1.1 基础课1 平面向量与三角恒等变换-（教师用书）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

【知识整合　体系构建】 学生用书⬇第7页 基础课1　平面向量与三角恒等变换 一、平面向量 1.(2022·新高考Ⅰ卷，T3)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 答案：B 解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B. 2.(2025·全国一卷，T6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 等级 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 答案：A 解析：真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，｜｜＝2∈(1.6，3.3).故选A. 3.(2025·全国二卷，T12)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则｜a｜＝　　　　　. 答案： 解析：a－b＝(1，1－2x)，根据a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，所以｜a｜＝. 二、三角恒等变换 4.(2025·全国二卷，T8)已知0＜α＜π，cos＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin(α－)＝(sin α－cos α)＝×＝.故选D. 5.(2023·新课标Ⅰ卷，T8)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：B 解析：因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B. 6.(2024·新课标Ⅱ卷，T13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝　　　　. 答案：－ 解析：根据题意知tan＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β).又sin2＋cos2＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π＜α＋β＜2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin＝－. 考情分析 1.平面向量主要考查平面向量的线性运算及其几何意义、平面向量的数量积、夹角及模的运算，难度都是中低档，以小题形式体现；与平面向量有关的最值或范围问题是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围，在高考中多以小题形式考查，难度中档. 2.三角函数的化简与求值是高考的考查重点，其中关键是运用二倍角公式、两角和与差的正、余弦、正切公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，主要以小题形式考查，难度中档或偏下. 学生用书⬇第8页 核心考点一　 平面向量的基本运算　[基础性考法] 1.(2025·四川绵阳模拟)设在△ABC中，点D为BC边上一点，且＝2，点E为AC边上的中点. 若＝m，＝n，则＝(　　) A.n－m B.n－2m C.n＋m D.n－2m 答案：D 解析：因为＝2，所以D为BC中点，即＝2.又因为点E为AC边上的中点，所以＝－.由＝＋＝2－＝2－＝－2.因为＝m，＝n，所以＝n－2m.故选D. 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且(b－2a)⊥b，则｜b｜＝(　　) A. B. C. D.1 答案：B 解析：由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将｜a＋2b｜＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6｜b｜2＝4，解得｜b｜2＝，所以｜b｜＝.故选B. 3.(2025·江西鹰潭二模)若非零向量a，b满足＝2＝2，且向量a－b与向量a的夹角＜a－b，a＞＝，则·b的值为(　　) A.－6 B.0 C.2 D.6 答案：B 解析：由＝2＝2有＝2，＝1，所以cos〈a－b，a〉＝＝⇒a2－a·b＝｜a－b｜⇒4－a·b＝＝＝⇒＝3⇒－2a·b＋1＝0⇒＝0⇒a·b＝1，所以·b＝a·b－b2＝1－1＝0.故选B. 4.(多选)(2025·陕西西安模拟)若向量a＝，b＝，c＝，则(　　) A.＝ B.∥b C.a⊥ D.a在c上的投影向量是 答案：CD 解析：因为向量a＝，b＝，c＝，对于A，＝＝5，故A错误；对于B，a＋c＝≠λb，a＋c与b不平行，故B错误；对于C，因为b－c＝＝，则a·＝＝0，a⊥，故C正确；对于D，a在c上的投影向量为c＝c＝－＝(－，－)，故D正确.