专题集训14 空间向量与空间角-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(十四)　空间向量与空间角 (时间：40分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1.(15分)(2025·山东济南一模)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2，点P在线段BE上. (1)求证：平面ACP⊥平面ABF； (2)当直线AP与平面BCE所成角的正弦值为时，求. 解：(1)证明：由正方形ADEF有AF⊥AD.又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以AF⊥平面ABCD. 又AC⊂平面ABCD，所以AF⊥AC. 如图所示，过点A作AH⊥BC，则BH＝1，AH＝，CH＝3，所以AC＝2， 所以AB2＋AC2＝BC2，即AC⊥AB. 又AB∩AF＝A，所以AC⊥平面ABF. 又AC⊂平面ACP，所以平面ACP⊥平面ABF. (2)由(1)知AF，AB，AC两两互相垂直，分别以AB，AC，AF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示. 则有A，B，C，E. 设＝λ，则＝λ. 设P，则有＝λ(－1－a，－b，2－c)，解得a＝，b＝，c＝，得P， 所以＝，＝，＝. 设平面BCE的法向量为n＝，则有 令y＝1，得n＝. 设直线AP与平面BCE所成的角为θ， 所以sin θ＝＝＝＝＝， 解得λ＝或λ＝，所以＝. 2.(15分)(2025·河北沧州模拟)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥平面SAD，AD⊥SD，AB＝1，BC＝，AD＝SD＝，∠BCD＝60°. (1)证明：BC⊥BS； (2)求平面SBC与平面SCD夹角的余弦值. 解：(1)证明：连接BD.因为AB⊥平面SAD，AD⊂平面SAD，所以AB⊥AD. 又AB＝1，AD＝，所以BD＝2. 在△BCD中，∠BCD＝60°，BC＝，BD＝2. 由余弦定理可得CD＝，则BC2＋BD2＝CD2，即BC⊥BD. 因为AB⊥平面SAD，SD⊂平面SAD， 所以AB⊥SD. 又AD⊥SD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以SD⊥平面ABCD. 因为BC⊂平面ABCD，所以SD⊥BC. 因为SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，所以BC⊥平面SBD. 又BS⊂平面SBD，所以BC⊥BS. (2)以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过点A垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由AB＝1，AD＝，可得∠ABD＝60°，则∠xBC＝30°， 则B，D，S，C， ＝，＝，＝，＝. 设平面SBC的法向量为m＝， 则由 令x1＝，得m＝. 设平面SCD的法向量为n＝， 则由 令y2＝，得n＝. 设平面SBC与平面SCD的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 3.(15分)(2025·山东青岛一模)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，OA，OB是底面半径，∠AOB＝，M为劣弧上的动点. (1)若M为劣弧的中点，证明：OA∥平面PMB； (2)若圆锥底面半径为1，体积为π，当四边形OAMB面积最大时，求平面APM与平面BPM夹角的余弦值. 解：(1)证明：连接OM，因为∠AOB＝，M为的中点， 则∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝. 因为OA＝OB＝OM，则△AOM和△BOM均为等边三角形，所以AM＝OM＝BM＝OA＝OB， 故四边形OAMB为菱形，所以OA∥MB. 因为OA⊄平面PMB，MB⊂平面PMB，所以OA∥平面PMB. (2)由题意可知，PO⊥底面OAMB，圆锥的体积为π×12·PO＝π，可得PO＝2. 设∠AOM＝θ，则∠BOM＝－θ，其中0＜θ＜， 所以四边形OAMB的面积为S＝S△AOM＋S△BOM＝sin θ＋sin ＝sin θ＋＝sin θ＋cos θ＝sin. 因为0＜θ＜，则＜θ＋＜， 故当θ＋＝，即当θ＝时，S取最大值. 以点O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为y轴、z轴，平面OAMB内过点O且垂直于OB的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，M(，，0)，B，P. 设平面APM的一个法向量为m＝，＝，＝， 则取z1＝，则m＝. 设平面BPM的一个法向量为n＝，＝，＝， 则取y2＝2，可得x2＝2，z2＝，则n＝， 所以cos〈m，n〉＝＝＝， 因此当四边形OAMB面积最大时，平面APM与平面BPM夹角的余弦值为. 4.(15分)(2025·浙江台州二模)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝1，AB＝，M是PD的中点. (1)求证：直线CM∥平面PAB； (2)当二面角P-AD-B的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值. 解：(1)证明：如图所示，取PA的中点N，连接MN，BN.又M是PD的中点， 则MN∥AD，且MN＝AD＝1. 又因为AD∥BC，AD＝2，BC＝1， 所以MN∥BC且MN＝BC，所以四边形MNBC为平行四边形，故CM∥NB. 因为CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，所以直线CM∥平面PAB. (2)取AD的中点E，连接PE，CE，因为△PAD为等边三角形， 所以PE⊥AD，且PE＝＝. 因为AE∥BC且AE＝BC，所以四边形AECB为平行四边形，所以CE∥AB. 因为AB⊥BC，所以CE⊥AD，所以∠PEC为二面角P-AD-B的平面角，所以∠PEC＝. 因为CE＝AB＝，PE＝，所以△PCE为等边三角形. 因为AD⊥PE，AD⊥CE，PE∩CE＝E，PE，CE⊂平面PCE， 所以AD⊥平面PCE. 作PO⊥CE于点O，因为OP⊂平面PCE，所以AD⊥OP. 又因为PO⊥CE，AD∩CE＝E，AD，CE⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD. 如图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴， 以过O点平行于AD的直线为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系， 则P，D，C，M(－，，)，＝(－，，). 显然平面ABCD的一个法向量为n＝， 设直线CM与平面ABCD所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝＝， 故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为. 学生用书⬇第48页 学科网（北京）股份有限公司 $