专题3.3 一元一次不等式组（2大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

专题3.3 一元一次不等式组 教学目标 1. 理解一元一次不等式组、解集及解不等式组的概念，会判断一元一次不等式组，明确其组成结构。 2. 掌握解一元一次不等式组的步骤，能分别求出每个不等式的解集，利用数轴确定不等式组的解集。 3. 体会数形结合与转化思想，能规范书写解题过程，培养逻辑推理与规范运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握一元一次不等式组的解法，熟练求解每个一元一次不等式，准确求出公共解集。 （2）借助数轴直观表示各个不等式的解集，正确找出公共部分，规范写出不等式组的解集。 2.难点 （1）准确判断不等式组有无解，理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的规律。 （2）系数为负数时不等号方向易出错，再叠加找公共解集，容易出现方向、端点、范围判断错误。 知识点01 一元一次不等式组的定义 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【即学即练1】1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元一次不等式组需满足两个条件：只含一个未知数，且每个不等式均为一次不等式．选项A符合条件，其他选项要么含多个未知数，要么有二次项． 本题考查了一元一次不等式组的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、不等式组只含未知数x，且每个不等式均为一次不等式，是一元一次不等式组，符合题意． B、为二次不等式，不是一元一次不等式组，不符合题意． C、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． D、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． 故选：A． 3．（22-23七年级下·甘肃庆阳·月考）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点02 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【即学即练2】4．（2026·湖北武汉·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后依据数轴表示规则(空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，大于向右延伸，小于向左延伸)判断正确选项． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴原不等式组的解集为． 在数轴上表示该解集时，在1的位置画空心圆圈并向右延伸，在2的位置画实心圆点并向左延伸，两者的公共部分就是，对应选项C． 5．（25-26九年级上·云南昆明·期末）不等式组的解集为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是不等式组的解法，分别解两个不等式，再取解集的公共部分． 【详解】解： 由①得：， 解得：． 由②得：， ∴， 解得：． 不等式组的解集为． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）解不等式组并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并用数轴表示不等式组的解集，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤和数形结合的思想． 先利用解一元一次不等式组的步骤进行求解，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示． 题型01 一元一次不等式组的定义 【典例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项． 【详解】解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B、包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D、两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，解题关键是抓住“一元”（一个未知数）和“一次”（未知数次数为）两个核心特征，同时确保组内全是不等式． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【变式3】（25-26七年级上·上海·假期作业）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的识别，掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，可知， A、第二个不等式为分式不等式，不是一元一次不等式组，故选项A不符合题目要求； B、不等式组中含有两个未知数x和y，不是一元一次不等式组，故选项B不符合题目要求； C、第一个不等式没有未知数，不是一元一次不等式组，故选项C不符合题目要求； D、两个不等式都是关于x的一次不等式，是一元一次不等式组，故选项D符合题目要求． 故选：D． 题型02 求一元一次不等式组的解集 【典例2】（2025·西藏日喀则·三模）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①，得， 由②，得， 所以不等式组的解集是：． 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选A． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式组的解集是_____． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可． 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴． 【变式2】（2025九年级·江苏·专题练习）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集． 本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解： 由①得：； 由②得： 不等式组的解集为． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 题型03 求一元一次不等式组的整数解 【典例3】（25-26九年级上·湖北·期末）不等式组的所有整数解的和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先解每个不等式，得到解集的范围，然后找出所有整数解，并求和即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组：， 解第一个不等式 ，得 ， 解第二个不等式 ，得， ∴ 不等式组的解集为 整数解为 和为， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式组的整数解是________． 【答案】 2 【分析】先单独求解每个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后，取它们的公共部分作为不等式组的解集，再在这个解集中筛选出所有整数即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 所以不等式组的解集为， 在这个范围内的整数只有2， 所以该不等式组的整数解是． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式组的整数解是_______________． 【答案】-1，0，1 【分析】本题重点考查一元一次不等式组的解法，掌握其解法是解题的关键． 先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集，最后从中找出整数解即可． 【详解】解不等式， 根据不等式的性质2，两边同时乘以6，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解不等式， 移项，得， 合并同类项，得， 因此，不等式组的解集为， 所以该不等式组的整数解为-1，0，1， 故答案为：-1，0，1． 【变式3】（25-26九年级上·重庆江北·期末）解不等式组：，并写出它的所有负整数解． 【答案】，负整数解为、 【分析】分别求两个不等式的解集，然后求公共解，确定负整数解． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 负整数解为、． 【点睛】注意负整数解的定义． 题型04 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例4】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”的规则即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集是，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别表示不等式组的解集，根据已知解集确定出与的值，即可求出原式的值． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意，得解得 ∴． 题型05 一元一次不等式组和方程组结合的问题 【典例5】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键． （1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到的表达式，无需单独解出，再根据建立关于的不等式求解范围； （2）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得， 解得． ， ， ，． （2）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，． 题型06 解|x|≥a型的不等式 【典例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山西太原·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·期末）不等式的解为_____． 【答案】或 【分析】分、和三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式即，解得：； 当时，原式即：，无解； 当时，原式即：，解得：． 故不等式的解集是：或． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．对于含绝对值的不等式，从图的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解集为或． 问题解决： (1)求出含绝对值的不等式的解集 (2)已知关于，的二元一次方程的解满足，其中是正数，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查了解含有绝对值的不等式，求不等式组的解集，理解题中的方法是解题的关键． （）根据题中提供的方法进行解答即可； （）根据题中提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 题型07 列一元一次不等组 【典例7】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖北十堰·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据恰有3个整数解确定具体整数解，最后结合解集边界确定的取值范围，需注意边界值的取舍． 【详解】解：∵不等式组， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴这3个整数解为1、0、， ∴． 故选B． 2．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示以上不等式解集为： ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26七年级上·全国·假期作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组得到其解集，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推导m的取值范围即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有3个， ∴整数解为1、0、， ∴； 故选C 二、填空题 6．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式组 的解集是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质分别求解每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集为． 7．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求得不等式组中每个不等式的解集，再根据题意得到不等式，即可得出答案．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 10．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）不等式组的所有整数解的和为______． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，找出不等式组的所有整数解，再计算所有整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①，去括号得 ， 移项合并同类项得 ， 系数化为得， 解不等式②，去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为， 所有整数解的和为． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，它的所有整数解的和为 【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解，然后求得它的所有整数解，再求和即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解为， 它的所有整数解为，，0，1， 它的所有整数解的和为． 12．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 13．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与不等式（组）的应用，掌握整体代入求、解方程组后根据解的正负列不等式组是解题的关键． （1）将两个方程相加，整体求出的表达式，代入不等式求解的范围； （2）先解方程组得到的表达式，再根据解为正数列不等式组求解的范围． 【详解】（1）解： ，得，③ ，得． ∵， ∴， 解不等式，得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）可知，．④ ，得． 将代入④中， 解得， ∴方程组的解是 ∵方程组的解均为正数， ∴ 解不等式组，得， ∴的取值范围为． 14．（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组和不等式组： (1)解方程组； (2)解不等式组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组， （1）利用代入消元法求解即可； （2）分别解两个一元一次不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定答案即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②中，得， 解得， 将代入①中，得， ∴原方程组的解为． （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料，再完成下列问题： （i）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于-2而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为．    （ii）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于-2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或．      请完成： (1)的解集为_____，的解集为_____． (2)试着写出不等式的解集：______． (3)解不等式的实质是求不等式_______的解集，即求不等式组_______的解集，其解集为______； (4)求不等式的解集应先求出不等式_____与不等式______的解集，请直接写出该绝对值不等式的解集：______． (5)解不等式：． 【答案】(1)；或 (2) (3)；； (4)；；或 (5) 【分析】此题主要考查了一元一次不等式，理解绝对值的意义，掌握解一元一次不等式的方法解决问题是解题的关键． （1）根据阅读材料可知，：大于而小于的数的绝对值小于；：小于或大于的数的绝对值大于，即可得解； （2）根据题意可得出大于而小于的数的绝对值小于，列出不等式计算即可； （3）根据大于而小于的数的绝对值小于，可得不等式，分开写即为不等式组，然后解不等式组即可； （4）根据小于或大于的数的绝对值大于，得到不等式组求解即可； （5）根据大于或等于而小于或等于的数的绝对值小于或等于，得到不等式组求解即可． 【详解】（1）根据阅读材料可知，：大于而小于的数的绝对值小于， 的解集为：； 根据阅读材料可知，：小于或大于的数的绝对值大于， 的解集为：或． 故答案是：，或． （2）根据题意可得：大于而小于的数的绝对值小于， ， 解得：． 故答案是：． （3）根据题意可得，：大于而小于的数的绝对值小于， ， 化为不等式组为， 解得， 不等式的解集为． 故答案是：；；． （4）根据题意可得，：小于或大于的数的绝对值大于， 或， 解得：或． 故答案是：；；或． （5）由题意可得，：大于或等于而小于或等于的数的绝对值小于或等于， ， 可得不等式组， 解得， 不等式组的解集为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.3一元一次不等式组 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点！一元一次不等式组的定义 知识清单 知道点2解一元一次不等式 题型一元一次不等式组的定义 元一次不等式 题型2求一元一次不等式组的解集 组 题型3求一元一次不等式组的整数解 题型4由一元一次不等式组的解集求参数 题型精讲 题型5一元一次不等式组和方程组结合的问题 题型6解引x≥a型的不等式 题型7列一元一次不等式组 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解一元一次不等式组、解集及解不等式组的概念，会判断一元一次不等式组，明 确其组成结构。 教学月标 2.掌握解一元一次不等式组的步骤，能分别求出每个不等式的解集，利用数轴确定不 等式组的解集。 3.体会数形结合与转化思想，能规范书写解题过程，培养逻辑推理与规范运算能力。 1.重点 (1)掌握一元一次不等式组的解法，熟练求解每个一元一次不等式，准确求出公共解 集。 (2)借助数轴直观表示各个不等式的解集，正确找出公共部分，规范写出不等式组的 教学重难点 解集。 2.难点 (1)准确判断不等式组有无解，理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大 小小找不到”的规律。 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)系数为负数时不等号方向易出错，再叠加找公共解集，容易出现方向、端点、范 围判断错误。 知识清单 知识点01一元一次不等式组的定义 一元一次不等式组的定义 (1)一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组. (2)概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组.但与方程组也 有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的 任意几个 【即学即练1】1.(25-26七年级下·全国.单元测试)下列各式不是一元一次不等式组的是（) x-5>0 y<- 3x-5>0 a-1<0 3 C x+2<0 D. b+2>0 y>-5 4x+2<0 4x+8<9 2.(25-26八年级下·全国·课后作业)下列不等式组是一元一次不等式组的是() x+3<2 x2-x>1 A. B x-2>-6 x-1<0 C. [3x-x>x+1 x+y>0 D x+y<0 x-y<0 3.(22-23七年级下.甘肃庆阳·月考)下列不等式组：① ∫x>-2,@Jx+1>0@∫2x>0 x+3>0 ② ③ 7 ④ x<3, y-1<x©x+2>0 ⑤ x<x+1 x2+2>4·其中是一元一次不等式组的有 个. 知识点02解一元一次不等式组 解一元一次不等式组 (1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的 解集。 (2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组 (3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解 集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分. 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到. x-1>0 【即学即练2】4.(2026湖北武汉·模拟预测)不等式组 15-2x≥1 的解集在数轴上表示正确的是() A. B. 0 0 C. D. 0 0 [-2x-1>3 5.(25-26九年级上·云南昆明期末)不等式组 x+1≥x-3的解集为 x>2 6.(24-25七年级下·全国.单元测试)解不等式组 3 并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来。 5x-3<5+x 432101234 题型精讲 题型01一元一次不等式组的定义 【典例1】(25-26七年级下·全国·课后作业)下列属于一元一次不等式组的是() x=1 x2-1>-3 x+y>7 x≤-1 A. B. C. y-5x<-1 D. 3x-1<5 x-5<2x 3x-1<5 【变式1】(2025八年级下·全国专题练习)在下列各式中，是一元一次不等式组的是() x+3>2 x+y>4 「x+4≥-3 [x-6>-2 A. 1 B. D. +2≤5 x-y<6 6<12 x+1<8 【变式2】(24-25七年级下·全国·课后作业)下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 (填序 号) x+1>0 x+5>2 2x+1<5x 2x-7≤8-x ① y>1；② +1y+2>2y,®3(x-2>4, ④ ;⑤ 3x+5<0;⑥ y<l x≤2 6-x<4 13 x-4>3x-1 x 【变式3】(25-26七年级上·上海·假期作业)下列选项中是一元一次不等式组的是() x+2≤3 x+y<2 [3>2 x≤3 A. 1-x∠2 B. C D 3x+2≥0 2x≥4 x>6 题型02求一元一次不等式组的解集 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2x-4≥ 【典例2】(2025西藏日喀则三模)把不等式组 13-x>0 的解集表示在数轴上，正确的是() A. ， 01234 01234 C. 01234 D.0124 【变式1】(25-26九年级下.黑龙江哈尔滨开学考试)不等式组 [2x-5≤0 -x-1<0 的解集是 【变式2】(2025九年级江苏·专题练习)解不等式组： s1 3-x>2x 2(x+2)>x 【变式3】(25-26八年级上·浙江宁波期末)解不等式组 1-2x≥+7，并把它的解集在数轴上表示出来。 2 54321012345分 题型03求一元一次不等式组的整数解 6-3x>0 【典例3】(25-26九年级上湖北期末)不等式组 -2(x+2)≤x-1的所有整数解的和为() A.-1 B.0 C.1 D.2 [2x<6 【变式1】(25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试)不等式组 4x-1>x+2 的整数解是 2x+1、x 【变式2】(25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试)不等式组 32的整数解是 4x<3x+2 2x+3>x① 【变式3】(25-26九年级上重庆江北期末)解不等式组： x-3 ≤x+1②’ 并写出它的所有负整数解. 3 题型04由一元一次不等式组的解集求参数 1 2 x> -X 【典例4】(25-26九年级上江苏宿迁·期末)关于x的不等式组 3 有且只有三个整数解，则 2 2a-2) a的最大值是() A.2 B.3 C.4 D.5 x+3>2无解，则a的取值范围是() 2x-1≤a 【变式1】(25-26八年级上·河南驻马店·期末)若关于x的不等式组 A.a≤-3 B.a>-3 C.-3<a≤2 D.-1≤a<3 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x<1 【变式225-26八年级上·河南郑州·期末)关于x的不等式组 的解集是x<1,则a的取值范围是 x≤a 【变式3】(25-26七年级下·全国课后作业)若不等式组 6-2x>0的解集是-1<r<2,求(a+b)m的值. x-a>2 题型05一元一次不等式组和方程组结合的问题 2x+y=5m+6 【典例5】(25-26八年级上陕西延安·开学考试)若关于x少的方程组 的解均为正数，则整 x-2y=-17 数m的最小值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 3x+y=k+1 【变式1】(24-25七年级下，江苏无锡月考)若方程组 x+3y=3 的解x,y满足0<x+y<2,则k的取 值范围是() A.-4<k<0B.-4<k<4 C.0<k<8 D.k>-4 [x+2y=3k-1 【变式2】(2025八年级上·全国专题练习)若关于x,y的方程组 的解满足0<x+y<4,则 2x+y=7 k的取值范围是 [2x+y=1+2m 【变式3】(25-26七年级下·全国·周测)已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足不等式 x+2y=2-m x+y>0. (I)求实数m的取值范围. (2)在(1)的条件下，若不等式(6m+1)x-6m<1的解集为x>1,请求出整数m的值. 题型06解x≥a型的不等式 【典例6】(24-25七年级下·全国课后作业)若3x-2=2-3x,则() A.=2 B.x>2 c号 D.x 3 【变式1】(25-26八年级上山西太原·月考)不等式1x>x+5的解集为() A月 B D.x>- 2 【变式2】(25-26九年级上·广东惠州·期末)不等式1x-3+1x+4≥9的解为 【变式3】(25-26七年级上·黑龙江绥化月考)阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式x<3和x>3的 解集过程.对于含绝对值的不等式x<3,从图1的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值小于3，所以 x<3的解集为-3<x<3;对于含绝对值的不等式x>3,从图2的数轴上看：小于-3或大于3的数的绝对 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 值大于3，所以x>3的解集为x<-3或x>3. -3<x<3 x<-3 x>3 -5-4-3-2-1012345 -5-43-2-1012345 图1 图2 问题解决： ()求出含绝对值的不等式x>2的解集 (2)已知关于x,y的二元一次方程x+y=-m-1的解满足x+y<2,其中m是正数，求m的取值范围。 题型07列一元一次不等组 【典例7】(24-25八年级上·浙江杭州·期中)若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住 6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为() 4x+2-6x-1)>0 4x+2-6(x-1)>1 A. 4x+2-6x-1<6 B 4x+2-6x-1<5 4x+2-6x-2)>0 4x+2-6(x-1)>1 C. D. 4x+2-6x-2)<6 4x+2-6x-2)<5 【变式1】(24-25七年级下·辽宁盘锦·期末)某地区新能源汽车保有量达到200万辆，其中纯电动汽车保有 量不低于新能源汽车总量的60%，则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 【变式2】(24-25七年级下·上海闵行·期中)小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完 全溶解，体积忽略不计).他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒 掉咖啡液的量与加入的水量相等.调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%，设加入的水量为x毫升， 请列出符合题意的一元一次不等式组 【变式3】(2025湖南模拟预测)我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有 19人无宿舍住：若每间住7人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足5人.若设宿舍间数为 x,根据题意x应满足的不等式（组）为 强化训练 一、单选题 1.(24-25九年级下湖北十堰·期中)若关于x的不等式组 女2拾有3个整数解，则字母4的取值范国 x>a 是() A.a≤-1 B.-2≤a<-1 C.a<-1 D.-2<a≤-1 6/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3x+3>0 2.(25-26九年级下·山西太原·开学考试)一元一次不等式组 2x-6≤0的解集表示在数轴上，正确的是() A. B. 。 -2-101234 -2-1 0 12 34 -2-10234→ D. -2-101234 3.(24-25七年级下·全国·课后作业)下列是一元一次不等式组的是() x>1 x2+x>1 A. B. x+y>2 2x+3>1 x+1>2 1 +x>1 C. /2r+3s1 D.x 2x-1>x 4.(25-26七年级上·全国·假期作业)若干名学生乘船.若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人， 则空一条船，还有船不空也不满，设有x条船，则可列不等式组为() 4x+2-6x-1)>0 4x+2-6x-1>1 A. B. 4x+2-6x-1)<6 4x+2-6(x-1)<5 4x+2-6x-2)>0 4x+2-6x-2>1 C. D 4x+2-6x-2)<6 4x+2-6(x-2)<5 [5-2x22 5.(25-26八年级上浙江宁波·期末)若关于x的不等式组 的整数解共有3个，则m的取值范围是 x-m>0 () A.-2<m<-1B.-2<m≤-1 C.-2≤m<-1 D.-2≤m≤-1 二、填空题 [2x-3≤0 6.(24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试)不等式组 x+1>0 的解集是· x+5<5x+1 7.(25-26八年级上山东聊城期末)若关于x的不等式组 有解，则m的取值范围是 x-m≤2 5x+y=m+1 8.(24-25七年级下.重庆期末)己知关于x、y的方程组 的解满足-1<x+y<1,则符合条件 x-3y=2m 的所有整数m的取值之和为 9.(25-26八年级上山东菏泽·期末)关于x的不等式组 x-2>4的解集为-3<r<2,则(a+)6- 1x+2<b 7/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2(x-1)<31-x) 10.(2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习)不等式组 1-1≤-2 的所有整数解的和为 3 2 三、解答题 11.(25-26七年级上江苏苏州期末)解不等式组 3x-1<5’并求出它的所有整数解的和。 -2x≤4 12.(25-26七年级下·全国·周测)已知关于x的不等式组 (x-2z2a 3 3x-a<11 (I)若这个不等式组有解，求a的取值范围. (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围. 13.(2026七年级下·全国专题练习)已知关于x,y的二元一次方程组 x-2y=4a+1 回答下列问题： 2x-y=2-a (1)若方程组的解满足x-y<8,求a的取值范围. (2)若方程组的解均为正数，则α的取值范围为 14.（25-26八年级上山西晋中.期末)解方程组和不等式组： y=2x+5 (1)解方程组 2y+3x=-119 [2x-1<-3 (2)解不等式组{x+1、1· 23 6 15.(24-25七年级下·全国·单元测试)先阅读材料，再完成下列问题： ()解不等式x<2.如图1，从数轴上可以发现，大于-2而小于2的数的绝对值小于2，所以x<2的解 集应为-2<x<2. -2-101 3 图1 ()满足x>2的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于-2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以 x>2的解集应为x<-2或x>2. 2-101 23→ 图2 请完成： (I)x<aa>0)的解集为，x>aa>0)的解集为 (2)试着写出不等式3x<1的解集： 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解不等式x-3<5的实质是求不等式 的解集，即求不等式组 的解集，其解集为： (4)求不等式x-b>3的解集应先求出不等式与不等式 的解集，请直接写出该绝对值不等式的解 集： (5)解不等式： 5-4s3 9/9