和（2）中（两角互补），可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 22. 【数学材料】 “对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果（且），那么叫作以为底的的对数，记作，其中叫作对数的底． 【初步运用】 （1）请把下列算式改写成对数的形式： ，对数的形式为______；，对数的形式为______； （2）若，则______；，则______； 【理解应用】 （3）若，若，求的值． 【问题解决】 （4）如图①，两条线段的长分别是，且，若化简的值． 【答案】（1），；（2）3，；（3）当，时，，当，时，；（4）的值为 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，立方根，算术平方根的化简； （1）根据对数的定义求解即可； （2）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可； （3）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可； （4）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式，再结合数轴化简算术平方根即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对数的形式为； ∵， ∴对数的形式为； 故答案为：，； （2）若，则，解得； 若，则，解得（负数舍去）， 故答案为：3，； （3）∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 当，时，，； 当，时，，； （4）∵， ∴，，，， ∴， ∵由图形可得， ∴ ． 23. 综合与探究 问题情境： 已知，点C在直线，之间，连接，． 初步探究： （1）如图1，若，设，，求，之间的数量关系． 深入探究： （2）如图2，，的平分线交于点P． ①在（1）的条件下，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数； ②若，则______．（用含m的代数式表示） 拓展延伸： （3）若点C在直线的上方，或直线的下方，，，，的平分线所在直线交于点P，则______．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）①不发生变化，；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）过点C作，进而得到，根据平行线的性质得到、，根据进行解答即可； （2）①由（1）知、，根据角平分线的性质得到、，过点P作，则，根据平行线的性质得到、，再利用解答即可；②过点C作，过点P作，则，根据平行线的性质得到、，同①求出即可； （3）分情况讨论，当点C在直线的上方或直线的下方时，同理（2）求出即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作， 、 ； （2）①解：不发生变化，理由如下： 由（1）知、 ，的平分线交于点P 、 如图，过点P作，则 、， ； ②解：如图，过点C作，过点P作，则， 、 ； 、 ，的平分线交于点P 、 ， ， ； （3）解：①当点C在直线的上方时， 过点C作，过点P作，如图： ， 、， ， ，的平分线交于点P， 、， ， 、， ； ②当点C在直线的下方时， 过点C作，过点P作，如图： ， 、， ， ，的平分线交于点P， 、， ， 、， ； 综上所述，， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度七年级下学期第一次质量监测数学试卷 ※考试时间120分 试卷满分120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 给出四个实数，其中无理数是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 3. 下列说法，正确的个数有（    ） 垂直于同一条直线的条直线相互平行； 过直线外一点作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫点到直线的距离； 两条直线被第三条直线所截，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 7. 定义新运算“※”的运算法则为：当，时，．例如：．那么的值是（ ） A. 8 B. 48 C. D. 8. 观察表中的数据信息：则下列结论正确的是（ ） a 15 … 225 … A. B. C. D. 9. 如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______． 12. 算术平方根是___________，的立方根是___________，的平方根是___________． 13. 有经验的渔夫用鱼叉捕鱼时，不是将鱼叉对准他看到的鱼，这是由于光从空气射入水中时，发生折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水中时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，则的度数为__________． 14. 如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为________． 15. 如图，在长方形中，将三角形沿着翻折得到三角形，此时，点在上，连接，在的右侧作，使得，当的一条边与平行时，则的度数是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）求式中x的值：． 17. 一个正数的两个平方根分别是和；且． （1）求； （2）求的平方根． 18. 某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， （1）方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； （2）方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 19. 如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 20. 如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与相等吗?为什么? （3）若，，求的大小． 21. 发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 22. 【数学材料】 “对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果（且），那么叫作以为底的的对数，记作，其中叫作对数的底． 【初步运用】 （1）请把下列算式改写成对数的形式： ，对数的形式为______；，对数的形式为______； （2）若，则______；，则______； 【理解应用】 （3）若，若，求的值． 【问题解决】 （4）如图①，两条线段的长分别是，且，若化简的值． 23. 综合与探究 问题情境： 已知，点C在直线，之间，连接，． 初步探究： （1）如图1，若，设，，求，之间的数量关系． 深入探究： （2）如图2，，的平分线交于点P． ①在（1）的条件下，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数； ②若，则______．（用含m的代数式表示） 拓展延伸： （3）若点C在直线的上方，或直线的下方，，，，的平分线所在直线交于点P，则______．（用含，的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $