21.2 平行四边形的性质和判定 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.2《平行四边形》--平行四边形的性质和判定 一、单选题 1．如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形的周长为，∆ABC的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点，在▱ABCD的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，▱ABCD的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则▱ABCD的周长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，经过▱ABCD对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 6．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ． 7．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 8．如图，在▱ABCD中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接，，．若，，，则▱ABCD的面积为 ． 9． 如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当___时，四边形是平行四边形． 10．平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ． 三、解答题 11．如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ 12．如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 13．如图，在▱ABCD中，是边的中点．设▱ABCD的面积为4，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中，画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中，画一个面积为1的平行四边形． 14．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若∆ABC是等边三角形，且，求的长． 15．如图，在∆ABC中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 16．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 17．如下图，为▱ABCD的对角线，的交点，，是上的一动点，是上的一动点（点，不与端点重合）．若，，，连接，． (1)求线段的长． (2)若的面积为，的面积为，的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着的增大，的值是如何发生变化的． 18．【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在▱ABCD中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若▱ABCD的面积为26，求的面积． 19．如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 20．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将△ADE沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点D/恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若▱ABCD的面积为24，，请直接写出线段的长． 参考答案 一、单选题 1．A 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 2．B 解：∵平行四边形的周长为， ∴， ∵∆ABC的周长为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 3．D 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．D 解：四边形是平行四边形， ，，． 又， ． 的周长为， ， 的周长为． 故选：D． 5．C 解：∵四边形是平行四边形 ∴对角线互相平分，即 ∵ ∴ 在和中， ∴ 同理可证 此外，还有 ，，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴ 在中，根据三角形三边关系： ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，结论③正确 综上所述，正确的结论是②和③． 故选：C． 二、填空题 6．①④ 解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； ②∵，不能判定， ∴不能判定四边形是平行四边形； ③添加不能判定四边形是平行四边形； ④∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①④． 7．24 解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 8．56 解：∵四边形是平行四边形， ，． 在∆ABC与中， ， ，即． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．6 解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 10．或或 解：如图， 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴. （2）解：与互相平分．理由： 连接， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 12．（1）证明：， ， 即． 在∆ABC与中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形．理由： ， ． 又， 四边形是平行四边形． 13．（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，即为所求． 14．（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵∆ABC是等边三角形， ∴， ∴． 15．（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 16．（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 17．（1）解：四边形是平行四边形， ． ， ． （2）解：的值不变． 如图，连接． 四边形是平行四边形，， ． ， ， ． ，， ，， ， ． 在中，， ． 18．解：（1）证明：在∆AOB和中， ， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， 与互相平分， 四边形是平行四边形． （3）由（2）知，四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ， 和等底同高， ， ． 19．（1）证明：∵平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∴． （2）解：①∵， ∴∆ADE为等边三角形． ∵， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理得：，即， ∴． ∴平行四边形的面积为． ②∵∆ADE为等边三角形，， ∴， ∴为等边三角形． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴． 20．解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $