21.2平行四边形的性质同步练习 2025-2026学年人教版八年级下册数学

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.2 平行四边形的性质 知识点1 平行四边的性质 1．定义：两组对边分别平行或相等的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义既是性质，又是判定． 2．平行四边形的性质： （1）对边平行且相等；如图，在中，，，=，=， （2）对角相等；邻角互补；如图，=，=，+=180，+=180， （3）对角线互相平分；如图，，， （4）是中心对称图形．如图，对称中心是对角线的交点O． （5）S平行四边形=底×高 3．平行四边形的性质的应用策略 （1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据； （2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差； （3)利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决． 考点2 两条平行线之间的距离 1．定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 2．性质： （1）两条平行线之间的距离处处相等； （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 5．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在平行四边形中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长是（   ） A． B． C．6 D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，平行四边形的对角线相交于坐标原点O，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 10．如图，中垂直平分对角线，若，，则______． 11．如图，在中，和的平分线交于点，且分别交直线于点、．若，，则的值是______． 12．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，此时，则点C的对应点的坐标为_______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 14．如图，四边形为平行四边形，连接，． (1)在边上找一点，使得点到的距离等于（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，延长交于点，若，，求的长． 15．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为和．若三角形的面积大于平行四边形的面积，则、满足的条件是（　　） A． B． C． D． 3．平行四边形具有不稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（ ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 4．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点在边上，且，连接并延长交的延长线于点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．如图1，的对角线交于点O，的面积为120，．将合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则（　　） A．29 B．26 C．24 D．25 7．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的面积为（    ） A．30 B．60 C． D． 8．如图，在中，，，点在边上，，过点作于点．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．在中，若，则_______． 10．在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 11．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点．连接．若，则______． 12．如图，在中，，，以D为圆心，任意长为半径画弧，交于点F，交于点Q，分别以F、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，恰好有，则的长为______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 14．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求，两点之间的距离． 15．如图①，在中，．动点P沿边以每秒1个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（）秒． (1)线段的长为 （用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值； (3)如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．四边形是平行四边形，下列尺规作图，不能使为等腰三角形的是（   ）． A． B． C． D． 5．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线，四边形为平行四边形，顶点B恰好落在直线n上，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，，，分别以点A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点E、F，直线交于点G，连接，恰好垂直于边，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图所示，在平行四边形中，是对角线，的交点，过点与垂直的直线交边于点，若的周长为，则平行四边形的周长为______． 10．如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 11．如图，在中，对角线、交于点，以点为圆心，以适当长度为半径作圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，若，，，则______． 12．如图，在平面直角坐标系中，点、、A、、B、、C、…，都是平行四边形的顶点，点A、B、C、…在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第7个平行四边形的对称中心的坐标是______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在平行四边形中，点为边的中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于M，N两点；②分别以M，N两点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接． (1)由图中的尺规作图可知，线段与线段的位置关系为 ； (2)若，，求的度数． 14．某学校的劳动菜园的平面示意图是 ，如图1所示，两条主路，交于点O，经测量，请你解决以下问题： (1)求劳动菜园的面积； (2)如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道，对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在上，点N在上，且（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在与两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积； 15．如图，的对角线与相交于点，其周长为20，且的周长比的周长小4． (1)求边和的长； (2)若，如图，过点作交于点，且，求和之间的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.2 平行四边形的性质 知识点1 平行四边的性质 1．定义：两组对边分别平行或相等的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义既是性质，又是判定． 2．平行四边形的性质： （1）对边平行且相等；如图，在中，，，=，=， （2）对角相等；邻角互补；如图，=，=，+=180，+=180， （3）对角线互相平分；如图，，， （4）是中心对称图形．如图，对称中心是对角线的交点O． （5）S平行四边形=底×高 3．平行四边形的性质的应用策略 （1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据； （2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差； （3)利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决． 考点2 两条平行线之间的距离 1．定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 2．性质： （1）两条平行线之间的距离处处相等； （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，需要区分所有平行四边形共有的性质与特殊平行四边形才具有的性质，找出不一定正确的结论，即可作答． 【详解】解：依题意，平行四边形的基本性质是对角相等、对边相等、对角线互相平分，这是所有平行四边形都满足的性质， ∴选项A、B、C一定正确； ∵平行四边形不一定具备对角线互相垂直的性质， ∴D选项不一定正确， 故选：D． 2．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 3．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 5．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质．由作法得：平分，再结合平行四边形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 6．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 7．