河北省沧州市沧县中学等校2025-2026学年高二上学期大数据应用调研阶段性联合测评（Ⅱ）数学试题

数学参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A D B A C B B D BCD AC BCD 1,A【解析】显然该直线的斜率=一 =一2√2，故选A 2 2.D【解标】根据直线的两点式方程公式可得=二}=一号，化简可得x十2十1=0，放选D 3.B【解析】由题意知a-（一2=22，又：a>0,a十2=4，解得a=2,故选B √12+(-1)2 4.A【解析】因为方程x2+y2-2x+my+5=0表示圆，所以(-2)2+m2-4×5>0→m<-4或m>4. 故选A 5.C【解析】由已知得a十b=(3,m+3,n+4),则|a+b|=√9+(m十3)+(n十4)2=3，即(m十3)2+ (n十4)2=0，可得m=-3,n=一4，因此mn=12,故选C. 6.B【解析】易知以（一4,0），(-一4,2)为端点构成的线段的中垂线方程为y=1,以(-2,2)，（一4,2）为端点 构成的线段的中垂线方程为x=一3，设圆心坐标为(m,n),显然点(m,n)为直线x=一3与直线y=1的 交点，所以圆心坐标为（一3,1），故圆的半径r=√（一3十2）2十(1一2)=√2，故选B. 7.B【解析】因为A,B,C,D四点共面，所以AB与AC,AD共面，即存在唯一实数对(x,y),使得AB= 一1=-x, xAC+yAD,所以(-1,2,0)=(-x,0,3x)+(0,y,λy)=(-x,y,3x+y),所以2=y, 解得x= 0=3x十λy, 1y=2A=一2放选R 8.D【解析】设切点为M,令其为坐标原点，取M石的方向为z轴正方向，OA在平面a上的投影向量的方 向为x轴正方向，垂直于平面OAM的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz.设球面上一 点坐标为(x,y,z),易知M(0,0,0),0(0,0,2),则√x2+y2+(x-2)z=2,即x2+y2+(x-2)2=4, 设A(a,0,3),a>0,易解得A(3,0,3),不妨规定B(x,y,x),由OA⊥OB知OA·OB=0,而OA= 50,10.0i=,y2-2.放故5x十g-2=0,即x-2-,放4=2+y+(:-2》=号× (x一2)2+y2≥（x-22,于是(x-2)≤3，可得x∈[2-5,2+3]，故点B到平面e的距离x的最大 值为2十√5，故选D. M 高二数学参考答案第1页（共6页） 9.BCD【解析】对于A,假设b+c=x(a+b)+y(a十c),则(x+y)a+(x-1)b+(y-1)c=0,即 x+y=0, x一1=0，可知其无解，故可作为空间向量的一个基底，故A不符合题意；对于B,注意到d=a十c十b十 y-1=0, c,故不能作为空间向量的一个基底，故B符合题意；对于C,注意到a十d=2a十b十2c=b十2(a十c),故 不能作为空间向量的一个基底，故C符合题意；对于D,注意到a十b十d=2a+2b十2c=2(a十b十c),故 不能作为空间向量的一个基底，故D符合题意.故选BCD. 10.AC【解析】对于A,此时1：z十2y-5=0,点0到1的距离d=10+2X0-5-5,故A正确：对于B, √12+2 当O在l1上时，Q=0,此时L2:一4y十3=0，其无横截距，故无截距式方程，故B错误；对于C,由l1⊥l2可得 1×a十2×(-4)=0，解得a=8,故C正确；对于D,由l1∥l2可得1×(-4)=2×a,可得a=一2，故D 错误.故选AC. 11.BCD【解析】正方形ACBP的边长为2，则△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形.以点C为原 点，以CA,CB的方向分别为x轴，y轴正方向，过点C且垂直于底面ABC的直线为之轴，向上为之轴 正方向建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),由四边形ACBP是正方形，得 P(2,2,0),因为顶点C1在底面ABC上的射影是点P,且棱柱的高为2，所以C1(2,2,2).故CC1= AA1=BB1=(2,2,2),则A1(4,2,2),B1(2,4,2),则M(3,3,2),N(3,1,1),则M=(0,一2，-1)， CB=(0,2,0),MN·C第=一4≠0，故直线MN与BC不垂直，A错误.易知AB=(-2,2,0),CM= (3,3,2).设平面CCM的法向量为n=(x,y,z).由n·CC1=0,得x+y十x=0,由n·CM=0,得 3x十3y十2z=0,取x=1,得n=(1,-1,0).由于AB=-2·n,因此向量AB与n共线，也即直线AB 垂直于平面C,M,B正确，三棱锥A-BCN的体积等价于三棱锥N-ABC的体积，SAr=合×AC× BC=2,三棱锥N-ABC的高即N(3,1,1)到平面ABC的距离，等于1.故VACv=VNAc=3X2X1= 号，C正确BC=(2,0,2),AN=(-1,-1,-1,设直线BC,与A,N的夹角为8，则cas9 |BC·AN|-4L6 BC·A,8X店=S,故D正确故选BCD. A N 12.【答案】[V5-2,W5+2] 【解析】注意到(0一1)2+(0一2)2=5>4，故点O在圆外.因为圆的半径为2，圆心与点0的连线长d= √12+2=√5，故|OQ∈[d-2,d+2],即|OQ∈[5-2，W5+2],故答案为[5-2，w5+2]. 13.【答案】1 【解析】连接AB,(图略)，易知D为AB,的中点，故AD=AB-号A店+号AA,易知AM1上AC,故 高二数学参考答案第2页（共6页） AA,AC=0,于是AC.Ai=A店.AC+号AA·AC=2A1ACos∠BAC=号×2X2X 号1，放答案为1 1【答案】号 【解析】显然直线可表示为a(x一1)一y=0,可知其过定点M(1,0).设P(2,t),设A(2,0),注意到 ∠OPM=∠PMA-∠POM,则|tan/OPM|=|tan(∠PMA-∠POM)l= tan∠PMA-tan∠POM| |i+tan∠PMAtan/POM,而 an∠PMA=-2=,m∠POM=2=l,故am∠OPM l- 八t ∠ t2+2 1+2 2:-号，于是aOPM≤ta/OPM<年，当且仪当1=士E时，等号成立，放答类为 t_2 4· 15.【解】(1)显然LAB:y=0,lC:x=-1,故AB⊥BC,…(2分) 易知∠ABC的平分线所在直线的倾斜角为T, 于是其方程为y一0=(x十1)an牙， (4分) 故∠ABC的平分线所在直线的斜截式方程为y=x十1.… (6分) (2)直线AC的斜率。=6一0。 2-2,… (8分) 故AC边上的高所在直线的斜率k=一1=1 k。2 (10分) 1 又所求直线经过点B,故其方程为y一0=2(x十1)， (11分) 即其一般式方程为x一2y十1=0.… …（13分) 16.【解】(1)由m·n2=1X4+2×3-2×5=0, 可知L/平面β或C平面3，… (4分) 由l中β知l平面B.… (5分) (2)设l与平面a所成角为01， m·n1|1×3+2×0-2×4 1 则sin8,=mn√+2+2V3+(-)3 (9分) 所以1与平面。所成角的正弦值为分 (10分) (3)设平面α与平面B的夹角为02， 则-= |3×4+0×3+4×5| 16√2 …(14分) √32+(-4)2√42+32+(-5)2 25 所以平面。与平面B夹角的余弦值为2 (15分) 17.【解】如图，以点D为坐标原点，分别以DA,DC,Di的方向为x轴，y轴，之轴正方向，建立空间直角坐 标系， 则A(2,0,0),D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(2,0,2),F(2,2,2),G(0,2,2),H(0,0,2). 高二数学参考答案第3页（共6页） 因为M,N分别为棱FG和GH的中点， 所以M(1,2,2),N(0,1,2).… (2分) (1)解法一：设点G到平面a的距离为d,平面a的法向量为m=(x,y,z), 由上分析得AM=(-1,2,2),MN=(-1,-1,0), m·Ai=0,/-x十2y+2x=0, 则 即 m.M=0,即x十y=0, 令x=2,可得m=(2,-2,3),… (4分) 又NG=(0,1,0), 所以d=m·NG 2 2√17 m w/4+4+9 17 所以点G到平面。的距离为7 17· (7分) 解法二：设点G到平面a的距离为d, 则三棱锥GAMN的体积V=3S△·d, 又三棱锥GAMN的体积等于三棱锥A-GMN的体积，… (3分) 则有写·Saw·d=号·Sm·AE,易知AMN=E,且AM=AN=3,…5分) 则Sm=·MN·A-(y- Γ2 又Sam=合GM.GN=3AE=2, 所以d=27 7,即点G到平面。的距离为27 17 (7分) M x- (2)点P在棱DH上，设P(0,0,zp).由P在平面AMN上， 得m·AP=0,即(2，-2,3)·(-2,0，之p)=-4+3zp=0, 解得2：=专故P00,),所以DP=兰 (9分) 点Q在棱BF上，设Q(2,2,xQ),由m·AQ=0,得(2，-2,3)·(0,2，zQ)=-4十3zQ=0, 解得0=专放Q22,号)， 所以PQ=(2,2,0), 易知平面ABCD的一个法向量为k=(0,0,1),且PQ·k=0,则PQ⊥k 又直线PQ不在平面ABCD内，所以PQ/平面ABCD.…(11分) 高二数学参考答案第4页（共6页） (3)(2)得P庐-(2,2，号，且弦=0,2，-2)，武=(-2,2，-2. n·EB=2b-2c=0, 设平面EBC的法向量为n=(a,b,c).由 n·EC=-2a+2b-2c=0, 解得b=c,a=0,令b=1,得n=(0,1,1).… (13分) PF.nl 2x0+2x1+号×1 设直线PF与平面EBC所成的角为p,则sinp= 2√/38 IPFInI 西×厄 19 即直线PF与平面EBC所成角的正弦值为2W38 19 (15分) 18.【解】(1)设C(a,0),圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(r>0), (2分) .圆C过A(-2,4),B(5,3)两点， .(-2-a)2+16=r2,(5-a)2+9=x2,… (5分) 解得a=1,r2=25, 故C的标准方程为(x-1)2+y2=25. (7分) (2)设P(x,y),则|PM=√(x+24)2+y2,|P0|=√x2+y2, 删- √(x+24)2+y2 ,…（们1分） Vz2+y2 P为C上的动点，∴.(x-1)2+y2=25,y2=24-x2+2x,… (14分) 2X=y+24+y-√C+24)+24-x+2c=y60Cx士 =√25=5， √x2+y2 √x2+24-x2+2x √2(x+12) p为定值5。…（7分) 19.【解】(1)证明：连接AC(图略)，由题意知O为AC的中点，又点M是线段PC的中点， 故OM是△PAC的中位线，故OMPA.…(2分) 又PAC平面PAD,OM中平面PAD, 所以OM/平面PAD.…(4分) (2)如图，以点A为坐标原点，以AD的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，以垂直于平面 ABCD的直线的向上的方向为之轴正方向，建立空间直角坐标系， 由题意可知，A(0,0,0),B(0,2,0),D(2,0,0),C(2,2,0). D--- XK 设四棱锥P-ABCD的高为h,由氵=义22·h,解得h三2，…(6分 因为平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以点P在xAy平面内的射影落在直线AB上， 设点P0,2,则M1,生，，B脑i-1,号，川 高二数学参考答案第5页（共6页） 连接BD,由Q在线段PB上，知问题等价于求直线BM与平面PBD所成角的最大值， 设平面PBD的法向量为n=(a,b,c). n⊥DB, -2a+2b=0, 易知DB=(-2,2,0),DP=(-2,t,2).由 n⊥Dp 得 -2a+tb+2c=0, 令a=2,可得平面PBD的一个法向量为n=(2,2,2-t).… (8分) 设直线BM与平面PBD所成角为O. lBM·nl 2 4 则sin0= |BMl·|n 合-+2v-+亚 t2-4t+12(t-2)2+81 故当1=2时，：一2)2+8取得最小值8，此时sin9取得最大值2， 又0c[0,引，由正孩函数单调性可知，此时0取得最大值， 即直线BM与平面DPQ所成角的最大值为 …(10分) 6 (3)由Q点在线段PB上，不妨设AQ=(1一λ)AB+λAP,其中入∈[0,1]， 则AQ=(0,2-2λ十t,2λ)，则Q(0,2-2λ十λt,2入)， 设d1为Q到平面PAD的距离，d2为Q到平面DOM的距离， 设平面PAD的法向量为n1=(x1y1,之1)，由(2)知AP=(0,t,2),AD=(2,0,0), 由 mAP得1十20含y=2,则平面PAD的一个法向量为m,=02, (nLAD,=0, 则d4,=A迈ml-l4,所以d=161A (12分) |n√4+t 4十t2 设平面D0M的法向量为m:=(y.由(2知D0-号店-(-1,10)，D=(-1,生是，1小， |n2LDò，， -x2十y2=0, :D成-+生+=0， 由 得 y2=2,则平面DOM的一个法向量为n2=(2,2,-t), 又D0=(-2,2-2x+,2x,则d,=Dd·n-二从，所以d=162 -8+t2 …（14分) n2√8+t 故距离的平方和S=161一入)2+162 4+t2 8十t2 对于固定的t,S是关于λ的二次函数，其图象开口向上，则其在[0,1]上的最大值必在端点处取得. 1=时8=A=1时S=总 且由于0<4+2<8+2，故，16>16 4+t28+t2” 所以对于固定的：，S的最大值为，在A-0时取得。 又y的最大值在-0，即4=0时取得， 此时S的最大值为4，当且仅当λ=0，t=0时取得. (16分) 此时P(0,0,2),即点P在点A的正上方；AQ=AB,即Q点与B点重合. 综上所述，所求距离平方和S的最大值为4，S取得最大值时，P点位于A点正上方距离为2的位置，Q 点与B点重合.…（们7分） 高二数学参考答案第6页（共6页）2024级高二年级大数据应用调研阶段性联合测评（Ⅱ） 数学 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.直线4x十√2y一2025=0的斜率为 A.-22 B一② D.2√2 4 2.过点(1，一1)和（一3,1）的直线的一般式方程为 A.x+2y-5=0 B.2x-y+4=0 C.x十y-2=0 D.x+2y+1=0 3.若直线x一y一2=0与直线x一y十a=0(a>0)之间的距离为2√2，则a= A.1 B.2 C.3 D.4 4.若方程x2十y2一2x十my十5=0表示圆，则整数m可以取 A.5 B.4 C.-2 D.3 5.已知空间向量a=(1,3,4),b=(2,m,n),若|a十b|=3,则mn= A.4 B.8 C.12 D.16 6.过点（一2,2），（一4,0），（一4,2）的圆的半径为 A.1 B.√2 C.2 D.2√2 7.在空间直角坐标系中，已知AB=(-1,2,0),AC=(-1,0,3),AD=(0,1,A),若A,B,C,D 四点共面，则入的值为 A号 B-8 C.1 D.2 8.已知半径为2的球O与平面α相切，球面上两点A,B满足OA⊥OB,且点A到平面a的距离 为3，则点B到平面α距离的最大值为 A.2-√3 B.2-√2 C.2+2 D.2+3 高二数学第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底，d=a十b+2c,则下列选项中不能作为空间向量的一个 基底的是 A.{a+b,a+c,b+c》 B.(a+c,b+c,d) C.(a+d;b,a+c) D.(a+b,a+b+c;d) 10.记O(0,0),直线l1:x十2y一a=0,l2:ax一4y十3=0，则下列结论正确的是 A.当a=5时，点O到l1的距离为√5 B当0在，上时，：的裁距式方程为号-1 C.当l1⊥12时，a=8 D.当l1亿2时，a=一3 11.如图所示，高为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，C1在底面ABC上的射影为点P,且A,C, B,P四点构成边长为2的正方形，M,N分别为A,B1,AA1的中点，则下列结论正确的是 A M B N A.直线MN⊥直线BC B.直线AB⊥平面CC1M C三棱锥A-BCN的体积为号 D.直线BC,与A,N所成角的余弦值为 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.记点O(0,0),点Q在圆(x一1)2+(y一2)2=4上，则1OQ|的取值范围是 13.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,D为A1B的中点，则AC·AD= 14.在平面直角坐标系xOy中，直线ax一y一a=0过定点M,点P在直线x=2上，则 tan∠OPM的最大值为 高二数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)在△ABC中，A(2,0),B(-1,0),C(-1,6): (I)求∠ABC的平分线所在直线的斜截式方程； (2)求AC边上的高所在直线的一般式方程. 16.(本小题满分15分)已知直线1的方向向量为m=(1,2,2),平面a的法向量为n1=(3,0,一4)， 平面3的法向量为n2=(4,3,一5)，且1不在平面B内. (1)证明：l平面B; (2)求1与平面α所成角的正弦值； (3)求平面a与平面B夹角的余弦值， 17.(本小题满分15分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-EFGH中，点M和N分别为棱FG 和GH的中点.平面a经过点A,M,N,设平面a与DH,BF分别交于P,Q两点. (1)求点G到平面a的距离； (2)求DP的长度，并证明：PQ平面ABCD; (3)求直线P℉与平面EBC所成角的正弦值. E H N F G D B 高工数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)已知圆心在x轴上的圆C过A(一2,4)，B(5,3)两点，其中O为坐标 原点 (1)求C的标准方程： (②)设P为C上的-动点M(-24,0),探究是不是定值若是定值，求出该定值：若不 是定值，请说明理由. 19.(本小题满分17分)如图，体积为的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2，中心为0 的正方形，且平面PAB⊥平面ABCD.设线段PC的中点为M,Q为线段PB上一点（包含 端点) (1)证明：OM平面PAD; (2)求直线BM与平面DPQ所成角的最大值； (3)求Q到平面PAD与平面DOM的距离的平方之和S的最大值，并指出此时P点与Q点 的位置 A D 高二数学第4页（共4页）