故选CD. 规律反思 1.根据平面向量的基本定理恰当地选择基底，且变形要有方向，不能盲目转化. 2.将向量垂直直接转化为两向量的数量积为0，从而求出参数值. 核心考点二　三角恒等变换　[基础性考法] 考向1　给角求值或给值求值 (1)(2025·湖南娄底二模)tan sin ＋sin ＝(　　) A. B.1 C. D. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　 ) A.－3m B.－ C. D.3m 【教材溯源1】 (本例(2)源自人教A版必修第一册P255T15(1))已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tan αtan β的值. 考查角度基本一致，再次诠释教材是高考命题的发源地，是命题的原点. 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)tan sin ＝2tan cos sin ＝2sin2，sin ＝sin＝cos ＝1－2sin2，于是tan sin ＋sin ＝1.故选B. (2)由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m①.由tan αtan β＝2得＝2②，由①②得 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m. 故选A. 规律反思 1.给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示出来，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－(－α)等. 2.求值过程中要注意角的范围对三角函数值的影响. 3.对于非特殊角的求值问题，要注意角之间的关联性，要能对角进行恰当地拆分. 考向2　给值求角 (1)若cos 2α＝－，sin＝，且α∈［，］，β∈［π，π］，则α＋β＝(　　) A. B. C. D. 学生用书⬇第9页 (2)(2025·广东珠海模拟)设α∈，β∈，且tan α＋tan β＝，则(　　) A.3α－β＝ B.2α－β＝ C.3α＋β＝ D.2α＋β＝ 答案：(1)B　 (2)D 解析：(1)由α∈［，］可得2α∈［，π］.因为cos 2α＝－，则sin 2α＝＝.又β∈［π，π］，则β－α∈［，］.因为sin＝，则cos(β－α)＝－＝－，故cos(α＋β)＝cos＝cos 2αcos－sin 2αsin(β－α)＝－×(－)－×＝.因为≤α＋β≤2π，故α＋β＝.故选B. (2)由题设＋＝＝＝，所以sin＝cos α.因为α∈，β∈，则α＋β∈，又sin(α＋β)＝cos α＝sin，所以α＋β＝±α或α＋β＋±α＝π，即2α＋β＝或β＝(舍)，故2α＋β＝.故选D. 规律反思 给值求角的原则 1.已知正切函数值，选正切函数. 2.已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－，)，选正弦较好. 预测练1.已知sin－cos α＝，则cos(2α＋)的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：A 解析：由sin－cos α＝sin α－cos α＝sin＝得sin＝，所以cos(2α＋)＝cos＝－cos＝2sin2－1＝－.故选A. 预测练2.(2025·湖南常德一模)已知cos 2α＝2sin2β－，cos＝，则tan αtan β＝(　　) A. B.7 C.－ D.－7 答案：C 解析：因为cos 2α＝2sin2β－，所以cos 2α＋cos 2β＝.由和差化积公式可得2coscos＝.因为cos＝，所以cos＝.由cos αcos β＋sin αsin β＝，cos αcos β－sin αsin β＝，可得cos αcos β＝，sin αsin β＝－，所以tan αtan β＝＝－.故选C. 预测练3.(多选)已知0＜α＜β＜，且3cos α＋cos β＝3，3sin α－sin β＝－2，则(　　) A.cos＝ B.sin＝ C.tan＝ D.β∈ 答案：BD 解析：对于A，因为3cos α＋cos β＝3，3sin α－sin β＝－2，两式平方后相加可得9＋10＋6＝13，所以cos＝－，故A错误；对于D，因为0＜α＜β＜，所以0＜α＋β＜π.又cos＜0，故α＋β∈，由于2β＞α＋β＞，故β＞.又0＜α＜β＜，所以β∈，故D正确；对于B，sin＝＝＝，故B正确；对于C，tan＝＝－3，故tan(2α＋2β)＝＝＝，故C错误.故选BD. 核心考点三　与平面向量有关的最值与范围问题　[综合性考法] 考向1　向量数量积的最值与范围 (2025·北京朝阳一模)在△ABC中，CA＝CB＝，AB＝4，点M为△ABC所在平面内一点且＝0，则的最小值为(　　) A.0 B.－ C.－ D.－ 答案：C 解析：在三角形ABC中，由余弦定理cos C＝＝＝－，故C为钝角；又＝0，故M点在三角形ABC底边BC的高线上，则以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如图所示.