5.2 基础课13 圆锥曲线的方程与性质-（教师用书）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

基础课13　圆锥曲线的方程与性质 一、离心率问题 1.(2025·全国一卷，T3)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 答案：D 解析：依题意得b＝a，又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋(a)2＝8a2，即c＝2a，故e＝2.故选D. 2.(2023·新课标Ⅰ卷，T5)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由e2＝e1，得＝3，因此＝3×，而a＞1，所以a＝.故选A. 二、圆锥曲线的定义、方程与性质 3.(2025·全国二卷，T6)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则｜AF｜＝(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 解析：根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，所以A(4，4)，所以｜AF｜＝｜AB｜＝5.故选C. 4.(2023·新课标Ⅱ卷，T5)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：C 解析：将直线y＝x＋m与椭圆联立消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2.如图所示，设F1到AB的距离d1，F2到AB的距离d2，易知F1(－，0)，F2(，0)，则d1＝，d2＝，＝＝＝2，解得m＝－或－3(舍去).故选C. 5.(多选)(2025·全国一卷，T10)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(　　) A.｜AD｜＝｜AF｜ B.｜AE｜＝｜AB｜ C.｜AB｜≥6 D.｜AE｜·｜BE｜≥18 答案：ACD 解析：对于A，直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知｜AD｜＝｜AF｜，故A正确；对于B，当AB⊥x轴时，A(，3)，B(，－3)，E(－，0)，｜AB｜＝6，｜AE｜＝3，此时｜AE｜≠｜AB｜，故B错误；对于C，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，｜AB｜＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；对于D，当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，｜AE｜＝｜BE｜＝3，｜AE｜·｜BE｜＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－y＋，E(－，3m)，｜EF｜＝，S△AEB＝｜AE｜·｜BE｜sin ∠AEB＝｜AB｜·｜EF｜＝(6m2＋6)·＝9(1＋m2＞9，所以｜AE｜·｜BE｜＞＞18.综上，｜AE｜·｜BE｜≥18，故D正确.故选ACD. 考情分析 1.圆锥曲线的方程与几何性质是每年高考必考内 容，是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题 的第一问的形式命题. 2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其 是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力 要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查. 核心考点一　圆锥曲线的定义与标准方程　[基础性考法] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y＞0) B.＋＝1(y＞0) C.＋＝1(y＞0) D.＋＝1(y＞0) 【教材溯源6】 本例(1)源自人教A版选择性必修第一册P108例2 如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.) 高考题只是将教材中圆的方程x2＋y2＝4改换为x2＋y2＝16且限制了y＞0，其他完全一致. 学生用书⬇第83页 (2)(2025·安徽蚌埠二模)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为的直线与C的右支交于A，B两点，且＝3，则的值为(　　) A. B. C. D. 答案：(1)A　 (2)B 解析：(1)设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以＋＝16(y0＞0)，即＋＝1(y0＞0)，所以线段PP'的中点M的轨迹方程为＋＝1(y＞0).故选A. (2)如图所示，因为直线AB的斜率为，所以tan∠AF2F1＝，所以cos ∠AF2F1＝＝，cos ∠BF2F1＝－.设＝m，则＝3m.又－＝2a，－＝2a，所以＝2a＋3m，＝2a＋m.在△BF1F2中，由余弦定理得＝＋－2cos ∠BF2F1，即(2a＋3m)2＝(3m)2＋(2c)2－2·3m·2c×，整理得－4b2＋12am＝3mc.在△AF1F2中，由余弦定理得＝＋－2｜AF2｜·cos ∠AF2F1，即(2a＋m)2＝m2＋(2c)2－2·m·2c×，整理得－4b2＋4am＝－mc，所以8am＝4mc，即c＝a，所以b＝a，m＝a，所以＝＝.故选B. 规律反思 解决圆锥曲线的标准方程问题时，应关注三点 (1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错.(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2.(3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置. 预测练1.(2025·湖南永州三模)已知椭圆E：＋＝1，点F，若直线x＋λy－1＝0(λ∈R)与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为(　　) A.2 B.4 C.4 D.8 答案：D 解析：椭圆E：＋＝1的长半轴长a＝2，半焦距c＝＝1，则点F(－1，0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1，0).而直线AB：x＋λy－1＝0恒过定点(1，0)，所以△ABF的周长为4a＝8.故选D. 预测练2.(2025·湖南长沙一模)已知抛物线C：y＝的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P 作l的垂线，垂足为M.若＝，则＝(　　) A.2 B. C.4 D.2 答案：C 解析：如图所示，由抛物线的定义知＝.又＝，所以△PMF为等边三角形， ∠FMN＝30°(N为准线与y轴的交点)，抛物线y＝的焦点F，准线l：y＝－1，N(0，－1)，故∣MF∣＝＝＝4，故＝4.故选C. 核心考点二　椭圆、双曲线的几何性质　[综合性考法] 考向1　离心率问题 (1)(2025·山东聊城一模)设F是椭圆C：＋＝1的左焦点，M，N是C上的任意两点，△FMN周长的取值范围为，若n＝3m，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. (2)(2025·河北邯郸一模)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若＋＝3，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)令椭圆C：＋＝1右焦点为E(c，0)，｜MF｜＋｜ME｜＝2a，｜NF｜＋｜NE｜＝2a，△FMN周长＋＋＝＋2a－＋2a－＝4a＋－≤4a＋－＝4a，当且仅当M，N，E共线时取等号，则3m＝4a，即m＝.又＋＋＞＋＝2≥2，因此m＝2(a－c)，则＝2(a－c)，解得＝，所以C的离心率为.故选A. (2)由已知，设≥，则－＝2a，－＝2a，两式相加得＋－＝4a.又＋＝，所以＋－＝4a.又＋＝3＝6c，所以＝6c－4a.当AB⊥x轴时最小，此时＝，所以≤6c－4a.又b2＝c2－a2，则≤6c－4a，整理得2c2－6ac＋2a2≤0.又e＝，两边除以a2得2e2－6e＋2≤0，解得≤e≤.又双曲线的离心率e＞1，所以双曲线C的离心率的取值范围是.故选B. 考向2　椭圆、双曲线的几何性质 (1)(2025·江苏南京、盐城一模)已知双曲线C：－＝1的左焦点、右顶点分别为F，A，过点F倾斜角为的直线交C的两条渐近线分别于点M，N.若△AMN为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x (2)(多选)(2025·山东济南一模)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，O为坐标原点，P为C上异于左、右顶点的一点，H是线段PF2的中点，则(　　) A.＋＝2 B.＞1 C.△OHF2内切圆半径的最大值为 D.△HF1F2外接圆半径的最小值为1 答案：(1)C　(2)ACD 解析：(1)由题意可得A(a，0)，F(－c，0)，所以直线MN的方程为y＝，由可得M，由可得N.因为△AMN为等边三角形，所以＝，即＋＝＋，整理可得b2＝3a2，所以＝，所以双曲线C的渐近线方程是y＝±x.故选C. (2)对于A，如图所示，＋＝(｜PF1｜＋｜PF2｜)＝×2a＝a＝2，故A正确；对于B，由三角形中位线得＝，因为当点P在第二、三象限时，＜2，此时＜1，故B错误；对于C，因为＋＋＝3，＝b2tan ＝3tan ，当点P在上顶点时，θ最大，所以0＜θ≤，所以0＜tan ≤，所以0＜≤，所以由三角形相似可得0＜≤，设内切圆半径为r，又＝·r＋·r＋·r＝r＝r，所以△OHF2内切圆半径的最大值为＝，故C正确；对于D，设△HF1F2的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝⇒R≥1，故D正确.故选ACD. 学生用书⬇第84页 规律反思 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求的值或范围. 2.求双曲线渐近线方程的关键在于求的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到. 预测练3.(2025·黑龙江哈尔滨一模)已知圆C1：x2＋y2＝b2与椭圆C2：＋＝1，若在椭圆C2上存在一点P，过P点能作圆C1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝，则椭圆C2离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：如图所示，由对称性可知，∠APB＝2∠APO.因为sin ∠APO＝＝≥，∠APO∈，所以当点P位于长轴端点时∠APO最小.由题意可知，在椭圆C2上存在一点P，使得∠APB＝，只需当点P位于长轴端点时，∠APO≤，即≤，故e＝≥.又0＜e＜1，所以椭圆C2离心率的取值范围是.故选B. 预测练4.(多选)(2025·陕西西安二模)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，下列说法正确的是(　　) A.若C的渐近线的斜率为±，则C的离心率为 B.若C的渐近线方程为y＝±x，且点在C上，则a＝2 C.过F2的直线与C的右支相交于A，B两点，若｜AB｜＝4a，∠F1AB＝90°，则C的离心率为 D.若C的左、右顶点分别为M，N，P是C异于M，N的一点，则直线PM，PN的斜率之积为 答案：ACD 解析：对于A，由C的渐近线的斜率为±，则＝，所以C的离心率为＝＝，故A正确；对于B，由C的渐近线方程为y＝±x，设C：－y2＝k(k＞0).又点在C上，所以－＝1＝k，即C：－y2＝1，所以a＝，故B错误；对于C，过点F2的直线与C的右支相交于A，B两点，不妨设＝m，＝n，若｜AB｜＝4a，∠F1AB＝90°，则m＋n＝4a，＝2a＋m，＝2a＋n，由勾股定理得(2a＋m)2＋(4a)2＝(2a＋n)2，解得m＝a，n＝3a，故＝3a，＝a，在直角三角形AF1F2中，如图①所示，由勾股定理得(2c)2＝(3a)2＋a2，即4c2＝10a2，所以e＝＝，故C正确；对于D，设P，如图②所示，则－＝1，即＝.又M(－a，0)，N(a，0)，所以kPM·kPN＝＝＝＝，故D正确.故选ACD. 核心考点三　抛物线的几何性质　[综合性考法] (1)(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A.p＝2 B.｜MN｜＝ C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 (2)(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(，1)射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射，沿直线l2射出，经过点Q，则(　　 ) A.y1y2＝－1 B.｜AB｜＝ C.PB平分∠ABQ D.延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线 答案：(1)AC　(2)BCD 解析：(1)对于A，直线y＝－(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，所以＝1，p＝2，2p＝4，抛物线C的方程为y2＝4x，故A正确；对于B，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，故B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，如图所示.因为d＝(d1＋d2)＝(｜MF｜＋｜NF｜)＝｜MN｜，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，故C正确；对于D，直线y＝－(x－1)，所以y1＝－×(3－1)＝－2，y2＝－×＝，所以｜OM｜＝＝，｜ON｜＝ ＝，又｜MN｜＝，所以△OMN不是等腰三角形，故D错误.故选AC. (2)如图所示，设抛物线的焦点为F，则F(，0).因为P(，1)，且l1∥x轴，所以A(1，1)，所以直线AF：y＝(x－)＝x－.由可得y2－y－＝0，故y1y2＝－，故A错误；因为y1＝1，所以y2＝－，故B(，－)，故｜AB｜＝1＋＋＝，故B正确；因为｜AP｜＝－1＝＝｜AB｜，故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确；直线AO：y＝x，由可得C(－，－)，故yC＝y2，所以C，B，Q三点共线，故D正确.故选BCD. 规律反思 　　利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少运算量. 预测练5.(2025·山东济宁一模)设F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过F的直线交C于A，B两点，若＝3，则＝(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案：D 解析：设直线AB的倾斜角为θ，如图，过A作AA1垂直于准线于点A1，作FQ⊥AA1于点Q，则＝＋＝cos θ＋p＝，所以＝＝，同理可证＝＝.因为＝3，所以＝，解得cos θ＝，所以sin 2θ＝1－cos 2θ＝，所以＝＋＝＋＝＝＝8.故选D. 预测练6.(2025·浙江绍兴一模)已知直线l与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，过点O作l的垂线，垂足为E(2，1)，则p＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设A，B，如图所示.依题意kOE＝，kAB＝－＝－2，所以直线AB的方程为y－1＝－2，即y＝－2x＋5，联立得4x2－(20＋2p)x＋25＝0，所以因为OA⊥OB，所以y1y2＋x1x2＝0，即5x1x2－10(x1＋x2)＋25＝0，解得p＝.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $