专题集训19 计数原理与概率-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(十九)　计数原理与概率 (时间：40分钟　满分：73分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(1—8题，每小题5分， 共40分) 1.(2025·河北保定一模)勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为(　　) A.120 B.240 C.300 D.320 答案：D 解析：先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为5×4×4×4＝320.故选D. 2.(2025·山东济宁一模)(2x－1)11的展开式中的常数项为(　　) A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析：(2x－1)11＝2(2x－1)11＋(2x－1)11，(2x－1)11的二项展开式的通项为Tk＋1＝(2x)11－k·(－1)k＝(－1)k·211－kx11－k，所以2(2x－1)11＝(－1)k212－kx11－k①， (2x－1)11＝(－1)k211－kx10－k②，在①式中，令11－k＝0得k＝11，故2(2x－1)11的常数项为(－1)1121＝－2，在②式中，令10－k＝0得k＝10，则(2x－1)11的常数项为(－1)1021＝22，故(2x－1)11的展开式中的常数项为－2＋22＝20.故选B. 3.(2025·云南红河三模)广东省第十二届大学生运动会于2025年5月6日至5月29日在广州市举行.某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道.若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设“记者甲被选中”为事件A，“记者乙被选中”为事件B，则“记者甲和记者乙都被选中”为事件AB.因为n＝4，n＝1，所以P＝＝.故选D. 4.(2025·陕西咸阳二模)2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象.这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，农历中会设置闰月，2025年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中，双春年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双，在这一年做任何事都会有好兆头.那么，用2 025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为(　　) A.294 B.297 C.298 D.300 答案：B 解析：2 025，66，2，0，2，5这6个数的全排列为，又0排在首位有种排法，又有2个2，它们之间的排序有种排法，当2，0，2，5这4个数以2 025这种顺序与66和2 025排序有＝3种，所以用2 025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为－＝297.故选B. 5.(2025·山东潍坊二模)现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区的人数分别为3，1，1或2，2，1，所以不同的分法种数为＝×6＝150种；现在考虑甲、乙安排在同一个社区，若甲、乙所安排的社区有3人，则还需从另外3人中抽1人，此时分法种数为＝18种；若甲、乙所安排的社区只有他们两人，此时只需将剩余3人分为两组，则分法种数为＝18种.综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为＝.故选C. 6.(2025·山东济宁一模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，则P＝0.7×0.7＋2×0.7×0.3×0.7＝0.784，P＝2×0.7×0.3×0.7＝0.294，所以P＝＝＝.故选C. 7.(2025·河南郑州一模)将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有1～8八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则P(max＝8｜min＝4)＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设事件A为：min＝4.当min＝4时，可分三类：第一次掷出4，第二次掷出大于4的数，即第二次可以是5，6，7，8，共4种情况；第二次掷出4，第一次掷出大于4的数，即第一次可以是5，6，7，8，共4种情况；第一次和第二次都掷出4，共1种情况.所以事件A包含的基本事件数为4＋4＋1＝9.设事件B为：max＝8，则事件AB为：max＝8且min＝4，有X＝4，Y＝8和X＝8，Y＝4两种情况.由条件概率公式P＝＝＝.故选B. 8.某规范化考场的规格为每场30名考生，分为6排5列，依照如图所示的方式进行座位号的编排.为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为A卷和B卷，座位号为奇数的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加考试，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有(　　) 第5列 第4列 第3列 第2列 第1列 25 24 13 12 01 第1排 26 23 14 11 02 第2排 27 22 15 10 03 第3排 28 21 16 09 04 第4排 29 20 17 08 05 第5排 30 19 18 07 06 第6排 A.2 016种 B.1 008种 C.1 440种 D.720种 答案：A 解析：先考虑甲、乙、丙三人使用A卷，则这三个人的座位号都为奇数，分以下几种情况讨论：(1)若这三人都在奇数列，则有一人需在第1列选一个奇数号的座位，有3种情况，然后有一人在第3列要选一个奇数号的座位，但与第一人不能在同一排，只有2种情况，最后一人只能在第5列选择一个奇数号的座位，但该人不能与前两人在同一排，最后一人的座位只有一个，此时，共有3×2×1×＝36(种)不同的排法.(2)三人中只有两人在奇数列，首先在第1，3，5列中选两列，有种选择，其次，第一个人在其中的第一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，第二个人在另一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有2种选择，第三个人在两个偶数列中选择一个奇数号的位置，有6种选择，此时，共有×(3×2×6)×＝648(种)不同的排法.(3)三人中只有一人在奇数列，第一个人在第1，3，5列中随便选择一个奇数号的位置，有9种选择，其次，第二个人在第2列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，例如第二个人选择11号座位，由于第三个人不能与第二个人同排或同列，则第三个人只有2种选择，即19号和21号两个位置可供选择，此时，共有9×3×2×＝324(种)不同的排法.综上所述，当三个人都考A卷时，不同的排法种数为36＋648＋324＝1 008.由对称性可知，当三人都考B卷时，不同的排法种数也为1 008.综上，当三人的试卷类型相同时，不同的座位安排方案种数为1 008×2＝2 016.故选A. 二、多项选择题(9—11题，每小题6分， 共18分) 9.(2025·江苏常州金坛区模拟)在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是(　　) A.n＝8 B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C.常数项为 D.展开式中系数最大项为第3项和第4项 答案：ABD 解析：展开式的通项为Tk＋1＝＝，则前3项的系数分别为，，，对于A，由题意可得2×＝＋，即n＝1＋，解得n＝8或n＝1(舍去)，所以n＝8，故A正确；对于B，＝128，故B正确；对于C，展开式的通项为Tk＋1＝xk－4，令k－4＝0，则k＝4，所以＝，故C错误；对于D，设展开式中第r＋1项的系数最大项，则有解得r＝2或r＝3，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.故选ABD. 10.(2025·北京东城模拟)一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则(　　) A.事件A1，A2为互斥事件 B.事件B，C为独立事件 C.P＝ D.P＝ 答案：ACD 解析：第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，故A正确；由于红球有3个，白球有2个，事件B发生时，两球同为白色或同为红色，P(C｜B)＝＝＝，事件B不发生时，则两球一白一红，P(C｜)＝1，B，C不独立，故B错误；P(B)＝＝，故C正确；事件A2发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C才发生，所以P(C｜A2)＝，故D正确.故选ACD. 11.(2025·湖州、衢州、丽水一模) 现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1，2，3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子(主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子).记Ai表示第i号箱子有奖品，Bj表示主持人打开第j号箱子.则下列说法正确的是(　　) A.P＝ B.P＝ C.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 答案：BC 解析：对于A，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即P(B3｜A2)＝1，故A错误；对于B，P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝，P(B3｜A1)＝，P(B3｜A2)＝1，P(B3｜A3)＝0，则P(B3)＝P(A1)P(B3｜A1)＋P(A2)P(B3｜A2)＋P(A3)P(B3｜A3)＝×＋×1＋×0＝，因此P(A1｜B3)＝＝＝＝，故B正确；对于C、D，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子，若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，故C正确，D错误.故选BC. 三、填空题(12—14题，每小题5分，共15分) 12.(2025·山东齐鲁名校大联考一模)已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含x项的系数为　　　　　　　. (用数字作答) 答案：15 解析：因为的展开式各项系数的和为(a－1)5，二项式系数的和为25，所以(a－1)5＝25，解得a＝3.因为的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k35－k·，由15－＝1，得k＝4，所以(－1)435－4＝15，即含x项的系数为15. 13.(2025·山东临沂一模)2025年春晚，刘谦表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.刘谦让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是　　　　. 答案： 解析：我们不妨用勺子、筷子和杯子的第一个字的拼音的第一个小写英文字母来代替这三个东西，例如skb代表勺子在左位，筷子在中位，杯子在右位，一开始的状态有skb，sbk，bks，bsk，ksb，kbs六种情况，我们用→表示一次调换，那么根据题意有，第一种初始状态下的变换过程为：skb→ksb，第二种初始状态下的变换过程为：sbk→skb，第三种初始状态下的变换过程为：bks→kbs→ksb，第四种初始状态下的变换过程为：bsk→bks→kbs，第五种初始状态下的变换过程为：ksb→ksb，(本质上没有调换)，第六种初始状态下的变换过程为：kbs→ksb，从以上可以看出来，末状态杯子在右边对应的初始状态有：第一、二、三、五、六种初始状态共5种情况，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的末状态只能是skb(对应的初始状态是第二种初始状态)，故所求概率为. 14.(2025·河南新乡二模)一个整数m的各位数字之和记为T，例如T＝9＋9＋9＋5＋2＝34.用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数按照从小到大的顺序排列为a1，a2，a3，…，an，则a299＝　　　　，T，T，T，…，T的平均数为　　　　. 答案：8 761　 解析：用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数的总个数为＝300，其中最大的四位数为8 764，所以a299＝8 761.四位数含0时，后三位选一位填0有种，再选一位填1(同理填4，6，7，8)有种，最后从余下的4个数字选2个填余下的两位有种， 所以1，4，6，7，8出现的次数均为次，四位数不含0时，四位选一位填1(同理填4，6，7，8)有种，从余下的4个数选3个填余下的三位有种，所以1，4，6，7，8出现的次数均为次，综上，1，4，6，7，8出现的次数均为＋＝204次，所以T，T，T，…，T＝. 学科网（北京）股份有限公司 $