7.2离散型随机变量及其分布列讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.2　离散型随机变量及其分布列 同步练习题 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 【学习目标】 1.随机变量的概念及判定 2.离散型随机变量的分布列及其性质 3.两点分布 【例题精练】 【例1】已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【例2】一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P（≤ξ≤）= A． B． C． D． 【例3】一个实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的5只白鼠，若从中任取2只，记取到的2只白鼠中标号较大的为X，求随机变量X的分布列. 【例4】已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列. 【A组基础达标】 一、单选题 1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　) A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3… 3．公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 5．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 6．已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（　　） A．高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X B．一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y C．某景点7月份每天接待的游客数量 D．某人一生中的身高X 8．已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则_______． 10．已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 四、解答题 11．不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 12．甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为． (1)求的值； (2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列． 【B组能力提升】 1．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子中出现的点数分别为，记． (1)求X的概率分布； (2)求. 4．某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 5．一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2　离散型随机变量及其分布列 同步练习题 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 【学习目标】 1.随机变量的概念及判定 2.离散型随机变量的分布列及其性质 3.两点分布 【例题精练】 【例1】已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质可求. 【详解】因为服从两点分布，故， 故选：A. 【例2】一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P（≤ξ≤）= A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，设出三个级别的数目，得到级别对应的随机变量ξ的取值是1，2，3，根据总数和每个级别所占的数字，得到抽到的概率，写出分布列，看出P（≤ξ≤）的值． 解：设二级品有k个， ∴一级品有2k个，三级品有个，总数为个． ∴分布列为： ∴P（≤ξ≤）=p（ξ=1）= 故选D 【例3】一个实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的5只白鼠，若从中任取2只，记取到的2只白鼠中标号较大的为X，求随机变量X的分布列. 【答案】答案见解析 【分析】可能取值为，根据古典概型计算公式求出每种可能取值的概率，最后写出分布列即可. 【详解】可能取值为，则 ， ， 所以随机变量X的分布列为： 2 3 4 5 【例4】已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列. 【答案】分布列见解析 【分析】随机变量X服从超几何分布，写出X所有取值的概率即可. 【详解】由题意得，X的可能取值为0，1， ， . 可得X的分布列如表所示： X 0 1 P 【A组基础达标】 一、单选题 1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【详解】解析  甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选D． 2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　) A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3… 【答案】B 【详解】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球. 3．公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可. 【详解】设任取1盆的编号为随机变量， 则的可能取值为0，1，2，…，9， 且， ． 故选：B. 4．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【答案】D 【分析】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列. 【详解】易知X的可能取值为0，1，2，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故选：D. 5．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 6．已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以， 解得. 故选：C. 二、多选题 7．下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（　　） A．高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X B．一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y C．某景点7月份每天接待的游客数量 D．某人一生中的身高X 【答案】AC 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：收费站在未来1小时内经过的车辆数X有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故A正确 对于选项C：某景点7月份每天接待的游客数量有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故C正确； 对于选项B、D，都是某一范围内的任意实数，无法一一列出，不符合离散型随机变量的定义，故B、D错误． 故选：AC. 8．已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由分布列中概率之和为1可得A正确；由分布列中概率的计算可依次判断BCD. 【详解】由分布列性质可知，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 三、填空题 9．设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则_______． 【答案】/0.046875 【分析】前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得结果. 【详解】表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品. 故， 故答案为：. 10．已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 【答案】0.6/ 【分析】由两点分布可得答案. 【详解】由得， 所以． 故答案为：. 四、解答题 11．不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型计算公式计算即可； （2）分析随机变量的取值，并利用古典概型分别计算随机变量取值对应的概率即可. 【详解】（1）从5个小球中随机取出2个，对5个小球进行编号，分别为， 样本空间为，共计10个样本点， 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）， 因此数字不同的情况有 种，故取出的2个小球上的数字不同的概率为 ； （2）随机变量的取值分别为：， 当时：取出数字 和 2，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 和 1，取法数 2 种， ； 当时：取出数字 和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）， 总取法数 4 种， ； 当时：取出两个数字 1，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 1 和 2，取法数 2 种，概率 ； 故 的分布列为：                                                             12．甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为． (1)求的值； (2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式列式计算即可求解； （2）由题意丙的得分的取值可以为0，3，6，丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列. 【详解】（1）甲获第一名且乙获第三名的概率为，即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为， 由，得； （2）由题意知，丙的得分的取值可以为0，3，6，丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为， ， ， ， 所以丙的得分的分布列如下： X 0 3 6 P 【B组能力提升】 1．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 2．（多选）一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出． 【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球， 或第一次摸到红球，第二次摸到黑球， 或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球， 故，A错误； BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球， 或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球， 或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球， 故，B错误，C正确； D选项，的所有可能有， 故，D正确． 故选：CD. 3．同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子中出现的点数分别为，记． (1)求X的概率分布； (2)求. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意分析可知：X的可能取值为1，2，3，4，5，6，结合古典概型求分布列； （2）根据题意可知，结合（1）中数据运算求解. 【详解】（1）依题意易知抛掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况： ． 因而X的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表： X的值 出现的点 样本点个数 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 6 11 由古典概型可知X的概率分布如下表所示． X 1 2 3 4 5 6 P （2）由题意可知：. 4．某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用全概率公式即可得到答案； （2）首先分析出X的可能取值有0，1，2，再按步骤写出分布列即可. 【详解】（1）记“小张第i天中午吃面食”，，“小张第j天中午吃米饭”，， 由题意可知与对立，与对立， 由全概率公式，得， 即小张第二天中午吃米饭的概率为． （2）由题意可知，X的可能取值有0，1，2． 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 5．一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型及互斥事件的概率和公式求解； （2）由题意化为两个互斥事件的和，利用概率公式得解； （3）由题意得出的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列得解. 【详解】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球； 所以概率. （2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件A，第三次取球后袋中无红球为事件B, 则, ， 所以. （3）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， , 所以分布列为： 0 1 2 3 4 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $