6.1 平面向量的概念及线性运算-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第一节　平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有__大小__又有方向的量；向量的大小叫做向量的__长度__(或模) 向量由方向和长度确定，不受位置影响 零向量 长度为__0__的向量；其方向是任意的 记作　0　 单位向量 长度等于__1个单位__的向量 非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 方向__相同__或相反的非零向量；平行向量又叫做共线向量 0与任意向量__平行__ 相等向量 长度__相等__且方向__相同__的向量 两个向量不能比较大小 相反向量 长度__相等__且方向__相反__的向量 0的相反向量为0 [注意]　(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们长度相等，但方向不一定相同． (3)任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝　b＋a　； 结合律：(a＋b)＋c＝　a＋(b＋c)　 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向__相反__； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝　(λμ)a　； (λ＋μ)a＝　λa＋μ a　； λ(a＋b)＝　λa＋λb　 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 　平面向量的有关概念 给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同； ④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同． 其中叙述错误的命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C. 【答案】　C 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． [针对训练] 1．(多选)下列四个命题中正确的是(　BC　) A．“向量a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线 D．若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0 解析：A不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，则a与b是相反向量，即a＝－b；当向量a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b.综上，“|a|＝|b|且a∥b”是“向量a＝b”的必要不充分条件．B正确，平行四边形ABCD对边平行且相等，＝满足此条件．C正确，向量a与b不共线，所以向量a，b，a＋b与a－b都是非零向量，若向量a＋b与向量a－b共线，则存在唯一实数λ，使得a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，故此方程组无解，故假设不成立，所以向量a＋b与向量a－b不共线．D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同．故选BC. 　平面向量的线性运算 (1)( 2025·河南郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则＝(　　) A.－ B.－ C．－＋ D．－＋ (2)如图，在△ABC中，＝2，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　) A. B. C. D. 【解析】　(1)如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形， 所以＝＝－＝－， 所以＝＋＝＋＝＋＝＋， 所以＝－＝－＝(＋)－＝－＋.故选C. (2)由P是BN上一点，可设＝λ， 则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ， 因为＝2，所以＝，所以＝(1－λ)＋λ＝t＋， 所以解得λ＝t＝.故选C. 【答案】　(1)C　(2)C 1．平面向量线性运算的技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量转化为与已知有直接关系的向量进行求解． 2．三种运算法则的关注点 (1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，平行四边形法则要求“起点相同”． (2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”． (3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算． [针对训练] 2．(一题多解)( 2025·安徽合肥市第二次质量检测)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　A　) A.a＋b B.a＋b C.a－b D.a－b 解析：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A. 优解一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A. 优解二：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A. 　共线向量定量及其应用 (1)( 2025·河北唐山模拟)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上(不与C、D两点重合)，若＝＋μ，则实数μ的取值范围是____________________． (2)设两个非零向量a与b不共线． ①若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； ②若ka＋b和a＋kb共线，求实数k的值． 【解析】　(1)由题意得，AD＝1，CD＝， 所以＝2. 因为点E在线段CD上(不与C、D两点重合)， 所以＝λ(0<λ<1)．因为＝＋，且＝＋μ＝＋2μ＝＋，所以＝1，即μ＝. 因为0<λ<1，所以0<μ<. (2)①证明：由题意得，＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝5(a＋b)＝5，所以，共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．②因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，解得k＝±1. 【答案】　(1)　(2)见解析 共线向量定理的应用 (1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ。使a＝λb，则a与b共线． (2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值(如本例(2)②)。 [提醒]　证明三点共线时．要说明共线的两向量有公共点(如本例(2)①)． [针对训练] 3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　C　) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析：由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形． 学科网（北京）股份有限公司 $