专题集训10 裂项相消问题新视角-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(十)　裂项相消问题新视角 (时间：40分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1.(15分)已知数列{an}满足a1＝1，＝an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. 解：(1) 法一：由an＋1＝an，得＝＝， 由累乘法得an＝a1··…·＝a1×××…×＝. 法二：由an＋1＝an，得＝，又＝1， 则数列是各项均为1的常数列， 所以＝1，即an＝. (2)由(1)得＝＝－， 所以Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 2.(15分)已知数列满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1. (1)求数列的通项公式； (2)若bn＝，求数列的前n项和Sn. 解：(1)依题意，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1①， 当n＝1时，a1＝1. 当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)2n－1＋1②. ①－②得nan＝－[(n－2)2n－1＋1]＝n·2n－1(n≥2)， 所以an＝2n－1(n≥2).因为n＝1时，该式也成立， 故的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1，由bn＝可得bn＝＝－， 则Sn＝＋＋＋…＋＋＋＝－1. 3.(15分)已知Sn为正项数列的前n项和，a1＝3且Sn＋＝－. (1)求数列的通项公式； (2)若bn＝(－1)n＋1，求的前10项和T10. 解：(1)由题意知，Sn＋Sn＋1＝－， 即2＝－3， 当n≥2时，2＝－3， 两式相减，可得＝0. 因为an＞0，可得an＋1－an＝2. 又因为a1＝3，当n＝1时，2＝－3，即－2a2－15＝0， 解得a2＝5或a2＝－3(舍去)，所以a2－a1＝2，符合an＋1－an＝2， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列. 所以数列的通项公式为an＝2n＋1. (2)由题意得bn＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1， 所以T10＝b1＋b2＋b3＋…＋b9＋b10＝－＋－…＋－＝1－＝，所以T10＝. 4.(15分)已知数列{an}的各项均为正数，{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，－an－2＝0(n≥2). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝tan antan an＋1，求数列{bn}的前2 026项和. 解：(1) 当n≥2时，有 两式相减得－＋an－an＋1＝2an，即(an＋1－an－1)(an＋an＋1)＝0. 因为{an}的各项均为正数， 所以an＋1＝an＋1(n≥2). 又当n＝2时，－a2－2S1＝－a2－2＝0，解得a2＝2或a2＝－1(舍)， 则a2＝a1＋1，所以对任意正整数n，均有an＋1＝an＋1. 故{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， 即an＝n(n∈N*). (2)由tan 1＝tan[(n＋1)－n] ＝， 得tan(n＋1)tan n＝－1. 由(1)得bn＝tan antan an＋1＝tan ntan(n＋1). 记{bn}的前n项和为Tn， 则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝[tan(n＋1)－tan n＋tan n－tan(n－1)＋…＋tan 2－tan 1]－n＝[tan(n＋1)－tan 1]－n＝－n－1， 所以T2 026＝－2 027. 学生用书⬇第37页 学科网（北京）股份有限公司 $