第4章 平面内的两条直线（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材湘教版七年级下册

第4章 平面内的两条直线 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，的平分线交于点F，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 3．如图，直线、相交于点E，于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 5．在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，将一把直尺和一块含和的三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 9．2026年马年春晚舞台上，一群身手矫健的人形机器人着实火出了圈，比起去年还有些“磕磕绊绊”的表现，今年的机器人已经能流畅地耍武术、盘核桃、演小品，甚至跟着音乐跳街舞，技术进步肉眼可见，机器人在我国的日常应用也越来越广泛．如图1是一个应用于生产的机械臂，可抽象出如图2的数学模型，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，，，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图是一把剪刀，若，则________． 12．如图，，，则___________度． 13．如图，将直角三角形沿方向平移4个单位长度得到直角三角形，连接，若四边形的面积为16，则四边形的面积为___________． 14．如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 15．如图，在长方形中，，第一次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第二次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形，……，第n次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长为45，则________． 16．将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，．证明：． 18．填写推理依据：已知：如图，，，求证：． 证明：∵（已知）， （________）， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴（________）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴（________）． 19．在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 20．如图，中，平分，交于点，，交于点，点在上，连接． (1)若，求的大小； (2)若，试判断和的大小关系并说明理由． 21．如图，所有小正方形的边长都为个单位，均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段 的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 22．如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，三角形的顶点、点都在正方形网格的格点上． (1)平移三角形，使点与重合，画出平移后得到的三角形； (2)连接，则线段与的关系是________； (3)四边形的面积是________平方单位． 24．如图1，点M在直线上，点P，N在直线上，过点N作，连接． (1)若，点E在直线，之间，探究：，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，的延长线交直线于点Q，作平分交于点G，作平分，过点E作，若点F，H分别在，上，当时，探究线段与的大小关系，并说明理由． 25．如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平面内的两条直线 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在一个平面内，一个角的两边的反向延长线组成的角即为对顶角， 特点是：有公共顶点，没有公共边，一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线， ∴只有B选项符合题意． 2．如图，已知直线，的平分线交于点F，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可得，然后根据为的平分线可得出的度数，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵为的平分线， ∴， ∴． 3．如图，直线、相交于点E，于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直的定义可得，结合已知条件求出的度数，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵与是对顶角， ， 故选：D． 4．如图，，，，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和为． 首先根据，，得到，，再根据三角形内角和定理得到，进而得到． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 5．在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动． 平移不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向． 观察各选项图案，判断是否由一个基本图形通过平移得到即可． 【详解】解：观察图形可知，只有B选中的图案通过平移后可以得到． 6．如图所示，将一把直尺和一块含和的三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴，， ∴． 7．如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据平移的性质判断即可． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，， ∴，，，，①②正确； ∵， ∴， 由平移性质可得：， ∴，③正确； ∵，， ∴， ∵阴影部分的面积的面积的面积 的面积的面积 四边形的面积 ，故④正确． 8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，即可得，则可求得：，，进而可得的值． 【详解】解：如图 过点作， ， ， ，， ，， ， ． 9．2026年马年春晚舞台上，一群身手矫健的人形机器人着实火出了圈，比起去年还有些“磕磕绊绊”的表现，今年的机器人已经能流畅地耍武术、盘核桃、演小品，甚至跟着音乐跳街舞，技术进步肉眼可见，机器人在我国的日常应用也越来越广泛．如图1是一个应用于生产的机械臂，可抽象出如图2的数学模型，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，，则，根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：如图，作，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 10．如图，，，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据同旁内角互补判定 ，从而判断①；根据平行线的性质判断②；根据平行线的性质和已知条件判定 ，从而判断③；根据平行线的性质和角平分线的定义判断④． 【详解】解：① ，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图是一把剪刀，若，则________． 【答案】 【分析】根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴． 12．如图，，，则___________度． 【答案】97 【分析】由可判定，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．如图，将直角三角形沿方向平移4个单位长度得到直角三角形，连接，若四边形的面积为16，则四边形的面积为___________． 【答案】16 【分析】由平移的性质得到，则可推出，进而可得． 【详解】解：如图所示，设交于点H， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】作，则，，而，所以，同理可得，变形得到，利用等式的性质得，加上已给条件，于是得到，易得的度数． 【详解】解：作，如图， ， ， ，， 是的平分线， ， ， ， 同理可得，， ， ， ，即， ， ． 15．如图，在长方形中，，第一次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第二次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形，……，第n次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长为45，则________． 【答案】10 【分析】根据题意，每次平移4个单位长度，得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得. 16．将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】过点作，可得，依次计算角度、、、、，即可得出结果． 【详解】解：过点作，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，．证明：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 18．填写推理依据：已知：如图，，，求证：． 证明：∵（已知）， （________）， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴（________）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴（________）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】先证明可得，证明，再证明，从而可得结论． 【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等） 19．在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的面积等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据：得到．推出．结合推出即可求解； （2）过点作于点，根据即可求解； 【详解】（1）解： ． 在中，． ， ． ． （2）解：过点作于点，如图， 即与之间的距离为 20．如图，中，平分，交于点，，交于点，点在上，连接． (1)若，求的大小； (2)若，试判断和的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（）根据平行线的性质即可求解； （）由平行线的性质可得，，，即得，进而由角平分线的定义得，即可求证； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 21．如图，所有小正方形的边长都为个单位，均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段 的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析 【分析】（1）如图所示，取格点，则，将沿着小正方形对角线平移，则，即可得到，延长交于点，则垂足为； （2）结合（1）中图形，由点到线段的距离定义即可找到； （3）由两点之间线段最短可得当三点共线使得的值最小，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示： 是网格中的长方形的对角线，是网格中的长方形的对角线， 则， ， 将沿着小正方形对角线平移得到网格中的长方形的对角线， ， 则， 延长交于点，则点即为所求； （2）解：由（1）中作图知，可得点到线段的距离即线段的长； （3）解：如图所示： 点是直线上的一点， 由两点之间线段最短可得，当三点共线时，的值最小． 则与的交点即为所求． 22．如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）先由得，结合求出的度数，再由平分，得到的度数，接着通过求出，最后根据对顶角相等，由得到的度数； （2）先由与互补，得，再结合与互为邻补角，根据同角的补角相等推出，同时减去后，得到，从而得到． 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． （2）解：．理由如下： 因为与互补， 所以． 因为， 所以． 所以， 即． 所以． 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，三角形的顶点、点都在正方形网格的格点上． (1)平移三角形，使点与重合，画出平移后得到的三角形； (2)连接，则线段与的关系是________； (3)四边形的面积是________平方单位． 【答案】(1)画图见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】（）根据平移的性质画出图形即可； （）根据平移的性质即可求解； （）利用割补法计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：由平移的性质可得，线段与的关系是平行且相等； （3）解：四边形的面积（平方单位）． 24．如图1，点M在直线上，点P，N在直线上，过点N作，连接． (1)若，点E在直线，之间，探究：，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，的延长线交直线于点Q，作平分交于点G，作平分，过点E作，若点F，H分别在，上，当时，探究线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）过点作，如图，由平行线的性质得到，，，等量代换得到，然后利用角的和差关系求解； （2）由角平分线的定义和平行线的性质得到，结合求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：过点作，如图， ， ． ， ． ． ， ． ． ； （2）解：，理由： 平分， ， ， ． 平分， ． ， ． ． ， ． 即， ． ． ． 即． 垂线段最短， ． 25．如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数不变，理由见解析 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $