专题集训1 平面向量与三角恒等变换-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(一)　平面向量与三角恒等变换 (时间：40分钟　满分：73分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(1—8题，每小题5分，共40分) 1.(2025·山东临沂一模)在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若＝λ＋，则λ＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意点D是AB的中点，所以＝＋. 又＝λ＋，所以＋＝λ＋，解得＝＋λ. 又因为点P在CD上，所以＝，解得λ＝.故选B. 2.(2025·江西萍乡一模)已知向量a＝，b＝，若a－b与b垂直，则＝(　　) A.3 B.2 C. D.2 答案：A 解析：由已知，得a－b＝. 由a－b与b垂直，得·b＝0，即m2－2＝0，可得m2＝2.因为a＋b＝，所以＝＝3.故选A. 3.(2025·山东泰安一模)已知tan＝3，则cos 2α＝(　　) A.－ B.－ C.－ D. 答案：B 解析：依题意，tan＝＝3，解得tan α＝－2. 所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选B. 4.(2025·广东江门一模)已知sin(α－)＋cos α＝，则cos(2α＋)＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：B 解析：由sin(α－)＋cos α＝，得sin α－cos α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝，因此sin(α＋)＝，所以cos(2α＋)＝cos2(α＋)＝1－2sin2(α＋)＝.故选B. 5.(2025·江苏南通一模)若非零向量a，b满足＝2，且向量b在向量a上的投影向量是－a，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D.π 答案：B 解析：b在a上的投影向量为·a＝－a，所以＝－，所以a·b＝－，则cos〈a，b〉＝＝＝－. 由于〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. 故选B. 6.已知α，β∈(0，)，cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　 ) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，所以 解得所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.又α，β∈(0，)，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.故选A. 7.(2025·黑龙江哈尔滨一模)已知7＋tan＝0，2tan－1＝0，则tan 2α＝(　　) A.－ B. C. D.－ 答案：C 解析：由7＋tan＝0，可得tan β＝－，由2tan(α－β)－1＝0，可得tan(α－β)＝，所以tan α＝tan＝＝＝，故tan 2α＝＝＝.故选C. 8.已知a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0.若向量c满足｜a＋b－2c｜＝1，则｜c｜的取值范围是(　　) A.[1，－1] B.［，］ C.［，］ D.［，］ 答案：C 解析：设a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(x，y)，得a＋b－2c＝(1，0)＋(0，2)－2(x，y)＝(1－2x，2－2y).因为｜a＋b－2c｜＝1，所以(1－2x)2＋(2－2y)2＝1，所以(x－)2＋(y－1)2＝，该方程表示的是以(，1)为圆心，半径为的圆.则｜c｜表示圆上的点到原点的距离d，圆心到原点的距离为＝，故≤｜c｜≤，所以｜c｜的取值范围是［，］.故选C. 二、多项选择题(9—11题，每小题6分， 共18分) 9.(2025·广东广州模拟)下列命题正确的是(　　) A.p：“α是第二象限角或第三象限角”，q：“cos α＜0”，则p是q的充分不必要条件 B.若α为第一象限角，则＋＝ C.在△ABC中，若tan A·tan B＞1，则△ABC为锐角三角形 D.已知α∈，且cos 2α＝，则tan α＝ 答案：ACD 解析： 对于A，若α是第二象限角或第三象限角，则cos α＜0，若cos α＜0，则取α＝π，cos α＝－1＜0，此时α不是第二象限角或第三象限角，则p是q的充分不必要条件，故A正确；对于B，因为α为第一象限角，所以cos α＞0，sin α＞0，所以＋＝＋＝＋＝，故B错误；对于C，在△ABC中，若tan A·tan B＞1＞0，则A，B只能是锐角，所以cos A＞0，cos B＞0，所以tan A·tan B＝＞1，所以sin Asin B＞cos Acos B，所以cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＜0，所以cos C＞0，所以C也是锐角，所以△ABC是锐角三角形，故C正确；对于D，因为cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝，所以3－3tan2α＝＋tan2α，所以tan2α＝＝.因为α∈，所以tan α＞0，所以tan α＝，故D正确.故选ACD. 10.(2025·福建厦门一模)已知平面向量a＝，b＝，则(　　) A.a，b不可能共线 B.a，b不可能垂直 C.不可能为5 D.若θ＝，则a在b方向上的投影向量为2b 答案：BCD 解析：对于A，若向量a，b共线，则2cos θ－sin θ＝0，解得tan θ＝2，所以向量a，b可能共线，故A错误；对于B，a·b＝2＋sin θcos θ＝2＋sin 2θ≥2－＝，故B正确；对于C，a＋b＝，所以＝＝≤＜5，故C正确；对于D，若θ＝，则a＝，b＝，所以a在b方向上的投影向量为＝2b，故D正确.故选BCD. 11.(2025·江西南昌一模)已知a，b，i均为单位向量，且＝－2a·b，则(　　) A.a⊥ B.若〈i，a〉＝〈a，b〉，则a·＝0 C.＝ D.当实数t变化时，的最小值是 答案：ABD 解析：对于A， 由＝－2a·b，得14－3a·b－5＝0，解得a·b＝(舍去)或a·b＝－.因为a，b均为单位向量，则a·＝a2＋2a·b＝1－1＝0，故A正确；对于B，由〈i，a〉＝〈a，b〉，则cos〈i，a〉＝cos〈a，b〉，所以＝，整理得i·a＝a·b，即a·＝0，故B正确；对于C，＝＝＝1，故C错误；对于D，＝＝＝≥，当且仅当t＝时取等号，故D正确.故选ABD. 三、填空题(12—14题，每小题5分，共15分) 12.(2025·广东湛江一模)已知tan＝，则sin＝　　　　　. 答案： 解析：tan＝＝，即cos(α＋)＝3sin.又cos2＋sin2(α＋)＝1，所以cos2＝，所以sin＝sin＝cos＝cos 2(α＋)＝2cos2－1＝. 13.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量 a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝　　　　. 答案： 解析：法一：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0.又因为｜a－b｜＝，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝. 法二：设c＝a－b，则｜c｜＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b.由题意可得(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即｜b｜＝｜c｜＝. 14.在直角△ABC中，AB⊥AC，AC＝，AB＝1，平面ABC内动点P满足CP＝1，则的最小值为　　　　. 答案：4－ 解析：平面ABC内动点P满足CP＝1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，因为AB⊥AC，AC＝，AB＝1，所以BC＝2，∠ACB＝30°，所以＝｜｜·｜｜cos 30°＝3，因为＝＋，＝＋，所以＝(＋)·(＋)＝＋·(＋)＋，因为｜｜＝1，所以＝4＋·(＋)，｜＋｜＝＝＝＝，当＋共线且反向时，·(＋)取最小值，且这个最小值为－，故的最小值为4－. 学科网（北京）股份有限公司 $