6.9 探究课6 导数与三次函数 [教考衔接]-（教师用书）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

探究课6　导数与三次函数　[教考衔接] 【原题再现】　1.(链接人教A版选择性必修第二册P99第13题) 利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象，当a＝－4，b＝1，c＝5，d＝－1时，f(x)的图象如图所示.改变a，b，c，d的值，观察图象的形状： (1)你能归纳函数f(x)图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？ (2)运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间. 解：(1)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象大致是个“双峰”形状，类似“”或“”的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间. (2)因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，所以f'(x)＝3ax2＋2bx＋c.分a＞0和a＜0两种情况： ①当a＞0且b2－3ac＞0时，设方程f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，且x1＜x2. x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(x1，x2)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减. 当a＞0且b2－3ac≤0时，f'(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0，f(x)在R上单调递增. ②当a＜0且b2－3ac＞0时，设方程f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，且x1＜x2， 当x∈(x1，x2)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(x1，x2)上单调递增；当x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减.当a＜0且b2－3ac≤0时，f'(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0，所以f(x)在R上单调递减. 2.(链接人教B版选择性必修第三册P114复习题C组第4题) 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，求实数a的取值范围. 解：①当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1，令f(x)＝0，解得x＝±，所以此时不符合题意； ②当a＞0时，f'(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)， 令f'(x)＞0，解得x＞或x＜0， 则f(x)在(－∞，0)上单调递增， 因为f(0)＝1，则存在一零点在(－∞，0)上，所以此时不符合题意； ③当a＜0时，令f'(x)＞0，解得＜x＜0，令f'(x)＜0，解得x＜或x＞0，所以函数f(x)在(－∞，)上单调递减，在(，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 若f(x)在R上存在唯一的零点x0，且x0＞0，则f()＝－＋1＞0，整理得a2＞4，解得a＜－2或a＞2，又a＜0，所以a＜－2. 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2). 延伸探究1　三次函数的单调性 已知三次函数f＝x3－x2＋x＋2在R上是增函数，则实数m的取值范围是(　　) A.m＜2或m＞4 B.－4＜m＜－2 C.2＜m＜4 D.2≤m≤4 答案：D 解析：f'＝x2－2x＋15m2－2m－7，由题意得x2－2x＋15m2－2m－7≥0恒成立，所以Δ＝4－4＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28＝4(m2－6m＋8)≤0，所以2≤m≤4.故选D. 规律反思 　　三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的导函数为y'＝3ax2＋2bx＋c，它是二次函数，导函数的判别式为Δ＝4b2－12ac. (1)当a＞0，Δ≤0时，导函数y'＝3ax2＋2bx＋c的图象开口向上，位于x轴上方或与x轴相切，所以y'≥0，因此函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d为定义域上的增函数. (2)当a＞0且Δ＞0时，导函数y'＝3ax2＋2bx＋c对应的方程3ax2＋2bx＋c＝0有两个不相等的实根x1＝，x2＝.当x∈时，y'＞0，函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d，＋∞)内是单调递增的；当x∈时，y'＜0，函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d内是单调递减的. (3)同理当a＜0，Δ≤0时，函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d为定义域上的减函数.当a＜0，Δ＞0时，其单调递减区间是，单调递增区间是. 预测练1.三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数m的取值范围是(　　) A.m＜0 B.m＜1 C.m≤0 D.m≤1 答案：A 解析：对函数f(x)＝mx3－x求导，得f'(x)＝3mx2－1.因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则f'(x)≤0在R上恒成立，即3mx2－1≤0恒成立，当x2＝0，即x＝0时，3mx2－1≤0恒成立；当x2≠0，即x≠0时，x2＞0，则3m≤，即3m≤.因为＞0，所以3m≤0，即m≤0.又因为当m＝0时，f(x)＝－x不是三次函数，不满足题意，所以m＜0.故选A. 学生用书⬇第127页 延伸探究2　三次函数的最值、极值 已知函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax，g(x)＝x2－4. (1)若函数f(x)在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围； (2)设G(x)＝f(x)－g(x).若0＜a＜2，G(x)在上的最小值为－，求G(x)在上取得最大值时对应的x值. 解：(1)因为f(x)在上存在单调递增区间， 所以f'＝－x2＋2x＋2a＞0在上有解，即f'＞0在上成立， 而f'的最大值为f'＝1＋2a， 所以1＋2a＞0，解得a＞－. 所以实数a的取值范围是(－，＋∞). (2)G(x)＝f(x)－g(x)＝－x3＋x2＋2ax＋4， 所以G'＝－x2＋x＋2a. 由G'＝0得x1＝，x2＝， 则G(x)在，上单调递减，在上单调递增. 又因为当0＜a＜2时，x1＜0，1＜x2＜3， 所以G(x)在上的最大值点为x2， 最小值为G或G， 而G－G＝－＋4a， ① 当－＋4a＜0，即0＜a＜时，G＝6a－＝－，得a＝， 此时，最大值点x2＝. ② 当－＋4a≥0， 即≤a＜2时，G＝＋2a＝－， 得a＝－(舍). 综上G(x)在. 规律反思 　　对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d，其导函数为y'＝3ax2＋2bx＋c，导函数的判别式为Δ＝4b2－12ac. 当a＞0，Δ≤0时，函数在定义域上单调递增无极值. 当a＞0，Δ＞0时，函数在区间内单调递增，在区间内单调递减；函数在x1处取得极大值f，在x2处取得极小值f. 当a＜0，Δ≤0时，函数在定义域上单调递减无极值. 当a＜0，Δ＞0时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增；函数在x1处取得极小值f，在x2处取得极大值f. 根据a和Δ的不同情况，y＝ax3＋bx2＋cx＋d的特征图象如下： 预测练2.已知函数f＝x3－ax2＋x＋b(a，b∈R)，其图象在点处的切线方程为x＋y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)求函数f的单调区间和极值； (3)求函数f在区间上的最值. 解：(1)f'(x)＝x2－2ax＋a2－1，f'(1)＝1－2a＋a2－1＝a2－2a，f(1)＝－a＋a2－1＋b＝a2－a＋b－. 又图象在点处的切线方程为x＋y－3＝0， 所以 (2)由(1)得f(x)＝x3－x2＋，f'(x)＝x2－2x＝x(x－2)， x＜0或x＞2时，f'(x)＞0，0＜x＜2时，f'(x)＜0， 所以f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0，2)， 极大值为f(0)＝，极小值为f＝. (3)由(2)知f(x)在[－2，0]和[2，5]上单调递增，在(0，2)上单调递减. 又f(－2)＝－4，f(5)＝， 所以f(x)在[－2，5]上的最大值为，最小值为－4. 学生用书⬇第128页 延伸探究3　三次函数的零点 对于三次函数f(x)，其导函数为f'(x)， (1)若方程f'(x)＝0的判别式Δ≤0，则函数f(x)在R上是单调函数，无极值，值域为(－∞，＋∞)，函数f(x)在R上有唯一的零点. (2)若方程f'(x)＝0的判别式Δ＞0，则f'(x)有两个零点x1，x2，它们是函数f(x)的极值点. ①f(x)有一个零点⇔f(x1)f(x2)＞0，如下图所示. ②f(x)有两个零点⇔f(x1)f(x2)＝0，如下图所示. ③f(x)有三个零点⇔f(x1)f(x2)＜0，如下图所示. (1)(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在 3 个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，－3) C.(－4，－1) D.(－3，0) (2)(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(1)B　(2)(－2，1) 解析：(1)f(x)＝x3＋ax＋2，则f'(x)＝3x2＋a，若f(x)存在 3 个零点，则f(x)要存在极大值和极小值，则 a＜0，令f'(x)＝3x2＋a＝0，解得x＝－或x＝ ，且当x∈∪时，f'(x)＞0，当x∈(－， )时，f'(x)＜0，故f(x)的极大值为f(－)，极小值为f，若f(x)要存在 3 个零点，则 即解得a＜－3.故选B. (2)令x3－3x＝－(x－1)2＋a，则a＝x3－3x＋，设h＝x3－3x＋，则h'＝3x2－3＋2(x－1)＝(3x＋5)(x－1)，因为x＞0，所以3x＋5＞0，当0＜x＜1时，h'(x)＜0，当x＞1时，h'(x)＞0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减.因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，h(0)＝1，h(1)＝－2，所以实数a的取值范围是(－2，1). 规律反思 　　解决三次函数零点问题关键是正确判断极值的符号，然后借助图象解决. 预测练3.设a为实数，函数f＝－x3＋3x＋a. (1)求f的极值； (2)是否存在实数a，使得方程f＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)f'＝－3x2＋3，令f'＝0，得x＝－1或x＝1. 因为当x∈(－∞，－1)时，f'＜0；当x∈时，f'＞0；当x∈(1，＋∞)时，f'＜0. 所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f的极小值为f＝a－2， 极大值为f＝a＋2. (2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值. 所以当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f与x轴恰好有两个交点，即方程f＝0恰好有两个实数根，如图①所示.所以a＋2＝0，即a＝－2. 当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f与x轴恰有两个交点，即方程f＝0恰好有两个实数根，如图②所示.所以a－2＝0，即a＝2. 综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f＝0恰好有两个实数根. 延伸探究4　三次函数的对称中心 　　三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)一定有对称中心.其对称中心的横坐标为x＝－，即f'(x)＝3ax2＋2bx＋c的顶点的横坐标，也即f″(x)＝6ax＋2b的零点，即三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数f'(x)＝3ax2＋2bx＋c的图象的对称轴上.若三次函数f(x)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点. (1)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 (2)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，f'(x)是函数f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称 学生用书⬇第129页 中心，且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)＝x3－x2＋，则以下说法正确的是(　　) ①函数f(x)图象的对称中心为(，0)；②f()＋f()＋…＋f()＋f()的值是99；③函数f(x)图象的对称中心为(，1)；④f()＋f()＋…＋f()＋f()的值是1. A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 答案：(1)AC　(2)C 解析：(1)由题，f'＝3x2－1，令f'＞0得x＞或x＜－，令f'(x)＜0得－＜x＜，所以f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减，所以x＝±是极值点，故A正确；因为f(－)＝1＋＞0，f()＝1－＞0，f＝－5＜0，所以函数f上有一个零点，当x≥时，f≥f＞0，即函数f上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h＝－＝－x3＋x＝－h，则h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；令f'＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误.故选AC. (2)f(x)＝x3－x2＋⇒f'(x)＝x2－x⇒f″(x)＝2x－1，令f″(x)＝2x－1＝0，解得x＝，f()＝×()3－×()2＋＝1，由题意可知，函数f(x)＝x3－x2＋的图象的对称中心为(，1).因为函数f(x)＝x3－x2＋的图象的对称中心为(，1)，所以有f(x)＋f(1－x)＝2，设S＝f()＋f()＋…＋f()＋f()，所以有S＝f()＋f()＋…＋f()＋f()，可得，2S＝2＋2＋…＋2＋2＝2×99⇒S＝99，即f()＋f()＋…＋f()＋f()的值是99.故②③正确.故选C. 规律反思 　　三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(－，f(－)). 预测练4.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，1)对称，则b＝(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案：D 解析：因为f对称，所以f＋f＝2.又f＝＋a＋＋b＝－x3＋x2－x＋10＋4a＋b，所以f＋f＝x2－x＋10＋4a＋2b＝2，所以解得a＝－3，b＝2.故选D. 预测练5.设函数y＝f″是y＝f'的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数f＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象都有对称中心，其中x0满足f″＝0.已知三次函数f＝x3＋2x－1，若x1＋x2＝0，则f＋f＝　　　　. 答案：－2 解析：由题意，f'＝3x2＋2，f″＝6x，令f″＝6x＝0，解得x＝0，又f＝－1，故f＝x3＋2x－1的对称中心为.故当x1＋x2＝0时，f＋f＝2×＝－2. 延伸探究5　三次函数的切线 　　一般地，如图，过三次函数f(x)图象的对称中心作切线L，则坐标平面被切线L和函数f(x)的图象分割为四个区域，有以下结论： (1)过区域Ⅰ、Ⅳ内的点作曲线f(x)的切线，有且仅有3条； (2)过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作曲线f(x)的切线，有且仅有1条； (3)过切线L或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作曲线f(x)的切线，有且仅有2条. (2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标. 解：(1)由题意知f(x)的定义域为R， f'(x)＝3x2－2x＋a， 令f'(x)＝0，则Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a). ①当a≥时，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增； ②当a＜时，由3x2－2x＋a＝0， 解得x1＝，x2＝，令f'(x)＞0，则x＜x1或x＞x2； 令f'(x)＜0，则x1＜x＜x2. 所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增. 综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增； 当a＜时，f(x)在(－∞，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增. (2)设曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，－＋ax0＋1)， 因为f'(x0)＝3－2x0＋a， 所以切线l的方程为y－(－＋ax0＋1)＝(3－2x0＋a)(x－x0)， 由l过坐标原点，得2－－1＝0， 解得x0＝1， 所以切线l的方程为y＝(1＋a)x. 令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x， 则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1， 所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a). 规律反思 1.函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率. 2.曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同. 3.切点既在切线上，又在曲线上. 预测练6.已知点P不在函数f(x)＝x3－3mx的图象上，且过点P仅有一条直线与f(x)的图象相切，则实数m的取值范围是(　　) A.∪ B.(－∞，0)∪(，＋∞) C.∪ D.(－∞，)∪(，＋∞) 答案：B　 解析：点P不在函数f＝x3－3mx的图象上，则f＝1－3m≠m，即m≠.设过点P的直线与f＝x3－3mx的图象相切于Q，则切线的斜率k＝f'＝3t2－3m＝，整理可得2t3－3t2＋4m＝0，则问题可转化为g＝2t3－3t2＋4m只有一个零点，且g'＝6t2－6t.令g'＝0，可得t＝0或t＝1，当t∈时，g'＞0，则g单调递增，当t∈时，g'＜0，则g单调递减，当t∈时，g'＞0，则g单调递增，即当t＝0时，g有极大值，当t＝1时，g有极小值.要使g＝2t3－3t2＋4m仅有一个零点，g(0)·g(1)＞0⇒m＜0或m＞.故选B. 预测练7.若过点(m，n)(m＞0)可作曲线y＝x3－3x三条切线，则(　　) A.n＜－3m B.n＞m3－3m C.n＝m3－3m或n＝－3m D.－3m＜n＜m3－3m 答案：D 解析：设切点为M，则y0＝f＝－3x0，f'＝3x2－3，故f'＝3－3，则切线方程为y－y0＝.因为(m，n)(m＞0)在切线上，故n－＝，整理得2－3m＋3m＋n＝0.因为过点(m，n)(m＞0)可作曲线y＝x3－3x三条切线，故2－3m＋3m＋n＝0有三个实数根.设g＝2－3m＋3m＋n，则g'＝6－6mx0＝6x0，由g'＝0得，x0＝0或m.因为m＞0，由g'＝6x0＞0得x0＞m或x0＜0，此时g单调递增，由g'＝6x0＜0得0＜x0＜m，此时g单调递减，所以g＝2－3m＋3m＋n的极大值点为x0＝0，极小值点为x0＝m，故2－3m＋3m＋n＝0要有三个实数根的充要条件为解得－3m＜n＜m3－3m.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $