专题集训8 数列求和-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(八)　数列求和 (时间：40分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1.(15分)(2025·广东广州二模)设Sn为数列的前n项和，且an是Sn和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜. 解：(1)因为an是Sn和8的等差中项， 所以an＝，即Sn＝2an－8.① 当n＝1时，S1＝2a1－8，得a1＝8. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－8，② ①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，得an＝2an－1，即＝2. 所以数列是首项为8，公比为2的等比数列. 所以an＝8×2n－1＝2n＋2. (2)证明：因为bn＝log2an＝log22n＋2＝n＋2， 得＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－. 由于n≥1，得0＜≤， 得≤－＜， 所以≤Tn＜. 2.(15分)(2025·河南鹤壁二模)已知正项等比数列的前n项和为Sn，且a4＝a3＋6a2，S2＝2a1＋2. (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的前n项和为Tn，且b1＝8，当n＝4或5时，Tn取最大值，求数列的前n项和. 解：(1)设的公比为q， 则有故an＝3n－1. (2)设的公差为d，由题知b5＝8＋4d＝0，解得d＝－2， 故bn＝8－2＝10－2n. 故anbn＝×3n－1. 设数列的前n项和为Qn， 则Qn＝8×30＋6×31＋4×32＋…＋3n－2＋×3n－1， 3Qn＝8×31＋6×32＋4×33＋…＋×3n－1＋×3n， 两式相减得－2Qn＝8－2×3－2×32－2×33－…－2×3n－1－·3n ＝8－－·3n＝11－×3n， 所以Qn＝. 3.(15分)已知数列{an}和{bn}的各项均为正，且a3＝18b1，{bn}是公比为3的等比数列.数列{an}的前n项和Sn满足4Sn＝＋2an. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝＋ancos nπ，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)由题设，当n＝1时4S1＝＋2a1， 所以a1＝2或a1＝0(舍). 由4Sn＝＋2an知，当n≥2时，4＝＋2， 两式相减得(an＋)(an－－2)＝0， 所以an＋＝0(舍)或an－－2＝0，即an－＝2， 所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列， 所以an＝2n. 又a3＝18b1＝6，所以b1＝，所以bn＝. (2)cn＝＋ancos nπ＝＋(－1)n2n ＝＋(－1)n2n ＝－)＋(－1)n2n， 则Tn＝［(－)＋(－)＋…＋(－)］＋2[(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－1)nn]， 当n为偶数时，Tn＝－)＋n＝－＋n＋； 当n为奇数时，Tn＝－)－(n＋1)＝－－n－. 所以Tn＝ 4.(15分)(2025·广东佛山二模)在等差数列和等比数列中，ai和bi是下表第i行中的数(i＝1，2，3)，且a1，a2，a3中的任何两个数不在同一列，b1，b2，b3中的任何两个数也不在同一列. 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 3 4 第二行 5 6 7 8 第三行 9 10 11 12 (1)请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式(无需说明理由)； (2)若的公比为整数，且a1＋b1＝6.数列满足anan＋1cn＋bn＋1＝0，求的前n项和Sn. 解：(1)对于等差数列，设公差为d， 当a1＝1，a2＝6，a3＝11时，则d＝5，所以an＝a1＋d＝1＋5＝5n－4， 当a1＝2，a2＝7，a3＝12时，则d＝5，所以an＝a1＋d＝2＋5＝5n－3， 当a1＝3，a2＝6，a3＝9时，则d＝3，所以an＝a1＋d＝3＋3＝3n， 当a1＝4，a2＝7，a3＝10时，则d＝3，所以an＝a1＋d＝4＋3＝3n＋1， 满足题意的数列有4个，分别为an＝5n－4，an＝5n－3，an＝3n，an＝3n＋1； 对于等比数列，设公比为q， 当b1＝3，b2＝6，b3＝12时，则q＝2，所以bn＝b1qn－1＝3×2n－1， 当b1＝4，b2＝6，b3＝9时，则q＝，所以bn＝b1qn－1＝4×， 满足题意的数列有2个，分别为bn＝3×2n－1，bn＝4×. (2)因为的公比为整数，由(1)知bn＝3×2n－1，则b1＝3，所以a1＝6－b1＝3， 所以an＝3n，所以3n×3cn＋×3×2n＝0， 所以cn＝＝＝＝－， 所以的前n项和Sn＝－＋－＋…＋－＝2－＝. 学生用书⬇第32页 学科网（北京）股份有限公司 $