专题集训11 数列中的不等式证明及恒(能)成立问题-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(十一)　数列中的不等式证明及恒(能)成立问题 (时间：40分钟　满分：82分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1.(15分)已知是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令bn＝，若数列的前n项和为Tn，求证：Tn≥. 解：(1)设数列的公差为d (d≠0)， 因为a1，a3，a9成等比数列，所以＝a1a9， 所以＝a1(a1＋8d)，整理得d2＝a1d， 因为a1＝1，d≠0，所以d＝1， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋n－1＝n. (2)证明：由(1)知an＝n，an＋1＝n＋1，所以bn＝＝＝－， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－ ＝1－， 显然为递增数列，所以Tn≥T1＝1－＝. 2.(15分)已知数列满足a1＝1，an＋1an＝an－2an＋1. (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为Sn，求证：Sn＜2. 解：(1)由题设条件，可得若an≠0，则an＋1≠0， 用反证法，假设an＋1＝0，由题设条件，显然an＝0，这与已知条件矛盾，所以an＋1≠0. 因为a1＝1≠0，所以a2≠0，a3≠0，…，所以∀n∈N*，an≠0， 由an＋1an＝an－2an＋1得－＝1，所以＋1＝2. 又＋1＝2≠0，所以是首项、公比均为2的等比数列.所以＋1＝2n，则an＝. (2)证明：显然n＝1时，S1＝a1＝1＜2成立； 当n≥2时，2n－1≥22－1＝2＞1，所以＜1， 所以2－＞1， 所以2n－1＞1×2n－1，即2n－1＞2n－1＞0，所以an＝＜，n≥2， 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＜1＋＋＋…＋＝＝2＜2. 综上，Sn＜2，得证. 3.(15分)已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：bn＝2log2an＋1，且b1＝1，b4＝7. (1)求数列，的通项公式； (2)若对任意的n∈N*都有2λan≥bn－2，求实数λ的取值范围. 解：(1)因为bn＝2log2an＋1，b1＝1，b4＝7， 所以b1＝1＝2log2a1＋1，则a1＝1，b4＝7＝2log2a4＋1，则a4＝8. 因为是各项都为正数的等比数列，所以q3＝＝8，即q＝2，所以an＝2n－1， 则bn＝2log2an＋1＝2＋1＝2n－1. (2)因为2λan≥bn－2恒成立，an＞0，所以λ≥＝恒成立，设f(n)＝， 则f－f＝－＝. 当n≤2时，f(n＋1)－f(n)＞0， 则f(3)＞f(2)＞f(1)； 当n≥3时，f(n＋1)－f(n)＜0， 则f(3)＞f(4)＞f(5)＞…； 所以f(n)max＝f(3)＝，则λ≥. 所以实数λ的取值范围是［，＋∞). 4.(15分)(2025·甘肃兰州一模)已知公差不为零的等差数列满足a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)证明：ln an≤an－1； (3)若数列满足bn＝，证明：…＜e2(e为自然对数的底数). 解：(1)设等差数列的公差为d(d≠0)，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列，则＝a2·a8， 所以(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，解得d＝1或d＝0(舍去)，所以an＝n. (2)证明：设f(x)＝ln x－x＋1，f'(x)＝－1，当x≥1时，f'(x)≤0，f(x)单调递减， f(x)max＝f(1)＝0，所以ln x－x＋1≤0，由(1)可知an≥1， 则有ln an－an＋1≤0，所以不等式ln an≤an－1恒成立. (3)证明：因为(1＋)…＞0， 所以要证(1＋)…＜e2， 只需证ln［(1＋)…］＜2， 根据(2)可知ln an≤an－1，那么ln≤an， 则ln＝ln(1＋)＋ln＋ln(1＋)＋…＋ln≤＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＝2［＋＋＋…＋］ ＝2［＋＋(－)＋…＋］＝2＜2， 所以(1＋)…＜e2. 学生用书⬇第39页 学科网（北京）股份有限公司 $