专题集训5 极化恒等式与等和(高)线-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(五)　极化恒等式与等和(高)线 (时间：40分钟　满分：52分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(1—6题，每小题5分，共30分) 1.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值是(　　) A. B.2 C. D. 答案：B 解析：如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得＝－＝－，所以当P与A(B)重合时，｜｜＝最大，从而()max＝2.故选B. 2.如图，在四边形MNPQ中，若＝，｜｜＝6，｜｜＝10，＝－28，则等于(　　) A.64 B.42 C.36 D.28 答案：C 解析：由＝－＝36－＝－28，解得＝64，所以＝64，所以＝＝－＝100－64＝36.故选C. 3.若AB为双曲线－＝1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2＋(y－2)2＝1上的一个动点，则的最大值为(　　) A. B.7 C.－7 D.－16 答案：C 解析：如图所示，O为AB的中点，＝－，｜MO｜max＝｜OC｜＋1＝3，｜AB｜min＝2a＝8，所以()max＝9－×64＝－7.故选C. 4.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内任意一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为(　　) A.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[0，4] 答案：C 解析：如图，将图形特殊化，设AD垂直平分BC于O，则DO＝2AO，当P位于点A时，λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0，(λ＋μ)min＝0；当P位于点D时，＝3＝3×(＋)，λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝3，(λ＋μ)max＝3.故选C. 5.如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则等于(　　) A.1 B. C. D.－ 答案：B 解析：取AO的中点M，连接PM，如图所示，易得AB＝，由向量极化恒等式知＝＝－＝()2－()2＝()2－＝－＝－＝.故选B. 6.已知点F是抛物线E：x2＝4y的焦点，C(0，－2)，过点F且斜率为1的直线交抛物线E于A，B两点，点P为抛物线E上任意一点，若＝m＋n，则m＋n的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：法一：由题意可得，F(0，1)，因此直线AB的方程为y＝x＋1，设P(2t，t2)，A(x1，x1＋1)，B(x2，x2＋1)，则＝(2t，t2＋2)，＝(x1，x1＋3)，＝(x2，x2＋3)，若＝m＋n，则(2t，t2＋2)＝m(x1，x1＋3)＋n(x2，x2＋3)，所以所以2t＋3(m＋n)＝t2＋2，所以m＋n＝(t2－2t＋2)＝[(t－1)2＋1]，故当t＝1时，m＋n取得最小值.故选A. 法二：如图，连接CB，CA，设m＋n＝k，则直线AB为k＝1的等和线，设直线l∥AB，且l与抛物线E相切于点P，由等和线定理知此时m＋n取得最小值，设l与y轴交于点Q，由题意，F(0，1)，x2＝4y⇒y'＝，令y'＝1得x＝2，所以P(2，1)，从而l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1，所以Q(0，－1)，从而｜CQ｜＝｜CF｜，即m＋n的最小值为.故选A. 二、多项选择题(7、8题，每小题6分， 共12分) 7.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，则的值可能是(　　) A.0 B.2 C.4 D.13 答案：BC 解析：因为A＝30°，BC＝2，所以＝4，则△ABC外接圆的半径为2.如图所示，圆O的半径为2，BC是圆O的一条弦，点A在圆O的优弧上，D是线段BC的中点，连接DO并延长交圆O于点E.因为＝＋，＝＋＝－，所以＝－＝－1.因为点A在圆O的优弧上，所以1＜｜｜≤｜｜＝2＋，所以的取值范围是(0，6＋4].故选BC. 8.已知在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有≥，则(　　) A.＝－ B.存在点P，使｜｜＜｜｜ C.＝0 D.AC＝BC 答案：AD 解析：如图所示，连接PD，P0D，根据向量的极化恒等式，有＝－，＝－.又≥，所以｜｜≥｜｜，故A正确，B错误；由点P为边AB上任意一点知，点D到边AB上点的距离的最小值为｜｜，从而DP0⊥AB，所以≠0，故C错误；取AB的中点E，连接CE，则由P0B＝AB知，CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，故D正确.故选AD. 三、填空题(9、10题，每小题5分，共10分) 9.已知等边△ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是　　　　　. 答案：[－2，6] 解析：如图所示，取AB的中点D，连接CD，PD，因为△ABC为等边三角形，所以O为△ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2.又由极化恒等式得＝－＝－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，｜PD｜max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，｜PD｜min＝1，所以∈[－2，6]. 10.如图，已知点P为等边△ABC外接圆上一点，点Q是该三角形内切圆上的一点，若＝x1＋y1，＝x2＋y2，则｜(2x1－x2)＋(2y1－y2)｜的最大值为　　　　. 答案： 解析：由等和线定理知当点P，Q分别在如图所示的位置时，x1＋y1取最大值，x2＋y2取最小值，且x1＋y1的最大值为＝，x2＋y2的最小值为＝.故｜(2x1－x2)＋(2y1－y2)｜＝｜2(x1＋y1)－(x2＋y2)｜≤－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $