专题集训7 等差数列与等比数列-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(七)　等差数列与等比数列 (时间：50分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(1—6题，每小题5分，共30分) 1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：B 解析：由S5＝S10，得＝，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝＝－，所以a1＝a5－4d＝1－4×＝.故选B. 2.(2025·山东滨州二模)设为等比数列，且a2＋a3＝3，a3＋a4＝6，则a7＋a8＝(　　) A.12 B.24 C.48 D.96 答案：D 解析：设数列的公比为q.由a2＋a3＝3，a3＋a4＝6可得＝＝q＝2，所以a7＋a8＝q5＝3×25＝96.故选D. 3.(2025·河北秦皇岛三模)在等差数列中，若a8＝1，3a6＋2a4＝a2，则的前8项和为(　　) A.26 B.50 C.－2 D.－6 答案：A 解析：设等差数列的公差为d.因为a8＝1，3a6＋2a4＝a2，可得3＋2＝1－6d，解得d＝，所以an＝a8＋(n－8)d＝n－3，所以a3n－1＝，所以数列的前8项和为S8＝8×＋×＝26.故选A. 4.(2025·广东珠海模拟)已知是等差数列，Tn是数列的前n项积，若a3＝3，则T5＝(　　) A.15 B.21 C.108 D.243 答案：D 解析：因为是等差数列，设其公差为d.因为log2an－log2an－1＝log2＝d，所以＝2d，所以是等比数列，所以T5＝a1a2a3a4a5＝a3＝·a3·＝＝35＝243.故选D. 5.(2025·江西赣州二模)设等比数列的前n项和为Sn，若S20＝21，S30＝49，则S10＝(　　) A.－7 B.7 C.63 D.7或63 答案：B 解析：由等比数列片段和的性质知，S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以＝S10(S30－S20)，则＝S10(49－21)，所以－70S10＋441＝(S10－7)(S10－63)＝0，则S10＝7或S10＝63.设等比数列的公比为q，若S10＝63时，则S20－S10＝S10q10⇒－42＝63·q10，而q10＞0，显然等式不成立；若S10＝7时，则S20－S10＝S10q10⇒14＝7·q10⇒q10＝2＞0，满足题设；所以S10＝7.故选B. 6.(2025·安徽蚌埠模拟)已知数列的前n项和为Sn，Sn＝an＋1－2且a1＝1，则(　　) A.数列是等比数列 B.a2a4＝ C.a4＋a7＜a5＋a6 D.数列是等比数列 答案：B 解析：对于A，由Sn＝an＋1－2，可得Sn－1＝an－2，两式相减得Sn－Sn－1＝an＋1－2－，所以an＝an＋1－an，所以an＋1＝2an，所以＝2，当n＝1时，S1＝a2－2，又a1＝1，所以a2＝3，所以＝3，所以数列不是等比数列，故A错误；对于B，由A可知，数列去掉第一项，可构成以a2＝3为首项，2为公比的等比数列，所以a2a4＝，故B正确；对于C，由A可得an＝所以a4＋a7＝3×22＋3×25＝108，a5＋a6＝3×23＋3×24＝72，所以a4＋a7＞a5＋a6，故C错误；对于D，由C可得S1＝1，S2＝3＋1＝4，S3＝4＋6＝10，所以≠，所以数列不是等比数列，故D错误.故选B. 二、多项选择题(7、8题，每小题6分， 共12分) 7.(2025·安徽淮北二模)设数列的前n项和为Sn，对任意正整数n有Sn＋2＝4Sn＋3，下列命题正确的有(　　) A.若a1＝1，则S3＝7 B.一定不是等差数列 C.若为等比数列，则公比为2 D.若a1＝1，a2＝2，则为等比数列 答案：ABD 解析：对于A，若a1＝1，当n＝1时，S3＝4S1＋3＝4a1＋3＝7，故A正确；对于B，假设是等差数列，设公差为d，则Sn＝na1＋d，Sn＋2＝a1＋d，由Sn＋2＝4Sn＋3得a1＋d＝4na1＋d＋3，即d＋n＋＝2n2d＋n＋3，根据多项式相等可得方程组无解，所以一定不是等差数列，故B正确；对于C，若为等比数列，由Sn＋2＝4Sn＋3，Sn＋3＝4Sn＋1＋3两式相减得an＋3＝4an＋1，即anq3＝4anq.由an≠0得q2＝4，解得q＝±2，故C错误；对于D，若a1＝1，a2＝2，则S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋2＝3.当n＝1时，S3＝4S1＋3＝7，所以a3＝S3－S2＝7－3＝4.当n≥2时，Sn＋2＝4Sn＋3，Sn＋1＝4Sn－1＋3，两式相减可得an＋2＝4an，即＝4，所以数列的奇数项是以a1＝1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以2为首项4为公比的等比数列.又＝2，＝2，所以数列为等比数列，故D正确.故选ABD. 8.(2025·湖北武汉二模)已知数列满足a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，{an}的前n项和为Sn，则(　　) A.a1＝2 B.数列是等比数列 C.Sn，S2n，S3n构成等差数列 D.数列的前100项和为 答案：AD 解析：对于A，当n＝1时，可得a1＝1×21＝2，故A正确；对于B，a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝·2n－1，两式相减可得2n－1an＝n·2n－·2n－1＝2n－1，所以an＝n＋1，当n＝1，a1＝2适合上式，所以an＝n＋1；由＝不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误；对于C，由an＝n＋1可知，an－an－1＝n＋1－n＝1，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以Sn＝2n＋，所以S2n＝4n＋，S3n＝6n＋，Sn＋S3n＝2n＋＋6n＋＝8n＋5n2－2n.又2S2n＝8n＋4n2－2n，所以Sn＋S3n≠2S2n，所以Sn，S2n，S3n不构成等差数列，故C错误；对于D，＝＝－，所以＋＋＋…＋＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝＝，故D正确.故选AD. 三、填空题(9、10题，每小题5分，共10分) 9.已知数列满足＝，若a1＝，则＝　　　　. 答案： 解析：因为＝，a1＝，所以a2＝＝＝2，a3＝＝＝－1，a4＝＝＝，所以数列的周期为3.所以＝＝a1＝. 10.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a2a10＝2，且S4－S12＝λS8，则λ＝　　　　. 答案：－2 解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意可知q≠1.因为a2a10＝2，所以q10＝2q6，得q4＝2.因为S4－S12＝λS8，所以－＝，所以1－q4－(1－q12)＝λ(1－q8)，所以q12－q4＝λ(1－q8)，(q4)3－q4＝λ[1－(q4)2]，所以8－2＝－3λ，解得λ＝－2. 四、解答题 11.(13分)已知数列的前n项和为Sn，且＝. (1)若S3＝2，求a3； (2)若a2＝2a1，求关于n的表达式. 解：(1)令n＝1，可得＝，故S2＝a3. 又S3＝a1＋a2＋a3＝2a3＝2，所以a3＝1. (2)由＝，可得＝，＝，…，＝， 两边分别相乘得＝，所以a2Sn＝anan＋1. 当n≥2时，a2Sn－1＝an－1an， 所以a2Sn－a2Sn－1＝anan＋1－an－1an， 即a2＝an，即a2an＝an， 由题可知an≠0，所以an＋1－an－1＝a2， 所以的奇数项、偶数项均成公差为a2的等差数列. 所以a2n－1＝a1＋(n－1)a2＝(2n－1)a1，a2n＝a2＋(n－1)a2＝2na1， 所以an＝na1. 所以Sn＝a1＋2a1＋3a1＋…＋(n－1)a1＋na1 ＝[1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n]a1＝， 故＝＝. 12.(15分)(新定义)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“G型数列”. (1)若数列{an}满足2an＝Sn＋1，判断{an}是否为“G型数列”，并说明理由； (2)已知正项数列{an}为“G型数列”，a1＝1，数列{bn}满足bn＝an＋2，n∈N*，{bn}是等比数列，公比为正整数，且不是“G型数列”，求数列{an}的通项公式. 解：(1)易知当n＝1时，可得2a1＝S1＋1＝a1＋1，即a1＝1； 而当n＝2时，2a2＝S2＋1＝a1＋a2＋1， 可得a2＝2； 此时＝＝2＜3，不满足“G型数列”定义，猜想：数列{an}不是“G型数列”，证明如下： 由2an＝Sn＋1可得， 当n≥2时，2＝＋1， 两式相减可得2an－2＝Sn－＝an，可得an＝2， 此时从第二项起，每一项与它前一项的比为＝2＜3，因此{an}不是“G型数列”. (2)设数列{bn}的公比为q，易知q∈N*. 又因为数列{bn}不是“G型数列”，可得q≤3， 可得＝＝q， 即得＝qan＋2q－2. 又数列{an}为“G型数列”， 可得＝q＋＞3， 易知“G型数列”为递增数列，因此当n趋近于正无穷大时，q＋趋近于q，即可得q≥3， 综上可得q＝3，即＝3an＋4， 可得＋2＝3(an＋2)， 所以数列{an＋2}是以a1＋2＝3为首项，公比为3的等比数列， 即可得an＋2＝3×＝3n，可得an＝3n－2， 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2. 学生用书⬇第28页 学科网（北京）股份有限公司 $