如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】该题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点，在平行四边形中，，，得出，结合平分，证明，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，在平行四边形中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长是（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行四边形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，根据，可得，再根据，，即可得到，依据，，即可得到，求出，最后根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，平行四边形的对角线相交于坐标原点O，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称、平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标，熟记相关性质是解题关键．根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形且对角线交于原点O， ∴点D与点B关于原点成中心对称， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，中垂直平分对角线，若，，则______． 【答案】/37度 【分析】本题考查平行四边形的性质与垂直平分线性质，解题关键是利用垂直平分线得，结合平行四边形内角的关系求角度，易错点是垂直平分线的性质应用不当． 由平行四边形得，由垂直平分线的性质得到，，再结合平行四边形的性质和角的和差即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∴； 在中，， 又∵在中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，和的平分线交于点，且分别交直线于点、．若，，则的值是______． 【答案】64 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 依据平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，结合线段的和差关系，即可得到和的长，进而得出的长；依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到；最后根据勾股定理进行计算即可得到结果． 【详解】解：由题意知，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， 又∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：64 ． 12．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，此时，则点C的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键；由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平行四边形的性质，得，故，又因为分别是和的平分线，得，即可作答． （2）先结合平行四边形的性质，得，则的周长，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又分别是和的平分线， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形． ， 的周长． ， 的周长为16． 14．如图，四边形为平行四边形，连接，． (1)在边上找一点，使得点到的距离等于（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2)的长为6 【分析】对于（1），由且点E到的距离等于可知，点E在的平分线上，故作的平分线，与交点即为所求． 对于（2），过点E作，垂足为G，由角的平分线的性质可得，由勾股定理可得，易证，可得，设，由可用勾股定理列方程求长，由平分及平行四边形对边平行易证，即可得出的长． 【详解】（1）如图，作的平分线交于点E，点E即为所求． （2）如图，过点E作，垂足为G， 又，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角的平分线的判定及性质、平行四边形性质及勾股定理的应用，能根据题意得出所求为角的平分线并作出角的平分线，能够利用角的平分线的性质、平行四边形性质及勾股定理求线段长是解题的关键． 15．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 2．如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为和．若三角形的面积大于平行四边形的面积，则、满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． 3．平行四边形具有不稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（ ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的不稳定性． 平行四边形具有不稳定性，形状改变时，内角的大小发生变化，但外角和、边长和周长均不变． 【详解】解：∵多边形的外角和恒为， ∴外角和不变； ∵变形时边长不变， ∴周长不变； ∵平行四边形的不稳定性源于角度的变化， ∴某些角的大小发生变化． 故选：D． 4．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 的周长． 5．如图，在中，点在边上，且，连接并延长交的延长线于点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得出，，得到，推出，得到，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图1，的对角线交于点O，的面积为120，．将合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则（　　） A．29 B．26 C．24 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由题意可得对角线，且与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出边的高即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴垂直平分， 则对角线，且与平行四边形的边上的高相等． ∵平行四边形的面积为120，， ∴图1中，图2中， ， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的面积为（    ） A．30 B．60 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，由折叠得，证明，推出，进而得出，求得的长，根据平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得， ， ， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的面积为． 故选：D． 8．如图，在中，，，点在边上，，过点作于点．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质和，求出，利用以及勾股定理求解长度. 【详解】解：设． ∵四边形是平行四边形， ，， ． ， ， ，解得， 即， ． ，， ． 根据勾股定理，得， 则， ． 故选：C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的相关知识点，解决问题的关键是熟练掌握这些知识点. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．在中，若，则_______． 【答案】45 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补及内角和为的性质，通过等量代换建立关系求解的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，且， （平行四边形邻角互补）， ， 又，， ，即， 将代入， 得：， ， ． 10．在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 【答案】4或7/7或4 【分析】本题考查角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的性质；分当、相交时和当、不相交时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当、相交时，如下图， ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当、不相交时，如下图， ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4或7． 11．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点．连接．若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形对角线互相平分及对边平行的性质是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，然后利用平行四边形对边平行的性质求出，从而求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： 12．如图，在中，，，以D为圆心，任意长为半径画弧，交于点F，交于点Q，分别以F、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，恰好有，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、尺规作图-作已知角的角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由作图可知，平分，进而证明，易得，进一步可知，再在中，利用勾股定理解得的长度，然后在利用勾股定理解得的长度即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵ ∴， ∴在中，． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 14．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求，两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三线合一定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意求出的长，再根据，即可解答； （2）根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得， ∴． 15．如图①，在中，．