专题4.1 平面内两条直线的位置关系（2大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

专题4.1 平面内两条直线的位置关系 教学目标 1. 知识目标：理解平面内两条直线相交、平行、重合三种位置关系，掌握平行线、对顶角、同位角、内错角等概念，熟记平行公理及推论。 2. 技能目标：会用符号表示平行与垂直，能正确画出平行线和垂线，掌握平行线的判定与性质，能进行简单几何推理与角度计算。 3. 素养目标：通过观察、操作、推理活动，发展空间观念与逻辑思维，体会几何知识在生活中的应用，培养严谨表达习惯。 教学重难点 1.重点 （1）核心知识：掌握平行线的判定定理与性质定理，理解相交线中的对顶角、邻补角性质，明确“同一平面内”的前提条件。 （2）关键应用：熟练运用平行线的判定与性质解决简单推理、角度计算问题，掌握垂线性质及点到直线、平行线间距离的概念与计算。 2.难点 （1）逻辑推理：区分平行线判定与性质的条件与结论，能规范书写推理过程，在复杂图形中准确识别同位角、内错角等位置关系。 （2）概念理解：深入理解平行公理及推论的内涵，区分“点到直线距离”与“两点间距离”，灵活应用性质与判定解决综合问题。 知识点01 相交线、平行线 平面上两条直线的位置关系 相交：两条直线有一个交点； 平行：两条直线没有交点． 【即学即练1】1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系的基本概念． 【详解】解：∵在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种． ∴两直线的位置关系必是相交或平行， 故选：C． 2．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）下列说法中正确的有（   ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】逐个判断五个说法的正误，统计正确说法的个数，用到对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、垂线性质等初中几何知识点． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则其补角为，余角为， ∵， ∴一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内过一点有无数条直线与已知直线垂直，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：①交通路口的斑马线，是平行线，符合题意； ②天上的彩虹，不是直线，所以不是平行线，不符合题意； ③百米跑道线，是平行线，符合题意； ④火车的平直铁轨线，是平行线，符合题意； 综上：属于平行线的有①③④，三个． 故答案为：①③④． 知识点02 对顶角 对顶角的意义 两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 对顶角的性质 对顶角相等． 【即学即练2】4．（25-26七年级下·山东济宁·月考）下列各组角中，与是对顶角的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义，两个角有公共顶点且两边互为反向延长线，即可判定． 【详解】解：A．与没有公共顶点，故A错误，不符合题意； B．与的两边不是互为反向延长线，故B错误，不符合题意； C．与的两边不是互为反向延长线，故C错误，不符合题意； D．与是对顶角，故D正确，符合题意． 5．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图是一把剪刀示意图，当剪口减少时，的值（   ） A．增加 B．减少 C．不变 D．等于 【答案】B 【分析】根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：， 减少时，减小． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点O，平分，平分，若的度数为，则的度数为___________°． 【答案】 【分析】先由角平分线得到，再由平角得到，而，求出，最后根据对顶角的性质即可求解． 【详解】解：∵平分，平分 ∴， 又∵，而， ∴ ∴， ∴． 题型01 平面内两直线的位置关系 【典例1】（25-26六年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，根据初中数学教材中的相关概念判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系为平行或相交，重合的直线视为同一条直线，不属于两条不同直线的位置关系． ∴两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·四川德阳·月考）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，平行公理及其推论，根据相关知识点逐一判断每个说法即可． 【详解】解：① 若与相交，与相交，与可能平行（如两条平行线都与第三条直线相交），因此①是假命题． ② ，，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，，因此②是真命题． ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，因此③是真命题． ④ 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，因此④是假命题． 综上，真命题共有2个，故选B． 【变式2】（23-24七年级下·新疆和田·期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有__________和__________两种． 【答案】 平行 相交 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交， 故答案为：平行，相交． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·月考）有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线的平行线有无数条； ④与同一条直线相交的两条直线一定也相交． 其中正确的有______．（只填序号） 【答案】②③ 【分析】根据平行线，平行公理的推论，两条直线的位置关系，逐一判断各说法，即可得到结果． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误，不符合题意； ②平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故原说法正确，符合题意； ③一条直线的平行线有无数条，此说法正确，符合题意； ④与同一条直线相交的两条直线可能相交或平行，故原说法错误，不符合题意， 综上，正确说法为②③ 题型02 对顶角的定义 【典例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角定义即可求解． 【详解】解：、选项中与不是对顶角，不符合题意； 、选项中与是对顶角，符合题意； 、选项中与不是对顶角，不符合题意； 、选项中与不是对顶角，不符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·福建莆田·月考）下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，选项不符合题意； B、两个角没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； C、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，不符合题意； D、两个角有公共顶点并且任一个角的对应边在各自的反向延长线上，是对顶角，符合题意． 【变式2】（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有_____对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 【变式3】（21-22七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，与相交于点O，把分成两部分，则的对顶角为___________． 【答案】 【分析】根据对顶角定义进行求解即可． 【详解】解：的对顶角为． 题型03 利用对顶角相等求角 【典例3】（2026·贵州六盘水·一模）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，即可求解． 【详解】解：，， ， ． 【变式1】（22-23七年级上·重庆江北·周测）如图，直线与直线相交于点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的和差关系求出 的度数，再利用对顶角相等即可求出 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，直线，相交于点，若，，则的度数是______． 【答案】/45度 【分析】根据对顶角相等得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·河北保定·月考）如图，交于点O，平分．若，则的度数是__________°． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，则可由角平分线的定义求出的度数，再由对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型04 同位角、内错角、同旁内角的辨别 【典例4】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内错角的定义判断即可． 【详解】解：由图得，和是内错角的是， 【变式1】（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图所示，直线，被直线所截： ①和是同位角； ②和是对顶角； ③与是内错角； ④和是同旁内角．则结论正确的是_______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；依此逐一判断即可． 【详解】解：和是同位角，故①正确， 和是对顶角，故②正确， 与不都在两直线之间，不是内错角，故③错误， 和是同旁内角，故④正确， ∴结论正确的是①②④． 【变式3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 题型05 平行公理的应用及推论 【典例5】（25-26七年级上·河南许昌·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理、对顶角及直线公理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：A：两点之间，线段最短，故该选项不合题意； B：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不合题意； C：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项不合题意； D：两点确定一条直线，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（福建郊尾、枫亭、盖尾十二校教研片区仙游县枫亭海平初级中学等校2026年春季阶段自测七年级数学试卷）在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行可得到结论． 【详解】解：∵， ∴     又∵ ∴ 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 题型06 用直尺、三角板画平行线 【典例6】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 【变式1】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川广元·期末）用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 【变式3】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 一、单选题 1．（25-26七年级下·云南楚雄·月考）如图，直线相交，并同时被所截，下列各组角中，属于内错角的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：A、和属于内错角； B、和属于同旁内角； C、和属于同旁内角； D、和属于对顶角． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对顶角有两个核心判定条件：①两个角有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线． 【详解】解：选项A：和的两边不互为反向延长线，不符合对顶角的定义，故不是对顶角； 选项B：和没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故不是对顶角； 选项C：和有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，符合对顶角的定义，故是对顶角； 选项D：和两边不互为反向延长线，不符合对顶角的定义，故不是对顶角； 故选：C． 3．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）小西同学在刷淘宝时候发现一款苏州产的数显角度尺（如图一），比量角器方便好多，小西不禁对其原理好奇起来，他找到了一款不带数显的量角专用神器（如图二），请问它里面应用的数学原理是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．等量代换 D．同弧所对的圆心角是圆周角的两倍 【答案】B 【详解】根据题意可知，里面应用的数学原理是对顶角相等． 4．（25-26七年级下·广西崇左·月考）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中，，则光的传播方向改变的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，利用直角的性质求出光沿直线传播时在水中对应的角度为，再结合实际折射角，计算角度差得到传播方向改变的度数． 【详解】解：如图，延长到点． ∵， ∴， ∴． 又， ∴． 故光的传播方向改变的度数为． 5．（22-23七年级下·云南昭通·期中）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（    ） A．20° B．40° C．50° D．70° 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义以及对顶角的性质，角度计算等知识，综合运用以上知识是解题的关键．先求出的度数，再求出的度数，最后根据“对顶角相等”求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图中有______对同位角；有______对同旁内角；有______对内错角． 【答案】 8 4 5 【分析】本题考查了同位角，内错角和同旁内角，熟练掌握同位角，内错角和同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角，内错角和同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：同位角一共8对，分别是和，和，和，和，和，和，和，和； 同旁内角一共4对，分别是和，和，和，和； 内错角一共5对，分别是和，和，和，和，和． 故答案为：8；4；5． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线________，________被直线________所截得的________角；和是直线________，________被直线________所截得的________角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是________． 【答案】 AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 9．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，直线和交于点O，，则的度数为 _______． 【答案】 /60度 【分析】根据对顶角相等可得的度数，再根据已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 10．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）如图，直线相交于点，若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 又∵， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）几何语言的理解与运用 (1)读下列语句，并分别画出图形 ①直线l经过点A、B、C，并且点C在点A和点B之间； ②点P是直线a外一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q； (2)请用几何语言描述下面两条直线的位置关系： 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)直线和直线交于点（或：直线和直线交于点） 【分析】本题考查了相交直线，画直线等知识点． （1）①根据直线的定义即可作图；②根据相交直线的定义即可作图； （2）根据相交直线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求； ②如图，即为所求； （2）解：直线和直线交于点（或：直线和直线交于点） 12．（24-25七年级下·宁夏固原·月考）如图，直线相交于点平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据平角的定义结合角的数量关系求出的度数，再根据角平分线的定义和对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴. 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 14．（21-22七年级下·甘肃庆阳·月考）如图，直线，相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)若与互为余角，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，再利用对顶角相等即可求解； （2）利用余角的定义求得，再利用平角的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 【答案】（1）①2  ②6  ③12  ④（2）（3）归纳结论：n条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【分析】（1）根据对顶角定义，认真观察图①②③，求出答案即可，根据①②③对顶角的个数进行探究即可； （2）依据规律可以推测出若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； （3）根据（1）（2）得到的结论，进行归纳即可． 【详解】解：（1）①图①中对顶角是与，与，共有对对顶角． ②图②中对顶角是与，与，与，与，与，与，共有对对顶角． ③图③中有条直线相交于点，共有对对顶角． ④根据以上总结，2条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）． 以此类推，条直线相交于一点，可形成的对顶角对数为 ． 故答案为：①；②；③；④． （2）若条直线两两相交于不同的点，则有（个）交点，有对对顶角； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，有对对顶角； ……； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，共有对对顶角． 故答案为：． （3）归纳结论：条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 平面内两条直线的位置关系 教学目标 1. 知识目标：理解平面内两条直线相交、平行、重合三种位置关系，掌握平行线、对顶角、同位角、内错角等概念，熟记平行公理及推论。 2. 技能目标：会用符号表示平行与垂直，能正确画出平行线和垂线，掌握平行线的判定与性质，能进行简单几何推理与角度计算。 3. 素养目标：通过观察、操作、推理活动，发展空间观念与逻辑思维，体会几何知识在生活中的应用，培养严谨表达习惯。 教学重难点 1.重点 （1）核心知识：掌握平行线的判定定理与性质定理，理解相交线中的对顶角、邻补角性质，明确“同一平面内”的前提条件。 （2）关键应用：熟练运用平行线的判定与性质解决简单推理、角度计算问题，掌握垂线性质及点到直线、平行线间距离的概念与计算。 2.难点 （1）逻辑推理：区分平行线判定与性质的条件与结论，能规范书写推理过程，在复杂图形中准确识别同位角、内错角等位置关系。 （2）概念理解：深入理解平行公理及推论的内涵，区分“点到直线距离”与“两点间距离”，灵活应用性质与判定解决综合问题。 知识点01 相交线、平行线 平面上两条直线的位置关系 相交：两条直线有一个交点； 平行：两条直线没有交点． 【即学即练1】1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 2．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）下列说法中正确的有（   ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有______．（填序号） 知识点02 对顶角 对顶角的意义 两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 对顶角的性质 对顶角相等． 【即学即练2】4．（25-26七年级下·山东济宁·月考）下列各组角中，与是对顶角的为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图是一把剪刀示意图，当剪口减少时，的值（   ） A．增加 B．减少 C．不变 D．等于 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点O，平分，平分，若的度数为，则的度数为___________°． 题型01 平面内两直线的位置关系 【典例1】（25-26六年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【变式1】（25-26七年级下·四川德阳·月考）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式2】（23-24七年级下·新疆和田·期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有__________和__________两种． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·月考）有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线的平行线有无数条； ④与同一条直线相交的两条直线一定也相交． 其中正确的有______．（只填序号） 题型02 对顶角的定义 【典例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·福建莆田·月考）下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有_____对． 【变式3】（21-22七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，与相交于点O，把分成两部分，则的对顶角为___________． 题型03 利用对顶角相等求角 【典例3】（2026·贵州六盘水·一模）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级上·重庆江北·周测）如图，直线与直线相交于点，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，直线，相交于点，若，，则的度数是______． 【变式3】（25-26七年级下·河北保定·月考）如图，交于点O，平分．若，则的度数是__________°． 题型04 同位角、内错角、同旁内角的辨别 【典例4】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【变式2】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图所示，直线，被直线所截： ①和是同位角； ②和是对顶角； ③与是内错角； ④和是同旁内角．则结论正确的是_______（填序号）． 【变式3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 题型05 平行公理的应用及推论 【典例5】（25-26七年级上·河南许昌·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点确定一条直线 【变式1】（福建郊尾、枫亭、盖尾十二校教研片区仙游县枫亭海平初级中学等校2026年春季阶段自测七年级数学试卷）在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 题型06 用直尺、三角板画平行线 【典例6】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式1】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【变式2】（24-25七年级下·四川广元·期末）用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【变式3】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    一、单选题 1．（25-26七年级下·云南楚雄·月考）如图，直线相交，并同时被所截，下列各组角中，属于内错角的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）小西同学在刷淘宝时候发现一款苏州产的数显角度尺（如图一），比量角器方便好多，小西不禁对其原理好奇起来，他找到了一款不带数显的量角专用神器（如图二），请问它里面应用的数学原理是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．等量代换 D．同弧所对的圆心角是圆周角的两倍 4．（25-26七年级下·广西崇左·月考）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中，，则光的传播方向改变的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·云南昭通·期中）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（    ） A．20° B．40° C．50° D．70° 二、填空题 6．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图中有______对同位角；有______对同旁内角；有______对内错角． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线________，________被直线________所截得的________角；和是直线________，________被直线________所截得的________角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是________． 9．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，直线和交于点O，，则的度数为 _______． 10．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）如图，直线相交于点，若，则的度数为______． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）几何语言的理解与运用 (1)读下列语句，并分别画出图形 ①直线l经过点A、B、C，并且点C在点A和点B之间； ②点P是直线a外一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q； (2)请用几何语言描述下面两条直线的位置关系： 12．（24-25七年级下·宁夏固原·月考）如图，直线相交于点平分，若，求的度数． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 14．（21-22七年级下·甘肃庆阳·月考）如图，直线，相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)若与互为余角，求的度数． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $