专题集训6 三角形中的特殊线段问题-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(六)　三角形中的特殊线段问题 (时间：40分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1.(15分)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝7，A＝60°. (1)若2c－b＝2，求sin C； (2)若BC边上的高h＝，求△ABC的周长. 解：(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A 得49＝b2＋c2－bc， 联立2c－b＝2，解得c＝－3(舍)或c＝5， 由正弦定理得＝，得＝，解得sin C＝. (2)由题意得△ABC的面积S△ABC＝ah＝×7×＝6，所以bcsin A ＝bc＝6， 所以bc＝24. 由余弦定理得49＝b2＋c2－bc， 所以b2＋c2＝73， 所以(b＋c)2＝73＋48＝121，所以b＋c＝11， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝18. 2.(15分)(2025·陕西西安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知b(1＋cos A)＝c(1－cos 2B). (1)证明：b＝c； (2)若BC边上的高AD为2，AC边上的中线BE为2，求△ABC的面积. 解：(1)证明：因为b(1＋cos A)＝c(1－cos 2B)， 则b(1＋cos A)＝c·2sin2B. 由正弦定理得sin B＝sin C·2sin2B， 因为B∈，sin B≠0， 所以1＋cos A＝2sin Csin B. 又因为B＋C＋A＝π， 所以1－cos(B＋C)＝2sin Csin B， 所以1－cos Bcos C＋sin Csin B＝2sin Csin B， 所以cos(B－C)＝1. 因为B－C∈(－π，π)， 所以B－C＝0，所以B＝C，故b＝c. (2)因为BC边上的高AD为2，AC边上的中线BE为2， 所以AD⊥BC， 所以cos C＝＝. 在△BEC中，由余弦定理得BE2＝BC2＋EC2－2BC·ECcos C， 所以28＝a2＋－2a·，即28＝＋，且＋4＝b2， 解得a＝4，b＝c＝4， 所以＝a×AD＝4. 3.(15分)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AC边的长. 解：(1)在△ABC中，由正弦定理得，sin Bsin A＝sin A－sin Acos B. 因为A∈，sin A≠0，所以sin B＝1－cos B， 所以sin B＋cos B＝2sin ＝1， 即sin ＝. 又B∈，B＋∈(，)，则B＋＝， 所以B＝. (2)由(1)得S△ABC＝acsin B＝ac＝， 所以ac＝4， 在△ABD中，由余弦定理可得： AD2＝c2＋－2c··cos B＝c2＋＋≥＝6， 当且仅当c＝，即a＝2，c＝时，等号成立， 此时AC2＝a2＋c2－2accos B＝8＋2－2·2＝14， 故AC＝. 4.(15分)(2025·辽宁大连一模改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c－2bcos A＝b. (1)求证：A＝2B； (2)若∠BAC的平分线交BC于D，AD＝1，sin B＝，求＋的值； (3)若△ABC是锐角三角形，且∠BAC的平分线交BC边于E，且AE＝2，求边b的取值范围. 解：(1)证明：因为c－2bcos A＝b，由正弦定理有sin C－2sin Bcos A＝sin B， 所以sin－2sin Bcos A＝sin B， sin Acos B＋cos Asin B－2cos Asin B＝sin B， sin Acos B－cos Asin B＝sin B， sin＝sin B. 因为A∈，B∈，所以A－B∈. 又因为sin B＞0，所以sin＞0， 所以A－B∈. 因为sin＝sin B， 所以有A－B＝B，A＝2B，或A－B＋B＝π，A＝π(舍)， 所以A＝2B得证. (2)因为sin B＝，B为锐角， 所以cos B＝，sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B＝. 依题意有S△ABC＝S△ABD＋S△ACD. 由(1)可知A＝2B， 所以bcsin ∠BAC＝×AD×sin B. 又因为AD＝1，所以bc＝， 化简得8bc＝5， 两边同除以bc可得8＝5， 所以＋＝. (3)因为△ABC是锐角三角形，A＝2B，所以C＝π－3B， 所以解得B∈. 因为AE为∠BAC的平分线，且∠BAC＝2B. 所以∠BAE＝∠EAC＝B，所以∠AEC＝2B. 在△AEC中，AE＝2，AC＝b， 由正弦定理有＝，即＝， 所以b＝＝ ＝ ＝＝. 因为B∈，所以cos B∈. 令t＝cos B∈，则b＝＝，t∈， 令f＝，t∈. 根据函数解析式，f上单调递减， 因为f＝2，f＝， 所以f∈，所以b∈. 学生用书⬇第24页 学科网（北京）股份有限公司 $