又cos ∠ACO＝－cos C＝，则sin ∠ACO＝，故OA＝AC×sin ∠ACO＝×＝，OC＝AC×cos ∠ACO＝×＝，则A，C，B(，0).设M，m∈R，＝，＝，故＝m＝－≥－，当且仅当m＝时取得等号，故的最小值为－.故选C. 考向2　向量模、夹角的最值与范围 (1)(2025·湖南邵阳二模)已知向量a，b满足＝，＋＝8，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)在平行四边形ABCD中， ＋ ＝ ，λ∈[，3]，则cos ∠BAD的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)取＝4a，O为线段F1F2的中点，记＝b，则4a＋b＝.所以＋＝＋＝8.又＝4＜8，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，如图所示，所以长半轴的长为4，短半轴的长为＝2，＝∈.故选A. (2)设与 ＝ e1，与 ＝ e2，与 ＝ 由题意，e1＋3e2＝λe3，所以(e1＋3e2)2＝λ2，即＋6e1·e2＋9＝λ2，所以1＋6×1×1×cos ∠BAD＋9＝λ2，所以cos ∠BAD＝ .因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]，所以∈，即cos ∠BAD的取值范围是.故选A. 考向3　向量系数的最值与范围 (2025·江西宜春一模)铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形ABCD的边长为4，圆O的半径为4，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，D，点P在圆＋(y－2)2＝32上，设点P(2＋4cos θ，2＋4sin θ)，＝，＝，＝.因为＝λ＋μ，所以＝λ＋μ＝，所以4λ＝2＋4cos θ，4μ＝2＋4sin θ，所以λ＋μ＝sin θ＋cos θ＋1＝2sin＋1≤3，即λ＋μ的最大值为3.故选C. 法二：过点P作平行于BD的直线分别交直线AB，AD于点M，N.设直线AP交直线BD于点Q，取线段MN的中点E，连接AE.因为D，Q，B三点共线，则存在p∈R，使得＝p，所以－＝p，则＝p＋.因为A，Q，P三点共线，则存在k∈R，使得＝k＝kp＋k.因为＝λ＋μ，且，不共线，则λ＝kp，μ＝k，所以λ＋μ＝kp＋k＝k.因为AB＝AD，且∠ABD＝45°，MN∥BD，则∠AMN＝45°，所以△AMN为等腰直角三角形，所以AE⊥MN.易知AO⊥BD，即AO⊥MN，故A，O，E三点共线，要使得λ＋μ取最大值，则k＞0，且k＝＝≤≤＝3，当且仅当E为射线AO与圆O的交点时，λ＋μ取最大值3.故选C. 学生用书⬇第10页 规律反思 1.向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断. (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决. 2.求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过｜a｜2＝a2转化为实数问题；数形结合；坐标法. 3.求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系. 预测练4.(2025·山东济南五诊)已知向量a，b满足＝1，b＝，a－b与a垂直，则的最小值为(　　) A. B. C.1 D.3 答案：C 解析：由a－b与a垂直，得·a＝0，则a·b＝a2＝1，所以＝＝＝≥1，所以当t＝1时，的最小值为1.故选C. 预测练5.(2025·江苏泰州二模)在等边△ABC中，AB＝2，P为△ABC所在平面内的一个动点，若PC＝1，则的最大值为(　　) A.4 B.3＋2 C.2＋3 D.6 答案：B 解析：以C为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为＝1，所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上，设P.因为△ABC为等边三角形，＝＝＝2，所以A，B，所以＝，＝，所以＝＋＝cos2α－3cos α＋2＋sin2α－sin α＝3－＝3－2sin，当α＋＝－＋2kπ，k∈Z，即α＝－＋2kπ，k∈Z时，＝3＋2.故选B. 预测练6.在△ABC中，M，N分别在边AB，AC上，且＝2，＝4，D在边BC上(不包含端点).若＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案：A 解析：因为D在边BC上(不包含端点)，不妨设＝λ，其中0＜λ＜1，即－＝λ，所以＝＋λ＝2＋4λ. 又因为＝x＋y，则x＝2－2λ，y＝4λ，其中x，y均为正数，且有2x＋y＝4，所以＋＝＝≥＝2，当且仅当时，即当时，等号成立，故＋的最小值为2.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $