专题04 平行四边形的性质与判定16类题型（期中复习专项）八年级数学下学期新教材浙教版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04平行四边形的性质与判定 题型归纳·内容导航 题型1多边形对角线条数问题 题型9利用平行线间的距离解决实际问题 题型2多边形内角和问题（重点题） 题型10在网格中画平行四边形 题型3多边形外角和实际应用 题型11判断能否形成平行四边形（高频题） 题型4多边形外角和和内角和综合应用（重点题） 题型12添加一个条件使得成为平行四边形 题型5利用平行四边形的性质求线段（常考题） 题型13利用平行四边形的性质与判定求解 题型6利用平行四边形的性质求面积（常考题） 题型14利用平行四边形的性质与判定证明 题型7利用平行四边形的性质求角度（常考题） 题型15平行四边形中动点问题（压轴题） 题型8利用平行四边形的性质证明 题型16平行四边形性质与判定综合压轴(（压轴题) 题型通关·靶向提分 题型一多边形对角线条数问题（共4小题） 1.(25-26八年级上·湖北荆州期中)把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内 部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分.七边形的三角剖分方法有()种. A.14 B.42 C.28 D.35 2.(24-25八年级上·青海西宁.期中)一个多边形从一个顶点处可以引出7条对角线，这个多边形的边数是() A.6 B.7 c.8 D.10 3.(25-26八年级下.浙江嘉兴期中)如果一个正多边形的内角和为1800°，那么这个正多边形共有对角 线条 4.(25-26八年级下·浙江台州·期中)一个多边形外角和是内角和的三，则这个多边形的边数是，对角 线的总条数为 题型二多边形内角和问题（共4小题） 1.(24-25八年级下浙江温州·期中)如图，在△ABC中，∠A=70°，剪去∠A得到一个四边形，则 ∠1十∠2的度数为 1/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 2.(24-25八年级下·浙江温州期中)学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛.要 求这个花坛的内角和为900°，则这个花坛应设计成() B A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形 3.(25-26八年级下.浙江杭州期中)如图，多边形ABCDE,F是CD延长线上的一点，若∠EDF=50·, 则∠A+∠B+∠C+∠E=() F D A.360 B.390 C.410° D.490° 4.(25-26八年级下.浙江·期中)一个六边形如图所示.己知AB‖DE,BC‖EF,CD‖AF.若 ∠A=122°，∠C=128°，则∠E的值为() B D A.110 B.111° C.112° D.113° 题型三多边形外角和实际应用（共3小题） 1.(24-25八年级下.浙江期中)完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形.展示了数 学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要 的美学价值.如图，五边形ABCDE是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中∠1+∠5=120°， 则∠2+∠3+∠4等于() 2/23 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D A.145° B.180° C.240° D.325 2.(24-25八年级下.浙江杭州期中)杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一 个八边形，则这个八边形的外角和为 3.(25-26八年级下浙江杭州期中)如图，某同学从A点出发前进10米，向右转18°，又向右转18°， 这样下去，一共走了米. 18° 18 题型四多边形外角和和内角和综合应用（共6小题） 1.（24-25八年级下浙江杭州期中)一个多边形的内角和与外角和的和为900°，则它的边数为 2.（24-25八年级上·浙江湖州期中)若n边形的每个内角都为144°，则n等于； 它的外角和度数 是 3.(25-26八年级下，浙江宁波期中)如果一个多边形的边数是5，则这个多边形的外角和是() A.1800 B.360° C.540° D.720° 4.(25-26八年级下.浙江湖州期中)如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是() A.3 B.6 C.9 D.10 5.（24-25八年级下.浙江嘉兴期中)已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少180°， (1)求这个多边形的边数 (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和. 6.(25-26八年级下·浙江台州期中)如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形 就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题. 3/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ●●●●●● (1)将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 n ∠a的度数 60° (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=16？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说 明理由 正多边形边数 3 4 5 6 n ∠ax的度数 60° 45° 36° 30° )· 题型五利用平行四边形的性质求线段（共4小题） 1.(25-26八年级下.浙江温州期中)如图，在☐ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AB⊥AC,若 AB=3,AC=4,则BD的长为() A.V13 B.5 c.2W13 D.8 2.(25-26八年级下.浙江台州期中)如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于 E,AB=5,BC=3,则EC的长() A.1 B.2 c.1.5 D.3 3.(24-25八年级下.浙江温州期中)如图，己知☐ABCD的对角线AC与BD相交于点0，∠A0B=45°， 将△ABC沿着直线AC翻折，使点B的对应点B落在原图所在平面上，连接BD,若BD=2,则BO的长 度为() 4/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D B A.V2 B.2 c.2V2 D.3 4.(25-26八年级下.浙江绍兴期中)已知平行四边形ABCD中，AB=5,∠ABC,∠BCD的平分线BE, CF分别与边AD交于点E,F,且EF=2,则BC的长为 题型六利用平行四边形的性质求面积（共8小题） 1.(24-25八年级下.浙江台州·期中)如图，在☐ABCD中，∠B=45°，AB=2,BC=3,则□ABCD 的面积为 A 145° B 2.(24-25八年级下.浙江舟山期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB=7,BC=9,将△BCD沿对 角线BD折叠得到△BED,AD与BE交于点F,F恰好为AD的中点，则BF=一，△BDE与平行四 边形ABCD重叠部分的面积为· 3.(24-25八年级下.浙江温州期中)如图，在☐ABCD中，对角线AC和BD交于点0，且BD=2AC,若 AB=2W3,AB⊥AC,则□ABCD的面积为() A.4V3 B.8V3 C.8 D.32 4.(24-25八年级下.浙江杭州期中)如图，在包ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC 5/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 、FC、FD,图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4,己知S1=3、S2=14、S3=5,则S4的值是 () E D S2 A.6 B.7 C.8 D.9 5.(24-25八年级下浙江温州期中)如图，在☐ABCD中，E,F分别是边BC,AD上的点，且EFAB, 连接AC交EF于点G,连接DG,AB,若器-，SADGC=4,则△ABE的面积为() 4 A.4 B.6 C.8 D.10 6.(24-25八年级下.浙江宁波·期中)如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在ADAB上，依次连接 EB、EC、FC、FD,图中空白部分的面积分别为S1S2S3S4,已知Sa4BcD=80,S1=4,S3=7,S4=10 ,则图中阴影部分的面积为() D S3 S2 B A.38 B.40 C.42 D.42.5 7.(24-25八年级下·浙江杭州期中)如图，在回ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC 、FC、FD,图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4,己知S1=3、S2=14、S3=5,则S4的值是 () 6/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E S2 B A.6 B.7 C.8 D.9 8.(24-25八年级下·浙江温州期中)如图，在☐ABCD中，E,F分别是边BC,AD上的点，且EFAB, 连接AC交EF于点G,连接DG,AB,若器=克，SADGC-=4,则△ABE的面积为(） B4 E A.4 B.6 C.8 D.10 9.(24-25八年级下.浙江宁波期中)如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在ADAB上，依次连接 EB、ECFC、FD,图中空白部分的面积分别为S1、S2S3S4,已知S-4BcD=80,S1=4,S3=7,S4=10 ,则图中阴影部分的面积为() A E D S S2 A.38 B.40 C.42 D.42.5 题型士利用平行四边形的性质求角度（共5小题） 1.(24-25八年级下浙江台州期中)如图，在☐ABCD中，∠A=4∠B,则∠C的度数为() D B C A.1440 B.108° C.72 D.360 2.(24-25八年级下·浙江杭州·期中)如图，在口ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E,连接AC.若 7/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AE,∠EAC=20°，则∠ACD的度数为() B A.50° B.60° C.70° D.80 3.(24-25八年级下.浙江杭州期中)如图，在☐ABCD中，连结BD,过点A作AE⊥BD,垂足为E.若 BA=BD,∠C=70°，则∠BAE的度数为() A.70 B.60 C.50° D.40° 4.(24-25八年级下.浙江温州期中)如图，在☐ABCD中，AC为对角线，E为BC边上一点，连接AE DE,且AB=AE.若AE平分∠DAB,∠EAC=10°，则∠CAD=() A B A.45° B.50° C.55 D.60° 5.(24-25八年级下·浙江金华期中)如图，在☐ABCD中，∠B=72°，点E为AB边上一点，将 △AED沿直线DE翻折，点A落在点F处，则∠BEF+∠CDF等于() A D A.1080 B.122° C.144° D.无法判断，与点E的位置有关 题型八利用平行四边形的性质证明（共6小题） 8/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25八年级下.浙江嘉兴期中)已知☐ABCD的两条对角线AC、BD相交于点0，则下列结论不一定 正确的是() A.AO=CO B.∠ABO=∠CDO C.AC=BD D.∠BAD=∠DCB 2.(24-25八年级下浙江宁波期中)如图，在☐ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，G,H是对角 线BD上的两点，且BG=DH.对于结论：①GF⊥BD;②∠DEH=∠BFG;③EHIGF;④ EG=BD.其中正确的为() D B A.①② B.②③ c.③④ D.①④ 3.(24-25八年级下·浙江温州·期中)如图所示，在☐ABCD中，BD是对角线，作AE⊥BD于点E, CF⊥BD于点F. (1)求证：△ADE兰△CBF (2)若CF=ED,CF=4,DF=2时，求□ABCD的周长. 4.(24-25八年级下浙江温州期中)如图，在☐ABCD中，BD是对角线，作AE⊥BD于点E, CF⊥BD于点F,连接AF,CE. D E B (1)求证：四边形AECF是平行四边形、 (2)若BE=CE,AE=8,DE=16,求CD的长. 5.(24-25八年级下浙江绍兴期中)如图，在☐ABCD中，BD是对角线，作AE⊥BD于点E,CF⊥BD 于点F,连结AF,CE. 9/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O E E (1)求证：AE=CF. (2)若BE=CEAE=4,DE=8,求CD的长. 6.(24-25八年级下.浙江宁波期中)如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,E,F分别是 0A,0C中点. B (1)求证：∠ADE=∠CBF; (2)若OC=BD,试判断四边形DEBF的形状，并证明你的结论. 题型九利用平行线间的距离解决实际问题（共5小题） 1.(25-26八年级上·浙江宁波期中)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,直线l1、12、13分 别通过A、B、C三点，且123.若1与l2的距离为4,2与l3的距离为6，则Rt△ABC的面积为 B 2.(24-25八年级上·浙江宁波期中)如图，在长方形ABCD中，∠CDB=30°，AD=4,点E为线段CD 的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将长方形沿EF折叠，点C的对应点 为C,当点C恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点F运动的距离为 10/23 专题04 平行四边形的性质与判定 题型1 多边形对角线条数问题 题型9 利用平行线间的距离解决实际问题 题型2 多边形内角和问题（重点题） 题型10 在网格中画平行四边形 题型3 多边形外角和实际应用 题型11 判断能否形成平行四边形（高频题） 题型4多边形外角和和内角和综合应用（重点题） 题型12 添加一个条件使得成为平行四边形 题型5 利用平行四边形的性质求线段（常考题） 题型13 利用平行四边形的性质与判定求解 题型6 利用平行四边形的性质求面积（常考题） 题型14 利用平行四边形的性质与判定证明 题型7 利用平行四边形的性质求角度（常考题） 题型15 平行四边形中动点问题（压轴题） 题型8 利用平行四边形的性质证明 题型16 平行四边形性质与判定综合压轴（压轴题） 题型一 多边形对角线条数问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．七边形的三角剖分方法有（    ）种． A．14 B．42 C．28 D．35 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割．根据题意列举即可． 【详解】解：如图，共有42种： 故选：B． 2．（24-25八年级上·青海西宁·期中）一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算方法是解题的关键． 一个边形从一个顶点处可以引出条对角线，由此计算即可． 【详解】解：一个边形从一个顶点处可以引出条对角线， ， ， 故选：． 3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形共有对角线_____条． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，设该正多边形的边数为，根据多边形的内角和定理计算出多边形的边数，然后根据边形对角线的总条数为计算即可，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的关键． 【详解】解：设该正多边形的边数为，依题意得： ， 解得：， ∴这个正多边形共有对角线（条）， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是______，对角线的总条数为______． 【答案】 12 50 【分析】此题考查多边形的内角和公式、多边形的外角和定理以及多边形的对角线的数量公式．根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，列式计算求出n，再根据多边形的对角线的数量公式进行计算即可． 【详解】解：设所求多边形的边数为n， 一个多边形外角和是内角和的， ， ； 对角线的数量为（条）； 答：这个多边形的数为12，对角线的数量为50条． 故答案为：12，50． 题型二 多边形内角和问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为______． 【答案】/250度 【分析】本题考查多边形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求得，再根据四边形的内角和为求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛．要求这个花坛的内角和为，则这个花坛应设计成（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，根据多边形内角和公式可得出，解出n即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意可知：， 解得：， 则这个花坛应设计成七边形， 故选：A 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，多边形，是延长线上的一点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．先根据邻补角求出，再根据多边形的内角和定理求出五边形的内角和，即可求解． 【详解】解： ， ， 五边形的内角和是， ， 故选：C． 4．（25-26八年级下·浙江·期中）一个六边形如图所示．已知．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质及多边形内角和求解即可，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ， 即， 同理，，， ， ， ，， ， 故选：A． 题型三 多边形外角和实际应用（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 【答案】/360度 【分析】本题考查多边形的外角和，根据n边形的外角和为即可求解． 【详解】解：八边形的外角和为． 故答案为： 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了______米． 【答案】200 【分析】本题主要考查了多边形的外角，掌握公式即可求出． 利用多边形外角和等于360度即可求出答案． 【详解】解：因为小陈从点出发当他第一次回到出发点A时正好走了一个正多边形， ∵正多边形的外角和等于， （米）． 故答案为：200． 题型四 多边形外角和和内角和综合应用（共6小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和为，则它的边数为__________． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，根据内角和的计算公式和外角和为360度，设边数为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设边数为，由题意，得：， 解得：； 故答案为：5． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）若边形的每个内角都为，则等于________；它的外角和度数是________． 【答案】 /360度 【分析】本题主要考查了多边形内角和、中心角等知识点，掌握多边形内角和公式是解答本题的关键．根据多边形内角和公式解方程求得n，然后根据多边形外角和为即可得出结果． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 它的外角和度数是． 故答案为：，． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如果一个多边形的边数是5，则这个多边形的外角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角和定理，根据n边形内角和为求解即可得到答案； 【详解】解：∵多边形外角和为， ∴如果一个多边形的边数是5，则这个多边形的外角和是． 故选：B． 4．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题利用多边形外角和为定值，结合多边形内角和公式列方程求解边数，将几何问题转化为方程问题解决． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得 ， ∴这个多边形的边数为． 5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．    (1)将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… n ∠α的度数 60°　   　 　   　 　   　 　   　 …… (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)不存在，理由见解析． 【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的； （2）根据正n边形中的，可得答案． 【详解】（1）解：观察上面每个正多边形中的，填写下表： 正多边形边数 3 4 5 6 的度数 故答案为：，，，； （2）解：不存在，理由如下： ∵设存在正边形使得， ∴． 解得：，n不为正整数，不合题意，舍去， ∴不存在正边形使得． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等． 题型五 利用平行四边形的性质求线段（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，交于点O，，若，，则的长为（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键． 由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理即可求出，进而在中即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，． 故选：C 2．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，平行四边形中，的平分线交于，则的长（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质得，，，则，结合为角平分线可知，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，已知的对角线与相交于点，，将沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，连接．若，则的长度为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，连接，，根据折叠的性质得出，，进而证明，是等腰直角三角形，根据勾股定理就得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 如图，连接，， ∵折叠，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴ 故选：A． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点，，且，则的长为_____________． 【答案】或 【分析】利用平行四边形的性质得到，，，根据角平分线的定义，结合平行线的性质得到，由等角对等边得到，同理得出，分两种不同位置情况计算的长即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴ 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 题型六 利用平行四边形的性质求面积（共8小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点A作于E，则是等腰直角三角形，可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，F恰好为的中点，则______，与平行四边形重叠部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和折叠的性质可证明，则，再根据线段中点的定义可得，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，利用勾股定理求出，再根据重叠部分的面积为的面积，即面积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵F恰好为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴与平行四边形重叠部分的面积为， 故答案为：；． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线和交于点，且，若，，则的面积为（    ） A． B． C．8 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，则可得，再利用勾股定理可得的长，从而可得的长，然后利用平行四边形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在▱中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为、、、，已知、、，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形的面积面积面积． 阴影部分是三角形与三角形的公共部分，而，，这三块是平行四边形中没有被三角形与三角形盖住的部分，故面积面积平行四边形的面积，而与的面积都是平行四边形面积的一半，据此求得的值． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ， 即， 解得， 故选：A． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，若，，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积计算，由题意先判断四边形和四边形都为平行四边形，再根据，可得，再由，可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，点E、F分别在上，依次连接，图中空白部分的面积分别为，已知，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．38 B．40 C．42 D． 【答案】A 【详解】本题考查了平行四边形的性质，解决为题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：设平行四边形的面积为S，则，由图形可知，面积面积平行四边形的面积，求出，再根据求解即可． 【分析】解：设平行四边形的面积为S，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ∴， 即， 解得， ∴ ． 故选：A． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在▱中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为、、、，已知、、，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形的面积面积面积． 阴影部分是三角形与三角形的公共部分，而，，这三块是平行四边形中没有被三角形与三角形盖住的部分，故面积面积平行四边形的面积，而与的面积都是平行四边形面积的一半，据此求得的值． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ， 即， 解得， 故选：A． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，若，，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积计算，由题意先判断四边形和四边形都为平行四边形，再根据，可得，再由，可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，点E、F分别在上，依次连接，图中空白部分的面积分别为，已知，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．38 B．40 C．42 D． 【答案】A 【详解】本题考查了平行四边形的性质，解决为题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：设平行四边形的面积为S，则，由图形可知，面积面积平行四边形的面积，求出，再根据求解即可． 【分析】解：设平行四边形的面积为S，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ∴， 即， 解得， ∴ ． 故选：A． 题型七 利用平行四边形的性质求角度（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，由平行四边形对边平行结合平行线的性质可得，则由已知条件可得，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，平分交于点，连接．若，，则的度数为（   ） A．50° B．60° C． D．80° 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，，推出，，证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由可得，即可求解． 【详解】解： 平分， ， 平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，连结，过点作，垂足为．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据平行四边形对角相等可知，根据等边对等角可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据角的和与差可求的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，为对角线，为边上一点，连接、，且．若平分，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，根据平行四边形的性质，推出，等边对等角，得到，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，点E为边上一点，将沿直线翻折，点A落在点F处，则等于（     ） A． B． C． D．无法判断，与点E的位置有关 【答案】A 【分析】本题考查了翻折的性质，平行四边形的性质，过点作，则可得，则可得，即可解答，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， 如图，过点作， ，， ， ， 将沿直线翻折，点A落在点F处， ， ， 故选：A． 题型八 利用平行四边形的性质证明（共6小题） 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知的两条对角线相交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形，两条对角线相交于点， ∴，，， ∴， 故选项A、B、D正确，不符合题意， ∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论： ； ； ； ．其中正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，证，得 ，，，则，得，故正确，不一定等于，故不正确，不一定成立，故不正确，即可得出结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故正确， ∴， ∴，故正确， ∴四边形是平行四边形， ∴，而不一定成立，故不正确， ∵不一定等于， ∴不正确，故不正确， 故选：． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图所示，在中，是对角线，作于点，于点． (1)求证： (2)若，，时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等. （1）由平行四边形对边平行且相等可得且，进而可证明； （2）由 可得，由勾股定理分别求出即可. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴且，       ∴，                   ∵， ∴，      ∴， （2）解：由（1）得 ， ∴，      ∵ ∴. ， ∴的周长为 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，是对角线，作 于点E， 于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形、 (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用； （1）先证明，，， ，可得，从而可得结论； （2）先证明， ，结合， 可得， 设 ，则有，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∵于点 E，于点 F， ∴， ∴， 在和中，， ，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设 ，则有， ∴， ∴， ∵， ∴. 5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连结. (1)求证：. (2)若，求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等. （1）由平行四边形对边平行且相等可得且，进而可证明，可得； （2）由 可得，，设，则，由勾股定理解求出，再用勾股定理解即可. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴且，       ∴，                   ∵， ∴，      ∴，          ∴； （2）解：由（1）得 ， ∴，，      设，则， ∴ ，                 在中，由勾股定理，得 ，      即，   解得 ，                  ∴， ∴. 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，相交于点O，E，F分别是中点． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，求得，推出四边形是平行四边形，得到，根据矩形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是矩形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴四边形是矩形． 题型九 利用平行线间的距离解决实际问题（共5小题） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且 若与的距离为，与的距离为，则的面积为__________． 【答案】 【分析】先过点作，交于，交于，由于，，易知，那么，，而，可得，根据同角的余角相等可得，根据可证，于是，，在中利用勾股定理可求，进而可求的面积． 【详解】过点作，交于，交于，如图， ，， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，作辅助线，构造全等三角形，并证明是解题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为______． 【答案】 【分析】分类讨论：①当点落在对角线上时和②当点落在对角线上时，分别正确作出辅助线，结合题意求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当点落在对角线上时，连接，如图， ∵将长方形沿折叠，点的对应点为， ∴，． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动的距离为2； ②当点落在对角线上时，作于点H，如图， ∴． ∵在长方形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， ∴此时点运动的距离为． 综上可知点运动的距离为2或． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，的面积为16，点在上，点，在上，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】8 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、平行四边形的面积公式、三角形的面积公式等知识，证明图中阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半是解题的关键．由平行四边形的性质得，设与之间的距离为，则，而，所以，即可求得图中阴影部分的面积为8，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 设与之间的距离为，则， ， ， 图中阴影部分的面积为8， 故答案为：8 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在同一平面内，有相互平行的三条直线，，，且，之间的距离为1，，之间的距离是2，若等腰的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，，在的面积是_______． 【答案】5 【分析】本题考查了平行线的距离，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，过作于，过作于，证明，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 5．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，点C在上．若，的面积为27，的面积为18，则______．    【答案】6 【分析】过点A作于点M，过点C作于点N，先根据三角形的面积公式求出，则，最后根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：过点A作于点M，过点C作于点N， ∵，的面积为27， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵的面积为18， ∴， 解得：， 故答案为：6．    【点睛】本题主要考查了平行线的间的距离处处相等，解题的关键是熟练掌握平行线间距离处处相等． 题型十 在网格中画平行四边形（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在方格纸中按要求画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形．（图中每个小方格的边长为 1，点A，B，C，D都必须在格点上） (1)在图1中画一个以点A，B，C为顶点的平行四边形． (2)在图2中画一个，使平行四边形的一条边等于其一条对角线，且面积为4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格作平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定是解答的关键． （1）根据网格特点和平行四边形的判定作图即可； （2）根据网格特点和平行四边形的判定作图即可 【详解】（1）解：画法不唯一，如图1，四边形或四边形即为所求； （2）解：画法不唯一，如图2，四边形即为所求． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，矩形网格是由10个全等的小长方形组成的，每个小长方形的顶点称为这个矩形网格的格点，请以格点为顶点按要求作四边形． (1)在图1中画出一个以A，B为顶点的平行四边形； (2)若小长方形的宽为1，请在图2中画出一个边长为的菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理及其逆定理，菱形的判定，正方形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． （1）取格点，，连接，，，，可得，即可得到平行四边形； （2）取格点，，，，依次连接得到四边形，由勾股定理可得，由勾股定理逆定理可得，则菱形也为正方形，故面积为17． 【详解】（1）解：如图，取格点，，连接，，，，则四边形为平行四边形． （2）解：如图，取格点，，，，依次连接得到四边形，则四边形为所求作菱形． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，是由边长为1的正方形构成的网格，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出以为一边的格点． (2)在图2中，画出以为对角线的格点，且它的面积最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了网格中作平行四边形， （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意作出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 4．（2024·浙江宁波·一模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，点A，B均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．    (1)在图1中，以点A，B为顶点画一个等腰三角形，其中点C在格点上． (2)在图2中，以点为边画一个平行四边形，其中点D，E在格点上． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是作等腰三角形与平行四边形，涉及等腰三角形的判定与平行四边形的判定，熟记等腰三角形与平行四边形的判定是画图的关键； （1）由等边三角形的性质取格点C，可得，则即为所画的三角形； （2）取格点D，E，由等边三角形的性质可得，，可得四边形即为所画的平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所画的等腰三角形；    （2）如图，四边形即为所画的平行四边形；    5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，点是正方形网格中的三个格点，请按下列要求作出格点四边形（四边形的顶点均在格点上）    (1)在图1中画出格点四边形，使其为中心对称图形； (2)在图2中画出格点四边形，使其为平行四边形，并使该平行四边形的一边所在直线与的夹角为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接作格点四边形为平行四边形即可； （2）取格点F，连接，使，且，再取格点E，连接，使，且，连接即可． 【详解】（1）解：如图1，平行四边形即为所求.    （2）解：如图2，取格点F，连接，使，且， 此时与的夹角为， 再取格点E，连接，使，且，连接， 则四边形即为所求．   ． 【点睛】本题考查中心对称图形、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称图形、平行四边形的判定是解答本题的关键． 题型十一 判断能否形成平行四边形（共5小题） 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可．本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵，∴， ∵，∴， ∴，∴四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、若，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形（如等腰梯形），故选项D符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判方法逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故A正确； B．添加不能证明四边形为平行四边形，故B不正确； C．添加不能证明四边形为平行四边形，故C不正确； D．添加不能证明四边形为平行四边形，故D不正确； 故选A． 题型十二 添加一个条件使得成为平行四边形（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江衢州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键．设交于点，则，，因为，所以，则四边形是平行四边形，可判断A不符合题意；由，，不能证明与全等，则不能证明与平行，所以不能证明四边形是平行四边形，可判断B符合题意；由，得，可证明，则，所以四边形是平行四边形，可判断C不符合题意；由，，推导出，可证明，得，则四边形是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故A不符合题意； 由，，不能证明与全等， 不能确定与是否相等， 不能证明与平行， 不能证明四边形是平行四边形， 故B符合题意； ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，推出，由此判断B；由得到，由此依据B判断C选项；添加，由此证明，得到，推出，由此判断D；由此得到A选项符合题意． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意； 添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A不能； 故选：A． 【点睛】此题考查了添加条件证明平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， A选项：已知，添加， 一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B选项：， ， 添加， 只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； C选项：已知，添加， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四形，可知四边形是平行四边形， 故C选项符合题意； D选项：， ， ， ， 只有一组对边平行，不能说明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）在四边形中，，要判定四边形为平行四边形，可添加条件（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：如图：A.添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，因此A选项不合题意； B.添加后，利用平行线的判定定理可得，四边形是两组对边平行，能判定为平行四边形，因此B选项符合题意； C.添加平分后，利用角平分线的定义和平行线的性质可推出，四边形一组对边平行，一组邻边相等，不能判定为平行四边形，因此C选项不合题意； D.添加后，四边形一组对边平行、邻边相等，不可以判定为平行四边形，因此D选项不符合题意． 故选B．    【点睛】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 题型十三 利用平行四边形的性质与判定求解（共6小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作 ，从而可得 ，进而可得的面积的面积，然后再根据作 ，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在中，，，，分别平分和．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作交与点，设与交于点，由平行线的性质和角平分线的性质可证，由平行线的性质可求，由平行线的性质和角平分线的性质可证，由勾股定理可求的长，由“”可证 ，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得． 【详解】解：过点作交与点，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，点是等边三角形内任意一点，，，，点，，分别在，，上，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的性质和平行四边形的性质，利用其性质解题是解题关键. 延长 交于点M，过点作 交于点N，可得，为等边三角形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即 ， ，；最后； 【详解】解：延长 交于点M，过点作 交于点N， ∵，，，等边三角形 ∴，为等边三角形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴ ， ， ∴ 故答案为：6 . 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知四边形和四边形都是平行四边形，，连接并延长交于，若，，，，连接，则的长为______________，的长为__________________． 【答案】 1 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和勾股定理，过点D作，交的延长线于点H，连接，先根据平行四边形的性质得出，在中求出和，再用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质求出且，然后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点H，连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1；． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，平分，，G是的中点，连接，则_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由平行四边形的性质得出，，，延长、交于点T，过点F作，则，再得出点H为斜边的中点，再根据直角三角形的性质得出，再利用平行四边形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴， 延长、交于点T，过点F作，如下图： 则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴点H为斜边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：2． 6．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在中，是锐角，，，，，连结．若，则的长为______． 【答案】4 【分析】设，通过作辅助线构造平行四边形，可用x表示出，最后分别在和中利用勾股定理得到用x表示的式子，建立方程后，求出x，进而即可求出的长． 【详解】解：设，则在中有， 如图，延长至点G使，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵平行四边形中， ∴三点共线， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴， ∴，负值舍去． 故答案为：4． 【点睛】本题综合考查平行四边形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用等内容，要求学生能够通过作辅助线构造平行四边形或等腰三角形，能利用勾股定理建立方程求出线段的长，本题综合性较强，运用了数形结合思想，考查了学生的综合分析能力． 题型十四 利用平行四边形的性质与判定证明（共6小题） 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，E是上一点，连结，作，交于点F． (1)求证：． (2)连结，已知，，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，得到，由中，，即可根据线段的和差得证结论； （2）设，则，根据勾股定理得到，，从而，代入数值即可求出，从而根据平行四边形的对边相等即可解得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，， ∴， 即． （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴在中，． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，两条对角线，相交于点O，E是的中点，连结并延长至点F，连结，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的判定定理得到结论． （2）根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到，求得，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在平行四边形中，为底，为高， ∴的面积． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连结，，． (1)求证：． (2)当，且时． ①如图2，若， ，三点共线，求四边形的周长． ②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等； （2）①根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长；②通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积 ． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵点与关于对称， （2）①，A，三点共线，且点与关于对称， ， ，， 为等腰直角三角形，根据勾股定理可得： ，， ∴ 四边形是平行四边形 ∵ ， ∴是正方形 ，. ②过点作的平行线，交，分别于点E，F； ∵点关于的对称点为点 ∴ ∵， ∴ ∴ 由∵ ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴为等腰的边中点， ∴为中点，为中点， ∵ ∴ 则 ∴ ∵， ∴， 设，则， 在Rt中，， 解，得 ， 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理及对称性质，熟练掌握这些性质定理，灵活运用判定与性质进行推理、计算是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接交于点O，由平行线的对角线互相平分得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出线段的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，是的一条对角线，于点，于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质于判定、平行四边形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意得出，根据平行四边形的性质，证明，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得，则，进而根据勾股定理，在 和 中，得出，，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ，． 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． 又， ， ， ． ， ， ，， ， 在 和 中，，， 四边形的周长是． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）小聪与小慧一起研究尺规作图问题： 如图，在锐角三角形中，，是边上的中线．现在要找一点，使四边形是平行四边形． 小聪：以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连结，． 小慧：以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结，． 小聪：小慧，你的作法有问题． 小慧想了想说：哦……我明白了！ (1)请完成小聪的作图，并证明作出的四边形是平行四边形． (2)指出小慧作法中存在的问题． 【答案】(1)见解析 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，按晓慧的作法，画出的是一个两组临边相等的四边形，不一定是平行四边形 【分析】本题考查了作平行四边形，平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； （1）根据题意画出图形，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）按晓慧的作法，画出的是一个两组临边相等的四边形，不一定是平行四边形． 【详解】（1）解：小聪的作图如图所示． 证明：由题意得， 是边上的中线， ， 四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，按晓慧的作法，画出的是一个两组临边相等的四边形，不一定是平行四边形．（言之有理即可） 题型十五 平行四边形中动点问题（共6小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】或5 【分析】此题考查了平行四边形的判定．分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形 即， 解得：； 综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或5． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在矩形中，，O为中点，平分，E、F分别在边、上，连结，且经过点O． (1)如图1，求证四边形为菱形，并求长； (2)如图2，动点P、O分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请画出符合题意的图形，并求a与b满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析；AF=5cm (2)①；②图形见解析；a+b=12 【分析】（1）利用SAS证明△AOE≌△COF，得OE= OF，可知四边形AFCE是平行四边形，再说明AF=CF即可证明是菱形，设菱形的边长AF= CF= xcm，则BF= (8- x)cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理得：42 + (8-x)2=x2， 解方程即可； （2）①通过判断可知因此只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形，根据QA= PC，从而得出答案； ②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况分别画出图形，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥ BC， ∴∠CAD= ∠ACB，∠AEF= ∠CFE， ∵O为AC中点， ∴OA = OC， ∴△AOE≌△COF (AAS)， ∴OЕ = OF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC平分∠EАF， ∴∠CАD=∠CАF， ∵∠CAD= ∠ACB， ∴∠CАF =∠ACB， ∴AF=CF， ∴四边形AFCE为菱形； 设菱形的边长AF= CF = xcm，则BF=(8- x)сm， 在Rt△ABF中，由勾股定理得42 + (8-x)2=x2 解得x =5， ∴AF= 5； （2）解：①∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，AF=5，CD=4 ∴当点P在AF上时，Q点在CD上，此时A，C， P，Q的四点不可能构成平行四边形， 同理，P点在AB上时，Q点在DE或CE上也不能构成平行四边形， 因此只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形， ∴以A，C，P，Q的四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC= QA， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC = 5tcm，QA=CD+AD-4t=12-4t， 即QA=12-4t， ∴5t=12-4t， 解得， ∴当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为； ②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况： Ⅰ：如图， 当P点在AF上，Q点在CE上，AP= CQ，即a= 12- b， ∴a+b= 12； Ⅱ：如图， 当P点在BF上，Q点在DE上时，AQ = CP，即12- b= a， ∴a+b= 12； Ⅲ：如图， 当P点在AB上，Q点在CD上时，AP = CQ，即12-a=b， ∴a+b= 12； 综上，a与b满足的数量关系为a+b= 12(ab≠0)． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，化动为静，运用分类讨论思想是解题的关键． 3．（25-26八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 4．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． （2）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)当时，__________； (2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质是解决问题的关键． （1）当时，，可知为等边三角形，即可求得； （2）由题意可知，，，分两种情况：当时，点在点右侧，当时，点在点左侧，建立等式即可求解； （3）分两种情况：当对称点落在线段上时，当对称点落在线段的延长线上时，建立等式即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 过点作， ∵，，则，， ∴，四边形是矩形， ∴，则， ∴，则， 由题意可知，，， 当时，点在点右侧，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即：，解得：； 当时，点与点重合，符不符合题意； 当时，点在点左侧，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即：，解得：； 综上，当或时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形； （3）如图，当对称点落在线段上时，根据题意，得平分， 此时，由（2）可知， ∵，，平分， ∴， ∴，即：， 解得：； 如图，当对称点落在线段的延长线上时，根据题意，得的反向延长线平分，此时，由（2）可知， ∵，，平分， ∴，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即：， 解得：， 综上，动点M关于直线对称的点恰好落在直线上时，或． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设． (1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长． (2)如图2，是的中点，以，为邻边构造． ①当点与点重合时，连结，求的长． ②当点落在的边上时，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据勾股定理得，由已知得，再代入即可； （2）①根据平行四边形的性质得，，进一步推出，证明四边形是平行四边形，得，继而得到，代入计算即可； ②分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即线段的长为； （2）①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵与重合，， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在边上时， 延长至点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在边上时， 延长至点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型十六 平行四边形性质与判定综合压轴（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在中，．点D是边上的动点，连结，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F． (1)当点D为中点时，线段________． (2)如图2，作交AB于点G，连结交于点H．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，=________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据旋转的性质可得，从而得到，垂直平分，再由，可得，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，再结合旋转的性质可得，从而得到，再由，可得到，从而得到，即可求证； （3）①设，则，可得，再结合旋转的性质以及等腰三角形的性质可得，再根据，可得，即可求解；②连接交于点M， 根据平行四边形的性质可得，，从而得到，设，，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴，垂直平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：①设，则， ∴， ∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； ②连接交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， 设，，则，． ∴． 故答案为：．时，=_ 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行四边形的性质与判定，平行线之间的距离相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究． (1)探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：． (2)应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：； (3)应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解答本题的关键. （1）由勾股定理可得出结论； （2）连接，由，可得出结论； （3）连接交于，设与的交点为，由点、分别是，的中点，得到是的中位线于是证出，由四边形是平行四边形，得到，，分别是，的中点，得到，证出四边形是平行四边形，证得，推出，分别是的中线，由（2）的结论得即可得到结果. 【详解】（1） 如图由勾股定理得： ， ， （2） 证明：连接， ， ， ，， ，， ， ，，， ， （3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为， 点、分别是，的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ， ， ，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ， ． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积． (3)如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】（1）由旋转可知，得到，然后有平行四边形的性质得到，进而求解即可； （2）过C作，求出，，，然后求出，得到，勾股定理求出，然后求出，进而求解即可； （3）如图，过B作，过G作，连接，，，求出，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）由旋转可知 ∴   ∵在中      ∴     ∴     ∴ 平分； （2）如图，过C作 ∵由旋转得到   ∴，， ∵ B，E，F三点在同一直线， ∴ ∴     ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴     ∴     ∵ ∴； （3）如图，过B作，过G作，连接，，． ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴点H为的中点． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $