专题集训12 数列中的子数列与增减项问题-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(十二)　数列中的子数列与增减项问题 (时间：40分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1.(15分)已知Sn为数列{an}的前n项和，且an＞0，＋2an＝4Sn＋3，bn＝a2n－1，cn＝3n. (1)求{an}的通项公式； (2)将数列{bn}与{cn}的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列{dn}，求{dn}的前10项的和. 解：(1)由＋2an＝4Sn＋3， 可知＋2an＋1＝4Sn＋1＋3， 两式相减得－＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝2(an＋1＋an). 因为an＞0，所以an＋1－an＝2. 又＋2a1＝4S1＋3，a1＞0，解得a1＝3， 即{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列， 所以{an}的通项公式为an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. (2)由(1)知bn＝4n－1，数列{bn}与{cn}的公共项满足bn＝ck， 即4n－1＝3k，k＝＝n＋， 而k，n∈N*，于是可令＝m－1(m∈N*)， 即n＝3m－2，此时k＝4m－3，m∈N*， 因此b3m－2＝c4m－3＝12m－9， 即dn＝12n－9， 数列{dn}是以3为首项，12为公差的等差数列. 令{dn}的前n项和为Tn， 则T10＝10×3＋×12＝570， 所以{dn}的前10项的和为570. 2.(15分)(2025·河北沧州模拟)已知数列的前n项和为Sn，Sn＝2n＋3－8. (1)求的通项公式； (2)若bn＝求数列的前n项和Tn. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝24－8＝8. 当n≥2时，由Sn＝2n＋3－8，得Sn－1＝2n＋2－8， 则an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n＋2＝2n＋2. 因为a1＝8＝21＋2，所以an＝2n＋2. (2)由(1)可得bn＝ 当n为偶数时，bn－1bn＋bnbn＋1＝2n＋2＋2n＋2＝2n＋3， 则Tn＝4×25＋6×27＋8×29＋…＋2n＋3， 则4Tn＝4×27＋6×29＋8×211＋…＋2n＋5， 则－3Tn＝4×25＋2×－2n＋5 ＝128＋－2n＋5 ＝， 则Tn＝. 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1bn＋2＝－(n＋4)2n＋3＝. 故Tn＝ 3.(15分)(新定义)已知是无穷正整数数列，定义操作D为删除数列中除以k余数为s的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若an＝3n－1，n∈N*，进行操作D后剩余项组成新数列，设数列的前n项和为Sn. (1)求Sn； (2)设数列满足cn＝log3b2n－1，求数列的前n项和. 解：(1)因为an＝3n－1，可知a1＝1(满足除以3余数为1)，当n≥2时，an为3的倍数， 进行操作D，即删除a1，剩余a2，a3，a4，a5，…， 则bn＝an＋1＝3n，可得log3＝log3(3n－1＋3n)＝log3＝n＋log34－1， 所以Sn＝＋n. (2)由(1)可知cn＝log3b2n－1＝log332n－1＝2n－1， 则＝＝， 所以数列的前n项和Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝. 4.(15分)已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，－2Sn＝n＋1，Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式； (2)在ak和(k∈N*)中插入k个相同的数2k构成一个新数列{bn}：a1，2，a2，22，22，a3，23，23，23，a4，…，求{bn}的前90项和T90. 解：(1)当n＝1时，a2＝2. 当n≥2时，得－2＝n. 又－2Sn＝n＋1， 两式相减得－＝2an＋1， ＝＋2an＋1＝(an＋1)2. 因为数列{an}各项均为正数，所以an＋1－an＝1. 又因为a2－a1＝1，所以数列{an}为等差数列， 故an＝a1＋n－1＝n. (2)在数列{bn}中，在ak＋1之前的所有项数为 k＋(1＋2＋3＋…＋k)＝，令≤90， 得k≤12，且当k＝12时，数列{bn}中，a13之前的所有项数恰好为90， 所以T90＝(a1＋a2＋a3＋…＋a12)＋(1×21＋2×22＋3×23＋…＋12×212) ＝＋(1×21＋2×22＋3×23＋…＋12×212) ＝78＋(1×21＋2×22＋3×23＋…＋12×212)， 令Q12＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋12×212， 则2Q12＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋12×213， 所以－Q12＝21＋22＋23＋24＋…＋212－12×213＝－11×213－2， 所以Q12＝11×213＋2， 所以T90＝78＋Q12＝11×213＋80. 学科网（北京）股份有限公司 $