动点P沿边以每秒1个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（）秒． (1)线段的长为 （用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值； (3)如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平行四边形性质、等腰三角形的判定与性质及一元一次方程的应用， （1）由题意得，进而求出； （2）结合平行四边形性质求出，得出方程求出结论； （3）先得出，分三种情况：当点Q没有到达点B时，当点Q到达点B后，当点Q到达点C后，分别列方程解决． 【详解】（1）解：∵动点P沿边以每秒1个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（）秒， ∴， ∴， 故答案为：； （2）在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，， ∴， 当点Q没有到达点B时，， ∴（不合题意，舍去）； 当点Q到达点B后，返回时，， ∴； 当点Q到达点C后，返回时，， ∴（不合题意，舍去）； 综上所述，t的值为． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质及平行线的性质．先利用平行四边形的性质得出，，再由平行线的性质得出，根据已知条件计算出的度数，随即得到的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴，解得， ∴． 故选：B． 2．如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，平行四边形的性质，准确分析计算是解题的关键． 利用平行四边形的性质得出，，可看作将平移到，转化成点的平移计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，，故可看作将平移到，即到，到． ，， 将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 故将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点． ， ． 故选． 3．如图，在中，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的对边平行，直角三角形两锐角互余是解题的关键， 根据平行四边形得到，结合垂直的意义得到，再由平行线的性质得到，最后根据同角的余角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．四边形是平行四边形，下列尺规作图，不能使为等腰三角形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是关键． 根据尺规作图的痕迹，逐个分析选项即可． 【详解】解：对于选项A，由尺规作图的痕迹可知，， ∴是等腰三角形，故A错误； 对于选项B，由尺规作图的痕迹可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故B错误； 对于选项C，由尺规作图的痕迹可知，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴是等腰三角形，故C错误； 对于选项D，点在线段的垂直平分线上， ∴， 无法判定是等腰三角形，故D正确． 故选：D． 5．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴． 故选：A． 6．如图，直线，四边形为平行四边形，顶点B恰好落在直线n上，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．过点作，得出，，进而得到，再根据平行四边形对边平行求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 故选：C． 7．如图，在平行四边形中，，，分别以点A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点E、F，直线交于点G，连接，恰好垂直于边，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本作图、垂直平分线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再利用平行四边形的性质得到，设，则，然后再中利用勾股定理得到，再解方程即可求出． 【详解】解：由作法得到垂直平分， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则， ， 在中，， 解得：，即， 故选：B． 8．如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质.作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为. 故选：C. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图所示，在平行四边形中，是对角线，的交点，过点与垂直的直线交边于点，若的周长为，则平行四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，通过线段等量代换，将三角形周长转化为平行四边形一组邻边的和是解题关键． 利用平行四边形性质和线段垂直平分线的性质，将的周长转化为平行四边形一组邻边的和，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：四边形为平行四边形，是对角线，的交点， ，，， ， 垂直平分， ， 的周长为， ， ， 平行四边形的周长为． 故答案为：． 10．如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：20． 11．如图，在中，对角线、交于点，以点为圆心，以适当长度为半径作圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】过点A作于点G，则，求出，，得到，，得到，则，由四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解：过点A作于点G，则， 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形、平行四边形的性质、等角对等边等知识，熟练掌握含角的直角三角形、勾股定理是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，点、、A、、B、、C、…，都是平行四边形的顶点，点A、B、C、…在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第7个平行四边形的对称中心的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行四边形的规律探究与对称中心的计算，解题的关键是根据已知条件推导各平行四边形顶点的坐标规律，进而求出对称中心坐标． 先根据和确定第一个平行四边形的顶点坐标；再依次推导后续平行四边形的顶点坐标，结合对称中心为对角线中点的性质，计算各平行四边形的对称中心坐标，最后总结出第个平行四边形对称中心的坐标公式． 【详解】解：第1个平行四边形： 过作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴为等腰直角三角形．又， ∴由勾股定理得， 已知，因此与重合，且． ∴坐标为， ∵， ∴对称中心为的中点，即． 第2个平行四边形： 同理可推得，又， ∴顶点，， ∴对称中心为的中点，即． 第3个平行四边形： 同理可推得，又， ∴顶点，， ∴对称中心为的中点，即． 推导规律： 观察可得，第个平行四边形的对称中心横坐标为，纵坐标为． 将代入规律公式：横坐标，纵坐标． 故对称中心坐标为． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在平行四边形中，点为边的中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于M，N两点；②分别以M，N两点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接． (1)由图中的尺规作图可知，线段与线段的位置关系为 ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由作图可知垂直平分，即可得到答案； （2）求出，，再进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由作图可知，垂直平分， 故答案为： （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ∵E为线段的中点，垂直平分， 垂直平分， ， . . 【点睛】此题考查了垂线的作图、线段垂直平分线的性质、等边对等角、平行四边形的性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质、等边对等角是解题的关键． 14．某学校的劳动菜园的平面示意图是 ，如图1所示，两条主路，交于点O，经测量，请你解决以下问题： (1)求劳动菜园的面积； (2)如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道，对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在上，点N在上，且（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在与两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，适当添加辅助线是解题关键． （1）由平行四边形的性质得到，，在中，过点B作于点H，求出，得到，即可得到答案； （2）证明，由得到，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 在中，过点B作于点H，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴公园的面积为； （2）解：连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴种植草莓区域的面积为． 15．如图，的对角线与相交于点，其周长为20，且的周长比的周长小4． (1)求边和的长； (2)若，如图，过点作交于点，且，求和之间的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，再结合题意可得，联立解方程组即可求出边和的长； （2）根据题意可得，则有，设和之间的距离为，利用平行四边形的面积公式求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：的对角线与相交于点，其周长为20， ，， 又的周长比的周长小4， ， ， 解得：，． （2）解：，，， ， ， 设和之间的距离为， ， ， 和之间的距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $