专题4.5 垂线、两条平行线间的距离（2大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

专题4.5 垂线、两条平行线间的距离 教学目标 1. 理解垂线、垂线段、点到直线距离的概念，掌握“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”的性质，会用三角尺、量角器画垂线。 2. 掌握公垂线、公垂线段与两平行线间距离的概念，理解“平行线的所有公垂线段都相等”，明确线线距离可转化为点到直线的距离。 3. 能规范度量、计算点到直线与平行线间的距离，运用垂线与距离性质解决最短路径、几何计算等简单实际问题，发展几何直观与推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）垂线与距离核心概念：理解垂线、垂线段、点到直线距离、两平行线间距离的定义，掌握垂线的唯一性与垂线段最短性质，明确平行线间距离即公垂线段长度。 （2）作图与应用技能：熟练过点画已知直线的垂线，准确度量、计算距离；能结合性质解决几何计算、最短路径等问题，建立“距离=垂线段长度”的核心认知。 2.难点 （1）概念辨析与性质理解：区分垂线（直线）、垂线段（线段）、距离（长度）；理解“公垂线段都相等”的原理，突破“斜线也能测距离”的误区，建立线线距离与点线距离的转化逻辑。 （2）规范作图与综合应用：准确画垂线（保证垂足正确、直角标记）；在复杂图形中识别公垂线段，综合垂线性质、平行线性质与距离概念进行推理计算，规范几何表达。 知识点01 垂线 垂线 1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角） 2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD 3）垂线的性质1：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直 注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外 ：①必须强调在同一平面内；②点可在直线外，也可在直线上。 （2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。 4）垂线段的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短） 5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 【即学即练1】1．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，于点B，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求出 的度数，再根据垂直的定义得到 ，最后利用角的和差关系求出 的度数． 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）． ， ． ． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列说法中：①0是绝对值最小的有理数，②平方根等于本身的数是0和1，③不相交的两条直线互相平行，④直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离，⑤无理数都可以用数轴上的点来表示，⑥一个数的立方根有两个，它们互为相反数，正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据有理数、平方根、平行线、点到直线的距离、无理数、立方根的初中数学相关概念，逐一判断正误，统计正确个数即可得到结果． 【详解】解：①任何有理数的绝对值都是非负数，0的绝对值是0，因此0是绝对值最小的有理数，①正确； ②1的平方根是，平方根等于本身的数只有0，②错误； ③在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，③错误； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，不是垂线段本身，④错误； ⑤实数与数轴上的点一一对应，无理数属于实数，因此无理数都可以用数轴上的点来表示，⑤正确； ⑥一个数的立方根只有1个，⑥错误； 综上，正确的说法共个． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·月考）直线于点E，交于点F，若，则∠2的度数为______． 【答案】/65度 【分析】根据两直线平行，同位角相等得出，再根据垂直的定义得出，结合即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 知识点02 平行线间的距离 两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等． 【即学即练2】4．（24-25七年级下·广东东莞·月考）如图，，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，如果，，那么点A到直线b的距离为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：平行线a、b之间的距离． 故选：B． 5．（24-25七年级下·湖北荆门·月考）已知如图直线，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，与交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴间的距离处处相等， ∴为同底等高的三角形，为同底等高的三角形， ∴，， ∴， ∴； 故共有3对面积相等的三角形； 故选C． 6．（23-24七年级下·河南商丘·月考），点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 与之间的距离为， 故答案为：． 题型01 垂线的定义理解 【典例1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线、相交于点O，于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得，然后利用角的和差关系计算的度数即可． 【详解】解：， ， ，， ． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，O是直线上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的定义，求一个角的余角，根据垂直得到，再由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·上海·月考）如图，，与的度数之比为，则____． 【答案】15 【分析】由垂直的定义得，结合与的度数比，即可求解． 【详解】解：， ， 与的度数之比为，， ． 【变式3】（24-25七年级上·山西临汾·期末）在物理《光的反射》一课中：如图①经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫作入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角．在光的反射现象中，反射光线，入射光线和法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两边，反射角等于入射角．数学课上，小明同学提出这样一道题目：如图②，一束光线与水平面成的角度照射地面，在地面上斜放一个平面镜，使这束光线经过平面镜反射后的光线与地面平行，则平面镜与地面所成角的度数为______． 【答案】 【分析】根据题意结合对顶角的定义判断出，再利用平行线的性质推出，即可求解． 【详解】解：由题意，， ， ， ， ， ， ，即． 题型02 在同一平面内 垂直于同一条直线的两直线平行 【典例2】（福建郊尾、枫亭、盖尾十二校教研片区仙游县枫亭海平初级中学等校2026年春季阶段自测七年级数学试卷）如图，木工师傅用直角尺在工件上画出两条平行线段a，b．下列给出的数学原理能够使这两条线段a，b平行不符合的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同一平面内，同时平行于同一直线的两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同一平面内，同时垂直于同一直线的两直线平行 【答案】B 【详解】解：． 同位角相等，两直线平行，符合两直线平行的判定方法，该选项正确，不符合题意； ． 同一平面内，同时平行于同一直线的两直线平行，但本题未利用该判定条件，该选项正确，符合题意； ． 同旁内角互补，两直线平行，符合两直线平行的判定方法，该选项正确，不符合题意； ． 同一平面内，同时垂直于同一直线的两直线平行， 符合两直线平行的判定方法，该选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·河南开封·月考）如图，木工师傅用直角尺画直线，，则与的关系是（    ） A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据“平面内垂直于同一直线的两条直线平行”可得，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握平行线的判定与性质． 【详解】解：由作图过程知：， ∴， ∴与的关系是同位角相等． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是_____________________． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【变式3】（2024七年级下·浙江·专题练习）设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是___． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题时利用了：在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行．根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答． 【详解】解：在同一平面内，，， ∴， 即与的位置关系是平行， 故答案为：． 题型03 画垂线 【典例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，是河岸外一点．现要用最短的水管从河岸将水引到处，请画出河岸上的开口位置． 【答案】见解析 【分析】利用垂线段最短，过点作于点即可． 【详解】解：如图，过点作于点，从河岸上的点处开口，才能使所用的水管最短． 【变式3】（2026·宁夏银川·一模）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．（只能用无刻度的尺子作图，有作图痕迹的保留作图痕迹） (1)过点C画的垂线，并标出垂线所过格点E； (2)过点C画的平行线，并标出平行线所过格点F； (3)作出线段的中点H． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）观察：从A到B向右跨5格，向下跨1格，根据格点垂直规律：从点C向左走1格，向下走5格，得到格点，连接，就是的垂线，满足； （2）根据平行的格点规律：从点C向左走5格，向上走1格，得到格点，连接，满足，即为所求平行线； （3） 以A、B作为矩形的两个对角顶点，构造矩形，连接矩形另外两个对角顶点，这条对角线与的交点就是的中点． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如（1）图，直线即为所求； （3）解：如（1）图，点即为所求． 题型04 垂线段最短 【典例4】（25-26七年级下·河南许昌·月考）用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查“两点确定一条直线”、“垂线段最短”、“两点之间，线段最短”等，根据“两点确定一条直线”、“垂线段最短”、“两点之间，线段最短”逐项判断即可． 【详解】A、可用“垂线段最短”来解释，该选项符合题意； B、可用“两点确定一条直线”来解释，该选项不符合题意； C、可用“两点确定一条直线”来解释，该选项不符合题意； D、可用“两点之间，线段最短”来解释，该选项不符合题意． 故选：A 【变式1】（25-26七年级下·云南楚雄·月考）下列生活实例中，能运用“垂线段最短”的数学原理解释的是（    ） A．木匠师傅锯木料时，用墨斗弹墨线 B．把弯曲的公路改直，能够缩短路程 C．体育课上，老师测量同学跳远的成绩 D．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 【答案】C 【详解】解：A、木匠锯木料弹墨线利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符合题意； B、把弯曲公路改直缩短路程利用的是“两点之间，线段最短”的原理，故选项不符合题意； C、体育课测量跳远成绩，是测量跳远落点到起跳线的垂线段长度，运用的原理就是“垂线段最短”， 故选项符合题意； D、两个钉子固定木条利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，要在河的两岸搭建一座桥梁，沿线段搭建的桥梁最短，这一说法的理由是___________． 【答案】垂线段最短 【详解】由图可知，， 则要在河的两岸搭建一座桥，沿线段搭建最短，理由是垂线段最短． 【变式3】（25-26七年级上·河南南阳·期末）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 题型05 点到直线的距离 【典例5】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，在直角三角形中，于点，则点到的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义并结合图形即可得出结果． 【详解】解：∵在直角三角形中，于点， ∴点到的距离是线段的长． 【变式1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 【变式2】（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是___________，测量点P到直线l的距离是___________（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，点，在直线上，点，，在直线上，连接，，，，且，，，．则图中能表示点到直线的距离的是线段________的长． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度这一概念直接解答即可． 【详解】解：， 线段的长度表示点到直线的距离． 题型06 求平行线间的距离 【典例6】（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是6． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线，之间的距离是________． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线的距离，熟连掌握平行线间的距离是解题的关键． 根据平行线的距离理解解答即可． 【详解】解：∵直线向下平移个单位可与重合， ∴与的距离为， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而______.（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【答案】保持不变 【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可． 【详解】解：设平行线与之间的距离为，则， 而， ， 在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变． 故答案为：保持不变． 题型07 利用平行线间距离解决问题 【典例7】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）（如图）在两条平行线间有甲、乙、丙、丁四个图形，下面说法中正确的是（    ） A．面积按照从大到小的顺序排列是：甲乙丁丙 B．丙的面积最小，丁的面积最大 C．丙的面积最小，甲的面积最大 D．无法确定 【答案】C 【分析】由于甲、乙、丙、丁四个图形在两条平行线间，因此它们的高都相等．设它们的高都为h，将它们的面积用含有m的代数式表示出来，再比较大小即可． 本题考查了平行线之间的距离处处相等，以及列代数式，正确的列出代数式是解题关键． 【详解】解：因为甲、乙、丙、丁四个图形在两条平行线间，所以它们的高都相等，设它们的高都为h，则 甲的面积， 乙的面积， 丙的面积， 丁的面积． 面积按照从大到小的顺序排列是：甲乙丁丙，丙的面积最小，甲的面积最大． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝______，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝______． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到，即可求解的面积，再由平行线间的距离相等得到，然后由． 【详解】解：过点分别作，垂足为 ∵ ∴， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴； 过点作直线的垂线，垂足为， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：12，3． 【变式3】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是________．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键． 根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案． 【详解】解：∵直线， ∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确； ∵，的长随点P的移动而变化， ∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误； ∵点到直线的距离不变，的长度不变， ∴的面积不会随点的移动而变化，故③正确； 综上，不会随点的移动而变化的是①③． 故答案为：①③． 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东·月考）为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段如图所示，村委会选择路段到河边，这样做的道理是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】A 【分析】由垂线段最短可知，三条路段中，最短，据此可得答案． 【详解】解：村委会选择路段到河边，这样做的道理是垂线段最短． 2．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，直线交于点O，若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由平角的定义求出，可判断．由对顶角相等得，可得，无法判断． 【详解】解：∵， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴ ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵ ∴，故选项B正确，不符合题意； 无法判断，故选项D不正确，符合题意． 3．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，已知直线，相交于点，，若添加一个条件后仍无法得到，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据结合垂线的定义可判断A；根据垂线的定义可得，则可证明，据此可判断B；根据平角的定义可得，据此可判断C；由不能推出，据此可判断D． 【详解】解：A、当时，，则，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴，故此选项不符合题意； C、当时，∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D、由不能推出，故此选项符合题意； 4．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论正确的是（   ） ①平分 ②三角形与三角形的面积相等 ③与互余的角有2个 ④若，则 A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】由，可得，即，由是的平分线，是的平分线，可得，，由，可得，即平分，可判断①的正误；由，可知与的面积相等，可判断②的正误；由，可证，则与互余的角有，，，共4个，可判断③的正误；由，可得，则，，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴平分，①正确，故符合要求； ∵， ∴与的面积相等，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与互余的角有，，，共4个，③错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 综上，①②④正确，A选项符合题意． 二、填空题 5．（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是___________，依据是___________． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【详解】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 6．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，，垂足分别为E、F，则图中点B到的距离等于图中线段______的长．（不可再添加线段） 【答案】/ 【分析】本题考查两平行线间的距离处处相等，点到直线的距离是点到直线垂线段的长度． 【详解】解：， 到直线的距离与到直线的距离相等， ， 到直线的距离为线段的长， 到直线的距离为线段的长． 答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由可推出与中边上的高相等，又有两个三角形有公共底，根据三角形面积公式即可确定关系． 【详解】解：∵直线， ∴与中边上的高相等， ∵， ∴． 8．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为_______ °． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的性质，根据入射角等于反射角可知，根据垂直的定义可知，即可求出，根据平行线的性质可知． 【详解】解：如下图所示， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26七年级下·云南楚雄·月考）如图，直线与直线相交于点，于点，平分，．则______． 【答案】 【分析】首先根据垂直和的度数得出的度数，然后根据对顶角的性质得出的度数，最后根据角平分线的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，直线，若，则________． 【答案】140 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ， ． ， ． ， ， ． 故答案为：140． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，直线与相交于点，射线在内部，且，，求的度数． 【答案】 【分析】由对顶角相等得，又，所以，最后通过角度和差即可求解． 【详解】解：因为直线与相交于点，， 所以， 因为， 所以， 所以． 13．（25-26七年级下·陕西西安·月考）完成推理填空： 如图，已知，平分，，求的度数． 解：（已知）， （______________________）， （______________________）， ， 平分（已知）， ___________（______________________）， 又（已知）， （______________________）， ， ____________________． 【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义；垂线的定义；50；25． 【分析】先证明得到，则可求出的度数，由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义得到的度数，则可求出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， 平分（已知）， （角平分线的定义）， 又（已知）， （垂线的定义）， ， ∴． 14．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，，为两条笔直的公路，加油站位于上． (1)过加油站修建与垂直的公路，与公路交于点，在图中画出公路； (2)在图中画出从加油站到公路的最近路线（点位于上）； (3)在（1）（2）的基础上，到的距离为线段________的长度，，，这三条线段的大小关系为_________（用“<”连接）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)； 【分析】（1）过点作直线即可； （2）过点作线段即可； （3）由连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，即可得出结果． 【详解】（1）解：下图中即为所作： （2）解：下图中即为所作： （3）解：由图可知， ∴到的距离为垂线段的长度， ∴． 15．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，已知直线，相交于点，平分，射线在上方，且，垂足为． (1)若，求的度数； (2)先在图中的内部作射线，再探索与之间有怎样的数量关系，并证明； (3)已知，在直线下方作射线，且，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）首先求出，利用角平分线的性质求出，进而得出答案； （2）根据要求作图即可；由垂直得到，进而推出； （3）首先求出，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分 ∴ ∴； （2）解：如图所示，，证明如下： ∵， ∴ ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ 如图，当射线在内部时， ∵ ∴， ∴； 如图，当射线在外部时， ∵ ∴ ∴； 综上所述，的度数为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.5 垂线、两条平行线间的距离 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点1垂线 知识清单 知识点2平行线间的距离 题型！垂线的定义理解 垂线、两条平行 题型2在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行 线间的距离 题型3画垂线 题型4垂线段最短 题型精讲 题型5点到直线的距离 题型6求平行线间的距离 题型7利用平行线间距离解决问题 强化训训练 教学目标、教学重难点 1.理解垂线、垂线段、点到直线距离的概念，掌握“过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直”“垂线段最短”的性质，会用三角尺、量角器画垂线。 2.掌握公垂线、公垂线段与两平行线间距离的概念，理解“平行线的所有公垂线段都 教学目标 相等”，明确线线距离可转化为点到直线的距离。 3.能规范度量、计算点到直线与平行线间的距离，运用垂线与距离性质解决最短路 径、几何计算等简单实际问题，发展几何直观与推理能力。 教学重难点 1.重点 (1)垂线与距离核心概念：理解垂线、垂线段、点到直线距离、两平行线间距离的 定义，掌握垂线的唯一性与垂线段最短性质，明确平行线间距离即公垂线段长度。 (2)作图与应用技能：熟练过点画已知直线的垂线，准确度量、计算距离；能结合 性质解决几何计算、最短路径等问题，建立“距离=垂线段长度”的核心认知。 2.难点 (1)概念辨析与性质理解：区分垂线（直线）、垂线段（线段）、距离（长度）； 理解“公垂线段都相等”的原理，突破“斜线也能测距离”的误区，建立线线距离与 点线距离的转化逻辑。 (2)规范作图与综合应用：准确画垂线（保证垂足正确、直角标记）；在复杂图形 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中识别公垂线段，综合垂线性质、平行线性质与距离概念进行推理计算，规范几何表 达。 知识清单 知识点01垂线 垂线 1)垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。 (实际上，四个角都为直角) 2)如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“上”符号表示，读作“垂直”，表示为： AB⊥CD,读作：AB垂直于CD 3)垂线的性质1：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与己知直线垂直 注：(1)垂线的性质中，有2点需要格外：①必须强调在同一平面内；②点可在直线外，也可在直线上。 (2)同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。 4)垂线段的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短） 5)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 【即学即练1】1.(2026陕西宝鸡一模)如图，AB⊥BC于点B,AD∥BE.若∠BAD=28°，则 ∠CBE的度数为() A.60° B.62° C.64° D.66 2.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考)下列说法中：①0是绝对值最小的有理数，②平方根等于本身 的数是0和1，③不相交的两条直线互相平行，④直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离， ⑤无理数都可以用数轴上的点来表示，⑥一个数的立方根有两个，它们互为相反数，正确的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 3.(25-26七年级下云南曲靖月考)直线AB∥CD,EF⊥AB于点E,交CD于点F,若∠I=25°，则∠2 的度数为■ 2/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点02平行线间的距离 两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间 的距离，平行线间的距离处处相等 【即学即练2】4.(24-25七年级下广东东莞·月考)如图，a∥b,点A在直线a上，点B,C在直线b 上，AC⊥b,如果AB=5cm,AC=4cm,那么点A到直线b的距离为() A.5cm B.4cm C.3cm D.不能确定 5.(24-25七年级下·湖北荆门月考)已知如图直线m∥n,A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两 点，BC与AD交于点O,则图中面积相等的三角形有() D m -n A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 6.(23-24七年级下·河南商丘·月考)a∥b,点B,C在直线a上，点A在直线b上，AB1AC,AB=6, AC=8,BC=10,则图中a与b之间的距离为 B C a A b 题型精讲 题型01垂线的定义理解 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(24-25七年级下·辽宁沈阳期中)如图，直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于点O, ∠1=55°，则∠BOD的度数是() E D B A.40° B.45° C.30 D.35 【变式1】(25-26七年级上河南郑州·期末)如图，O是直线AB上一点，OD⊥AB,∠AOC=3518,则 ∠DOC的度数为() O B A.5542 B.54°42 C.5582 D.5482' 【变式2】(25-26七年级下·上海·月考)如图，B01A0,∠BOC与∠AOC的度数之比为1：5，则 ∠BOC= A 【变式3】(24-25七年级上·山西临汾·期末)在物理《光的反射》一课中：如图①经过入射点O并垂直于 反射面的直线ON叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫作入射角，反射光线与法线的夹角”叫作反射角， 在光的反射现象中，反射光线，入射光线和法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两边， 反射角等于入射角.数学课上，小明同学提出这样一道题目：如图②，一束光线M0与水平面成60°的角 度照射地面，在地面AB上斜放一个平面镜CD,使这束光线经过平面镜反射后的光线ON与地面平行，则 平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数为 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 法线 D 八入射角反射角/ 入射光线 反射光线 反射面 A 660 O B 图① 图② 题型02在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行 【典例2】.（福建郊尾、枫亭、盖尾十二校教研片区仙游县枫亭海平初级中学等校2026年春季阶段自测七 年级数学试卷)如图，木工师傅用直角尺在工件上画出两条平行线段α，b.下列给出的数学原理能够使这 两条线段a,b平行不符合的是() A.同位角相等，两直线平行 B.同一平面内，同时平行于同一直线的两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.同一平面内，同时垂直于同一直线的两直线平行 【变式1】(25-26八年级上河南开封·月考)如图，木工师傅用直角尺画直线a,b,则∠1与∠2的关系 是() TTTTTTTTTT A.同位角相等B.内错角相等 C.同旁内角互补D.对顶角相等 【变式2】(24-25七年级下·全国·课后作业)如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则 两条直角边AB和CD满足AB∥CD.理由是 【变式3】(2024七年级下·浙江·专题练习)设4,12,3为同一平面内三条不同直线，若1⊥12,1211， 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则与的位置关系是、 题型03画垂线 【典例3】(24-25七年级下·全国·课后作业)下列选项利用三角板过点P画直线AB的垂线CD,方法正确 的是() B 【变式1】(25-26七年级下·全国·课后作业)过点P向线段AB所在直线作垂线段，作图正确的是() P P。 B dB D B A BO 【变式2】(25-26七年级下·陕西咸阳·月考)如图，C是河岸AB外一点.现要用最短的水管从河岸AB将 水引到C处，请画出河岸AB上的开口位置. 。C B 【变式3】(2026宁夏银川一模)在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶 点都叫做格点.（只能用无刻度的尺子作图，有作图痕迹的保留作图痕迹） 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A B (I)过点C画AB的垂线，并标出垂线所过格点E: (2)过点C画AB的平行线CF,并标出平行线所过格点F; (3)作出线段AB的中点H. 题型04垂线段最短 【典例4】(25-26七年级下·河南许昌·月考)用“垂线段最短”来解释的现象是() 起 R A 线 B . 木板上弹墨线 测量跳远成绩 两钉子固定木条 弯曲河道改直 【变式1】(25-26七年级下·云南楚雄·月考)下列生活实例中，能运用“垂线段最短”的数学原理解释的 是() A.木匠师傅锯木料时，用墨斗弹墨线 B.把弯曲的公路改直，能够缩短路程 C.体育课上，老师测量同学跳远的成绩 D.用两个钉子就可以把木条固定在墙上 【变式2】(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考)如图，要在河的两岸搭建一座桥梁，沿线段PM搭建 的桥梁最短，这一说法的理由是 N 【变式3】(25-26七年级上河南南阳·期末)运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得数据分别为DA=2.56米，DB=2.15米，AC=2.70米，则黎明的立定跳远成绩应该为米。 B 题型05点到直线的距离 【典例5】(25-26七年级下·安徽滁州·月考)如图，在直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D,则点A到 CD的距离是() B A.线段AC的长 B.线段AD的长 C.线段CD的长 D.线段BD的长 【变式1】(24-25七年级下·湖北咸宁·期末)跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离.下图 是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是() 220cm 215cm 210cm 205cm4 200cm 立定跳远起跳线 F Y A.200cm B.205cm C.210cm D.220cm 【变式2】(25-26七年级上北京延庆·期末)如图，点P是直线1外一点，点A、B、C、D在直线1上， PC⊥I于点C,在线段PA、PB、PC、PD中，最短的线段是 测量点P到直线I的距离是 cm(精确到0.1cm). 【变式3】(25-26七年级下·陕西咸阳月考)如图，点A,D在直线a上，点B,C,E在直线b上，连 接AB,AC,CD,DE,且AB⊥b,DC⊥b,CA⊥Q,ED⊥a.则图中能表示点D到直线b的距离的 8/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是线段 的长， -6 题型06求平行线间的距离 【典例6】(2026八年级下，全国专题练习)已知直线a,b,c在同一平面内，且abc,a与b之间的 距离为4cm,b与c之间的距离为lcm,则a与c之间的距离是() A.3cm B.5cm C.3cm或5cm D.以上都不对 【变式1】(24-25七年级下·全国单元测试)如图，已知直线a∥b∥c,直线d与它们分别垂直且相交于 A,B,C三点.若AB=4,AC=10,则平行线b,c之间的距离是() B A A.2 B.4 C.6 D.14 【变式2】(24-25七年级下全国·单元测试)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线P?, MN之间的距离是 M 【变式3】(2025湖南娄底三模)如图，在Rt△ABC中，点A在直线4上，点B、C在直线马上，1∥1， 动点P从点A出发沿直线以1c/s的速度向右运动，设运动时间为s.在点P运动过程中，△PBC的面 积随着t的增大而」 ·(填“增大”、“保持不变”或“减小”) A B 题型07利用平行线间距离解决问题 【典例7】(25-26七年级上四川乐山期末)如图，1∥1，平行四边形、三角形、梯形放置于1和12之间， 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 它们的面积分别记为SS2S,则下列正确的是() 3cm S2 5cm 10cm 7cm A.S,>S2>S3 B.S=S2>S C.S>S2=S3 D.S=S2=S3 【变式1】(25-26七年级上·山东青岛开学考试)（如图）在两条平行线间有甲、乙、丙、丁四个图形， 下面说法中正确的是() 7cm 甲 丙 入 7cm 6cm 8cm 5cm A.面积按照从大到小的顺序排列是：甲>乙>丁>丙 B.丙的面积最小，丁的面积最大 C.丙的面积最小，甲的面积最大 D.无法确定 【变式2】(24-25七年级下·上海静安·月考)如图，梯形ABCD中，AB∥CD,对角线交于点O,若 △ABC的面积是4，AB:CD=1:3,那么△ACD的面积=，若△AOB的面积等于1，△ABC的面积是 4,则△AOD的面积= B 【变式3】(24-25七年级下·河北石家庄·月考)如图，P是直线m上一动点，A,B是直线n上的两个定点， 且直线m∥n;对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大 小.其中不会随点P的移动而变化的是 ·(填序号) P -m B 10/15