精品解析：河北沧州市沧县中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

沧县中学高二年级2025-2026学年度上学期第二次月考 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据截距的定义求解即可． 【详解】令，代入直线的方程得，则， 故直线在轴上的截距为. 故选：B． 2. 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的向量定理可求得的值. 【详解】由，得， 所以，动点在所在平面内运动，可知四点共面， 由空间中四点共面的向量定理可知，，解得， 故选：D. 3. 已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ） A. 13 B. 21 C. 29 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线离心率为3可得，根据双曲线与椭圆焦点相同得，求解可得答案. 【详解】由题意，，解得，， 故. 故选：C. 4. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可. 【详解】设，，则， 将A，B的坐标代入椭圆方程得：，， 两式相减，得：， 变形为， 又直线的斜率为，所以，即， 因此椭圆的焦距为， 故选：B. 5. 已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论． 【详解】记双曲线的右焦点为，所以， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 6. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设向量及相关量并表示出，计算数量积与模长，最后求异面直线所成角余弦值. 【详解】设三棱柱棱长为， 所以，，， ， ，则， 设异面直线与所成角为，. 故选：D 7. 曲线的左，右焦点为，C上有一点P，与y轴交于点Q，满足以P为圆心，为半径的圆与x轴相切，恰交y轴于Q，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题：轴，故，由双曲线的定义得到，从而求出即可. 【详解】 由题：轴，故， 由定义知，， 又，为中点，所以， 所以， 故C的渐近线方程为， 故选：C. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直平分线性质得，，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 所以，根据对称性有：，， 所以的周长等于的周长， 所以，利用椭圆的定义，的周长为． 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，直接利用向量法即可判断C选项；证明平面，即可判断D选项. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，即， 则，解得，即共面， 又为公共始点，因此,,,四点共面，A正确； ，则，， 因此与所成角的余弦值为，与所成角的大小为，B正确； 对于C，假设在线段上存在，可设 ，， 则， 由，得，由，得， 即与垂直和与垂直不能同时成立，因此与平面不垂直，C错误； ，则，，又，则， 又平面，平面，因此平面， 点到平面的距离即为点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：ABD 11. 如图所示．已知椭圆方程为，为左右焦点，下列命题正确的是（ ） A. P为椭圆上一点，线段中点为Q，则为定值 B. 直线与椭圆交于R，S两点，A是椭圆上异与R，S的点，e为椭圆离心率且斜率均存在，则 C. 若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是 D. 四边形为椭圆内接矩形，则其面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、直线斜率公式、离心率公式，结合椭圆和矩形的对称性、基本不等式、余弦定理逐一判断即可． 【详解】对于A：连接，如下图： 由椭圆的定义可知，线段中点为Q， 所以，于是有，故A正确； 对于B：由题意作图如下： 直线与椭圆交于R，S两点， 因为直线经过原点，而椭圆是关于原点的中心对称图形， 所以R，S两点关于原点对称，不妨设， 则， 因为A是椭圆上异与R的点，所以有， 两个式相减，得，整理可得， 因此，故B错误； 对于C：由题意作图如下： 椭圆上存在一点M使，在中， 由余弦定理可知：， 即，可得，即， 而，当且仅当时取等号，即M为上（下）顶点时取等号， 可得，，，， 而，所以，故C正确； 对于D：因为矩形和该椭圆的对称轴和对称中心相同， 所以设矩形在第一象限的顶点为，即， 所以矩形的面积为，因为，可得， 当且仅当时取等号，即当时取等号，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，由双曲线定义可得，代入结合二次函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：，且， 设，则， 可得在上单调递增， 所以当时，取得最小值3． 故答案为：3. 13. 若关于的不等式的解集是，则值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】将给定不等式等价转化构造函数，再借助几何图形及给定解集确定直线过的点即得. 【详解】不等式， 令，即表示以点为圆心，1为半径的圆在x轴及上方的半圆， 表示过定点的直线， 因此不等式的解集是， 等价于半圆在直线及上方时，的取值集合恰为， 观察图象得直线恰过点，则有， 所以. 故答案为：2 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 四、解答题 15. 已知圆经过点，，且圆C与直线，均相切. （1）若经过圆心C的直线与，平行，求直线的方程； （2）求圆C的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径，设直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式计算即可； （2）根据题意利用待定系数法求出即可. 【小问1详解】 由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径， 设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为； 【小问2详解】 由题意可得， 解得， 所以圆C的标准方程为. 16. 如图，在斜三棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，为的中点，且，为的中点，为的中点，. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据几何关系证明两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. （2）应用空间向量法求二面角余弦值即可. 【小问1详解】 如图，连接，， 平面平面，平面平面平面， 平面，是边长为2的等边三角形，. 以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则，. 则. 设平面的法向量为，则 令，可得， 平面的一个法向量为， 点到平面的距离为. 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 平面的一个法向量为. 由（1）可知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程； （2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值． 【答案】（1）双曲线C的方程为，离心率，渐近线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据共渐近线，设设双曲线C的方程为，代入点坐标即可得到标准方程. （2）联立双曲线与直线方程，结合韦达定理得到中点坐标，然后代入圆方程，即可得到结果. 【小问1详解】 因为双曲线C与有相同的渐近线， 所以可设双曲线C的方程为，代入，得，得，故双曲线C的方程为， 所以，，，故离心率， 渐近线方程为． 【小问2详解】 联立直线AB与双曲线C的方程，得， 整理得， ． 设，，则AB的中点坐标为，由根与系数的关系得，，， 所以AB的中点坐标为， 又点在圆上，所以， 所以． 18. 如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据数量积的运算律求出，进而可得为的中点，从而可证明，，再根据线面垂直得判定定理以及面面垂直得判定定理即可得证； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 设，则， 则， 所以， 因为为的中点， 所以，， 则，所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由，可得，则， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 所以的长度为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到准线的最短距离为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线和直线的斜率之积为定值； （3）求与面积之和的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，，从而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得、两点的坐标，进而计算出直线和直线的斜率之积为定值. （3）结合（2），求得与面积之和的表达式，利用基本不等式或二次函数的性质来求得其最小值. 【小问1详解】 依题意可得：，求解得， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 如图： 设直线的方程为：，，，， 则，化简得：， 即， 由于在椭圆内，所以直线与椭圆必有个交点， 所以，， 方程，得出， 同理可得：，， 所以，， 所以 为定值. 【小问3详解】 由题意可得：， ， ， ， 当且仅当时取“， 所以“. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧县中学高二年级2025-2026学年度上学期第二次月考 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 2. 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 3. 已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ） A. 13 B. 21 C. 29 D. 31 4. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 6. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 曲线的左，右焦点为，C上有一点P，与y轴交于点Q，满足以P为圆心，为半径的圆与x轴相切，恰交y轴于Q，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 10. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 11. 如图所示．已知椭圆方程为，为左右焦点，下列命题正确的是（ ） A. P为椭圆上一点，线段中点为Q，则为定值 B. 直线与椭圆交于R，S两点，A是椭圆上异与R，S的点，e为椭圆离心率且斜率均存在，则 C. 若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是 D. 四边形为椭圆内接矩形，则其面积最大值为 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为______． 13. 若关于的不等式的解集是，则值是________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 四、解答题 15. 已知圆经过点，，且圆C与直线，均相切. （1）若经过圆心C的直线与，平行，求直线的方程； （2）求圆C的标准方程. 16. 如图，在斜三棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，为的中点，且，为的中点，为的中点，. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程； （2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值． 18. 如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到准线的最短距离为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线和直线的斜率之积为定值； （3）求与面积之和的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $