专题集训20 随机变量及其分布-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(二十)　随机变量及其分布 (时间：40分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1.(15分)(2025·甘肃白银模拟)某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加. (1)求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； (2)记参加活动的女学生的人数为X，求X的分布列及期望E； (3)若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为Y，求Y的期望E. 解：(1)设“有女学生参加活动”为事件A，“恰有一名女学生参加活动”为事件B， 因为P＝＝，P＝＝，所以P＝＝＝. (2)依题意知X服从超几何分布，且P＝， 所以P＝＝，P＝＝， P＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E＝0×＋1×＋2×＝. (3)设一名女学生参加活动可获得的分数为X1，一名男学生参加活动可获得的分数为X2，则X1的所有可能的取值为3，6，X2的所有可能的取值为6，9. 所以P＝P＝，E＝3×＋6×＝， P＝P＝，E＝6×＋9×＝. 因为有X名女学生参加活动，所以有2－X名男学生参加活动， Y＝X＋＝15－3X， 所以E＝E＝15－3E＝15－3×＝13， 所以两个学生的得分之和的期望为13分. 2.(15分)(2025·河北保定一模)为测试某人工智能机器人在动态环境中执行路径规划的能力，命令该人工智能机器人在动态环境中执行路径规划任务，任务规则如下：该机器人需要依次通过5个关键区域，成功通过3个区域即认为其完成任务，每个区域存在动态障碍物，机器人成功通过一个区域的概率为，被障碍物阻挡的概率为.每成功通过一个区域得6分，每被障碍物阻挡一次扣3分，每个区域的测试结果相互独立，若机器人累计成功通过3个区域，任务提前结束，若机器人被障碍物阻挡的次数达到3次，则任务无法完成，任务结束. (1)若任务在过第4个区域后终止且人工智能机器人完成任务，求此事件的概率； (2)记任务结束时该人工智能机器人的总得分为X，求X的分布列和数学期望. 解：(1)因为在过第4个区域后终止任务且人工智能机器人完成任务， 所以机器人通过了第4个区域，且前3个区域通过2个区域、被阻挡1个区域， 故事件概率为·()2·＝. (2)由题意，总得分X的可能值为18，15，12，3，－3，－9. 前3次都成功通过，此时X＝18，则P(X＝18)＝＝， 前3次有2次成功通过、1次被阻挡，第4次成功通过，此时X＝15，则P(X＝15)＝＝， 前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次成功通过，此时X＝12，则P(X＝12)＝＝， 前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次被阻挡，此时X＝3，则P(X＝3)＝＝， 前3次有1次成功通过、2次被阻挡，第4次被阻挡，此时X＝－3，则P(X＝－3)＝＝， 前3次都被阻挡，此时X＝－9，则P(X＝－9)＝＝. 所以X的分布列为 X 18 15 12 3 －3 －9 P 则E(X)＝18×＋15×＋12×＋3×＋(－3)×＋(－9)×＝. 3.(15分)为加强中小学科学教育，某市科协、市教育局拟于2026年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2 000元，该项目不再挑战，若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1 000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. (1)设事件A＝“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求P； (2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量X，求X的分布列； (3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 解：设Ai表示“第i次挑战第一个项目且挑战成功”，设Bi表示“第i次挑战第二个项目且挑战成功”，i＝1，2，则P＝P＝，P＝P＝. (1)由题意A＝A1B1∪A1B2∪A2B1∪A2B2， P＝×＝， P＝PP＝PP()P(B2｜)＝××＝， P＝PP＝PP(A2｜)P＝××＝， P＝PP＝×××＝， 所以P＝＋＋＋＝. (2)根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1 000，2 000，3 000，4 000. 所以P＝P＝P()(1－P(A2｜))＝×＝， P＝P＝P P＝×××＝， P＝P＋P＝××＋×××＝， P＝P＋P＝××＋××＝， P＝P＝×＝. 所以X的分布列为 X 0 1 000 2 000 3 000 4 000 P (3)由(2)知E＝1 000×(0×＋1×＋2×＋3×＋4×)＝. 因为本届挑战赛共有36支参赛队，36E＝36×＝109 250， 所以估计该赞助商提供奖金总额为109 250元. 4.(15分)(2025·广东中山一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 解：(1)设甲正确完成面试题数为X，乙正确完成面试题数为Y， 则X可取1，2，3，Y可取0，1，2，3. 则P＝＝，P＝＝， P＝＝. 所以甲正确完成面试题数X的分布列为 X 1 2 3 P E＝1×＋2×＋3×＝2. P＝××＝，P＝××＝， P＝××＝，P＝××＝. 所以乙正确完成面试题数Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P E＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. (2)由(1)得D＝×＋×＋×＝， D＝×＋×＋×＋×＝， 因为D＜D，所以甲的成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 学科网（北京）股份有限公司 $