1.1 集合-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学讲义聚焦集合核心考点，按“元素与集合-集合间关系-集合运算”逻辑架构，系统梳理元素特征、子集性质、交并补运算等高考必备知识。通过考点清单梳理、解题方法指导、2023-2025年新课标卷真题精讲及分层训练，帮助学生构建知识网络，突破参数求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用“真题引领+素养导向”教学策略，如在集合关系判断中结合列举法与数轴法，培养学生数学思维与符号表达能力。设置元素互异性检验、新定义运算等分层练习，配合空集优先讨论等解题策略，确保高效突破考点。助力学生提升应考技能，为教师把控复习节奏提供精准教学路径。

第一节　集合 1．元素与集合 (1)集合元素的三个特征：__确定性__、__互异性__、__无序性__． (2)元素与集合的关系是__属于__或__不属于__关系，用符号__∈__或__∉__表示． (3)集合的表示法：__列举法__、__描述法__、__图示法__． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 文字语言 符号语言 集合间的基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 __A⊆B__ 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 __AB__ 空集 空集是任何集合的__子集__，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于A__且__属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，__且__x∈B} __A∩B__ 并集 所有属于A__或__属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，__或__x∈B} __A∪B__ 补集 全集U中__不属于__A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且x__∉__A} __∁UA__ (1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B. (2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (3)并集的性质：A∪B＝B∪A，(A∪B)⊇A，(A∪B)⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A. (4)补集的性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A. (5)子集的个数：含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集． (6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B. (7)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 　　　　　 集合的含义与表示 　(2023·新课标Ⅱ卷，5分)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　　　　　　 B．1 C. D．－1 【解析】　依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B. 【答案】　B 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合时，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合． (2)集合中元素的三个性质中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． [针对训练] 1．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　C　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2. 　　　　　　　　　 集合间的基本关系 (1) (2025·全国一卷)已知集合U＝ {x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}, 则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 (2)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________． 【解析】　(1) U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素．故选C. (2)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A. 当m>0时，因为A＝{x|－1<x<3}， 当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图， 所以所以0<m≤1. 综上所述，m的取值范围为(－∞，1]． 【答案】　(1)D　(2)(－∞，1] 判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 [针对训练] 2．(1)集合M＝，N＝，则两集合M，N的关系为(　D　) A．M∩N＝∅ B．M＝N C．M⊆N D．N⊆M 解析：由题意知，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)；当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)．所以N⊆M. (2)(多选)(2025·三亚模拟)定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}．设A＝{，}，B＝{1，}，则下列说法正确的是(　BD　) A．当x＝，y＝时，z＝1 B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有4个式子 C．A⊗B中有4个元素 D．A⊗B的真子集有7个 解析：A⊗B＝{z|z＝x2－y2，x∈A，y∈B}＝{1,0,2}， 故A⊗B中有3个元素，其真子集的个数为23－1＝7，故C错误，D正确． 当x＝，y＝时，z＝0，故A错误． x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)共有4个算式，分别为：(＋1)×(－1)，(＋1)×(－1)，(＋)×(－)，(＋)×(－)，故B正确． 　　　　　　　　　 集合的基本运算 角度一　集合的运算 (2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，则A∩B＝(　　) A．{－1,0}　　　　 B．{2,3} C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2} 【解析】　因为A＝{x|－5＜x3＜5}＝{x|－＜x＜}，B＝{－3，－1,0,2,3}，所以A∩B＝{－1,0}，故选A. 【答案】　A 角度二　利用集合的运算求参数或参数范围 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1 (2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 【解析】　(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1. (2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故a＝4. 【答案】　(1)D　(2)D 1．解决集合的基本运算问题一般应注意： 先看元素组成，对有些集合要先进行化简，注意数形结合思想的应用．集合的运算常借助于数轴和Venn图解决． 2．关于利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法：(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； (2)若集合中的元素能一一列举，则先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． [针对训练] 3．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　D　) A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1} 解析：由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选D. 4．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是(　D　) A．(－∞，－2) B．[2，＋∞) C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2. 学科网（北京）股份有限公司 $