专题09 正弦函数的图像与性质14大题型（期中复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题09 正弦函数的图像与性质（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、求sinx的函数的单调性 题型二、求sinx型三角函数的单调性 题型三、利用正弦型函数的单调性求参数 题型四、解正弦不等式 题型五、求含sinx（型）函数的值域和最值 题型六、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 题型七、求含sinx（型）的二次式的最值 题型八、求正弦（型）函数的奇偶性 题型九、求含sinx的函数的奇偶性 题型十、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 题型十一、求正弦（型）函数 的最小正周期 题型十二、由正弦（型）函数的周期性求值 题型十三、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 题型十四、利用正弦函数的对称性求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 利用正弦型函数的单调性求参数 能根据正弦型函数在指定区间的单调性，求ω、φ等参数的取值范围，能结合恒成立问题求参数 填空压轴常考点，难度中等偏上，易错点为区间端点的临界值判断错误 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 能根据正弦型函数在指定区间的值域或最值，求A、ω、φ等参数的取值范围，能解决函数图像最高点个数与参数的关系问题 填空压轴必考点，难度中等偏上，常结合二次函数综合考查 求含sinx（型）的二次式的最值 掌握换元法求含sinx的二次函数的最值，能根据sinx的取值范围确定二次函数的最值，能结合最值求参数 中档必考点，填空、解答题均有考查，易错点为忽略换元后变量的取值范围 由正弦（型）函数的奇偶性求参数 能根据正弦型函数的奇偶性，求φ等参数的值，能结合奇偶性解决函数求值问题 高频考点，填空题型为主，易错点为φ的取值范围判断错误 由正弦（型）函数的周期性求值 能利用正弦型函数的周期性解决函数零点个数问题，能结合图像分析直线与正弦函数交点的坐标关系 填空压轴常考点，难度中等偏上 利用正弦函数的对称性求参数 能根据正弦型函数的对称轴、对称中心或零点，求ω、φ等参数的取值范围，能结合对称性解决函数零点个数问题 填空压轴必考点，难度较大，是期中压轴题高频考点 知识点01 正弦函数 对于任意一个给定的实数，都有唯一确定的正弦值与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作．正弦函数的定义域是实数R． 知识点02 正弦函数的图像 1．正弦曲线 正弦函数 的图像叫做正弦曲线． 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为直线 ；正弦曲线也是中心对称图形，对称中心为 ． 2.“五点法”作图 从图可知， 和 是函数 图像的五个关键点．我们描出这五个点，并用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数 知识点03 正弦函数的周期 定义 对于函数，如果存在一个非零常数 ，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立那么函数 就叫做周期函数（periodic function），而这个非零常数 就叫做函数 的一个周期（period）。 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．正弦函数最小正周期为． 知识点04 函数 的周期 一般地，函数 （其中 、、 为常数，且 的最小正周期为 ． 知识点05 正弦函数的值域和最值 函数 图像 值域 最值 当 时， 取得最大值 1 ； 当 时， 取得最小值 -1 ． 知识点06 函数的值域与最值 函数 值域 最值 当 时， 取最大值 ； 当 时， 取最小值 知识点07 正弦函数的奇偶性 对于 恒有 ，所以正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于坐标原点中心对称． 函数 图像 对称轴 直线 对称中心 知识点08 正弦函数的单调性及单调区间 函数 图像 单调性 在 上是严格增函数； 在 上是严格减函数 知识点09 函数 的奇偶性与单调性 函数性质 重要结论 奇偶性 当 时是奇函数； 当 时是偶函数； 当 时既不是奇函数也不是偶函数 对称性 对称中心：；对称轴： 单调性 单调增区间： 单调减区间： 题型一、求sinx的函数的单调性 【典例01】（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调增区间是______. 【变式2】函数，的增区间为______． 【变式3】函数的单调减区间是_________． 题型二、求sinx型三角函数的单调性 解｜题｜技｜巧 求函数 单调区间的方法 （1）要把 看作一个整体，若 ，先用诱导公式将式子变形，将 的系数化为正； （2）在 时，将＂＂代入正弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间； （3）当 时，同样的方法可以求得与正弦函数单调性相反的单调区间． 【典例02】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）的单调增区间为________． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的严格增区间为______. 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 【变式4】（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 题型三、利用正弦型函数的单调性求参数 【典例03】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 【变式1】（24-25高一下·上海金山·期中）设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； (3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 题型四、解正弦不等式 【典例04】函数，的定义域为__________. 【变式1】（23-24高一下·上海徐汇·期中）定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为______． 【变式2】（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为___________ 【变式3】已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意都有，求实数t的取值范围． 题型五、求含sinx（型）函数的值域和最值 【典例05】（24-25高一下·上海宝山·期中）关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【变式1】（24-25高一下·上海金山·期中）已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）定义，若函数，给出下列四个命题： ①该函数是周期函数，且最小正周期是； ②该函数的值域是； ③该函数是偶函数； ④对任意，恒成立. 上述命题中错误的序号是____________． 题型六、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 解｜题｜技｜巧 三角求最值（值域）问题通常可以转化成： （1）形如 ，而后换元令 ，求 的范围，而后画图看图写最值与值域； （2）形如 或 型，可利用换元思想，设 或 ，转化为二次函数 求最值， 的范围需要根据定义域来确定； （3）形如 型，利用 和 的关系，通过换元法转换成二次函数求值域． 【典例06】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若，则的最小值为________． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______. 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 【变式4】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值为__________. 【变式5】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的振幅与频率； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 题型七、求含sinx（型）的二次式的最值 【典例07】函数的值域为__________． 【变式1】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是______． 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若对于任意的，等式总是成立，求，的值； (2)若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； (3)若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 题型八、求正弦（型）函数的奇偶性 解｜题｜技｜巧 判断函数的奇偶性方法比较多，可以从定义:图形两方面进行.如果判定函数具有奇偶性，必须用定义加以说明;如果不具有奇偶性，举一个反例即可. 【典例08】下列函数不是奇函数的是（    ） A．y＝sin x B．y＝sin 2x C．y＝sin x＋2 D．y＝sin x 【变式1】函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式2】已知函数． （1）判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）求函数y=f(x)在的零点. 题型九、求含sinx的函数的奇偶性 【典例09】是_________函数（填奇偶性）； 【变式1】对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等. 其中正确的结论序号为_______________. 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，其中. (1)求证：该函数是偶函数而不是奇函数； (2)若，求的值. 题型十、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【典例10】函数（其中）为偶函数，则__________. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则________. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为_____________. 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则_________． 题型十一、求正弦（型）函数的最小正周期 解｜题｜技｜巧 ①利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量＂＂增加到＂＂时函数值重复出现，则可得 是函数的一个周期． ②常见三角函数周期的求法： ①对于形如函数 的周期求法通常用公式 来求解． ②对于形如 的周期情况常结合图像法来解决． 【典例11】函数的最小正周期是______． 【变式1】（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期是_________． 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）函数的最小正周期为________． 【变式3】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 【变式4】（23-24高一下·上海·期中）已知，设. (1)若，求函数的单调减区间； (2)设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值. 题型十二、由正弦（型）函数的周期性求值 【典例12】（24-25高一下·上海长宁·期中）直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____． 【变式1】设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则______. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为______. 【变式3】（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合______． 【变式4】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数满足，当，，若函数在区间上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为__________. 题型十三、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【典例13】（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是_____ 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知向量．设． (1)求函数的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式； (3)求关于的方程在区间上的解集． 【变式3】（23-24高二下·上海松江·月考）已知函数的最小正周期为． (1)求的值，并写出的对称轴方程； (2)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围 【变式4】（24-25高一下·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 题型十四、利用正弦函数的对称性求参数 【典例14】（24-25高一下·上海·期中）已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则__________． 【变式2】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）已知函数在内为严格减函数，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数 ，则函数的表达式为______． 【变式4】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 【变式5】（24-25高一下·上海·期中）已知函数，若满足（），则的取值范围是______. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海·期中）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 3．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是D，对于任意的，定义集合 (1)设，定义域，求； (2)设，定义域，若，求t的取值范围； (3)设，定义域．求实数a的取值范围，使得对任意的，且，都有 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 正弦函数的图像与性质（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、求sinx的函数的单调性 题型二、求sinx型三角函数的单调性 题型三、利用正弦型函数的单调性求参数 题型四、解正弦不等式 题型五、求含sinx（型）函数的值域和最值 题型六、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 题型七、求含sinx（型）的二次式的最值 题型八、求正弦（型）函数的奇偶性 题型九、求含sinx的函数的奇偶性 题型十、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 题型十一、求正弦（型）函数 的最小正周期 题型十二、由正弦（型）函数的周期性求值 题型十三、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 题型十四、利用正弦函数的对称性求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 利用正弦型函数的单调性求参数 能根据正弦型函数在指定区间的单调性，求ω、φ等参数的取值范围，能结合恒成立问题求参数 填空压轴常考点，难度中等偏上，易错点为区间端点的临界值判断错误 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 能根据正弦型函数在指定区间的值域或最值，求A、ω、φ等参数的取值范围，能解决函数图像最高点个数与参数的关系问题 填空压轴必考点，难度中等偏上，常结合二次函数综合考查 求含sinx（型）的二次式的最值 掌握换元法求含sinx的二次函数的最值，能根据sinx的取值范围确定二次函数的最值，能结合最值求参数 中档必考点，填空、解答题均有考查，易错点为忽略换元后变量的取值范围 由正弦（型）函数的奇偶性求参数 能根据正弦型函数的奇偶性，求φ等参数的值，能结合奇偶性解决函数求值问题 高频考点，填空题型为主，易错点为φ的取值范围判断错误 由正弦（型）函数的周期性求值 能利用正弦型函数的周期性解决函数零点个数问题，能结合图像分析直线与正弦函数交点的坐标关系 填空压轴常考点，难度中等偏上 利用正弦函数的对称性求参数 能根据正弦型函数的对称轴、对称中心或零点，求ω、φ等参数的取值范围，能结合对称性解决函数零点个数问题 填空压轴必考点，难度较大，是期中压轴题高频考点 知识点01 正弦函数 对于任意一个给定的实数，都有唯一确定的正弦值与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作．正弦函数的定义域是实数R． 知识点02 正弦函数的图像 1．正弦曲线 正弦函数 的图像叫做正弦曲线． 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为直线 ；正弦曲线也是中心对称图形，对称中心为 ． 2.“五点法”作图 从图可知， 和 是函数 图像的五个关键点．我们描出这五个点，并用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数 知识点03 正弦函数的周期 定义 对于函数，如果存在一个非零常数 ，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立那么函数 就叫做周期函数（periodic function），而这个非零常数 就叫做函数 的一个周期（period）。 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．正弦函数最小正周期为． 知识点04 函数 的周期 一般地，函数 （其中 、、 为常数，且 的最小正周期为 ． 知识点05 正弦函数的值域和最值 函数 图像 值域 最值 当 时， 取得最大值 1 ； 当 时， 取得最小值 -1 ． 知识点06 函数的值域与最值 函数 值域 最值 当 时， 取最大值 ； 当 时， 取最小值 知识点07 正弦函数的奇偶性 对于 恒有 ，所以正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于坐标原点中心对称． 函数 图像 对称轴 直线 对称中心 知识点08 正弦函数的单调性及单调区间 函数 图像 单调性 在 上是严格增函数； 在 上是严格减函数 知识点09 函数 的奇偶性与单调性 函数性质 重要结论 奇偶性 当 时是奇函数； 当 时是偶函数； 当 时既不是奇函数也不是偶函数 对称性 对称中心：；对称轴： 单调性 单调增区间： 单调减区间： 题型一、求sinx的函数的单调性 【典例01】（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【知识点】求sinx的函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 【变式1】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调增区间是______. 【答案】, . 【知识点】求sinx的函数的单调性 【分析】根据正弦函数性质求函数的单调增区间即可. 【详解】函数的单调增区间是, . 故答案为：, . 【变式2】函数，的增区间为______． 【答案】（开闭均可） 【知识点】求sinx的函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由，求得的范围，令，即可求得函数的单调增区间. 【详解】由，可得， 令， 解得， 即函数在的单调增区间为. 故答案为：.（开闭均可） 【变式3】函数的单调减区间是_________． 【答案】 【知识点】求sinx的函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的单调性即可求解. 【详解】由， 得， 所以函数的单调减区间为. 故答案为：. 题型二、求sinx型三角函数的单调性 解｜题｜技｜巧 求函数 单调区间的方法 （1）要把 看作一个整体，若 ，先用诱导公式将式子变形，将 的系数化为正； （2）在 时，将＂＂代入正弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间； （3）当 时，同样的方法可以求得与正弦函数单调性相反的单调区间． 【典例02】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】解不等式，即可求得函数的单调递增区间. 【详解】求函数的单调递增区间. 由，可得， 因此，函数的单调递减区间是. 故选：C. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）的单调增区间为________． 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的严格增区间为______. 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的单调区间求解函数在区间上的严格增区间即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，即时，函数严格递增， 所以函数的严格增区间为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 【答案】(1)； (2)；或 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变形，然后借助正弦函数来求值域和单调区间即可； （2）然后借助正弦函数来求对称轴方程以及解三角方程即可. 【详解】（1）由， 因为，所以函数的值域为， 由解得：， 所以函数的单调递增区间是； （2）由，解得：， 即函数的对称轴方程为， 由方程， 则或， 解得或， 故方程的解为或， 【变式4】（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期、求函数的零点 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，进而求正弦函数的最小正周期； （2）由正弦型函数的性质求增区间； （3）由题设在上有两个不同根，且，，应用差角余弦公式、二倍角正弦公式求函数值. 【详解】（1）由题设， 所以，最小正周期； （2）令，则，， 所以，增区间为，. （3）由，则， 所以在上有两个不同根，且，， 由，若，则， 所以，故， 所以， 所以，可得， 所以. 题型三、利用正弦型函数的单调性求参数 【典例03】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心， 又，所以，即，； 又函数在区间上是单调函数， 所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 综上可得. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海金山·期中）设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； (3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】（1）求的范围，结合条件列不等式求的取值范围； （2）由条件列关系式，确定的值，再由周期公式求周期； （3）由题意存在，，且，使得成立，由此即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以函数在区间上只有一个最小值点， 又因为， 由正弦函数的图象可知：，解得， 所以的取值范围为． （2）由，可知函数关于点对称． 因此，解得，其中为整数． 由于函数在区间上是严格增函数，所以，所以， 结合，其中为整数，所以， 又，其中为整数，所以或， 当时，，函数在区间上不是严格增函数， 当时，，函数在区间上是严格增函数，且关于点对称．所以． 因此函数的最小正周期为． （3）已知函数的值域为，因此， 又，则当且仅当时成立，即， 令，则当，时，，， 此时需存在，满足（为整数），且， 则区间内至少包含两个不同的点， 设存在整数满足， 当时，；当时，；当时，符合题意； 所以． 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【知识点】辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 则最小正周期为. （2）； 则函数的最大值为，最小值为. （3）， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 题型四、解正弦不等式 【典例04】函数，的定义域为__________. 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、解正弦不等式 【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得答案． 【详解】由，得， 因为，所以， 所以的定义域为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海徐汇·期中）定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为______． 【答案】 【知识点】解正弦不等式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据三角恒等变换可得，要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解不等式可得 【详解】 由可得， 即，即 要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解得， 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为___________ 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、解正弦不等式 【分析】 根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得： ， 解得：或， 故函数的定义域是， 故答案为： 【变式3】已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意都有，求实数t的取值范围． 【答案】(1)单增区间为 (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由整体法求增区间； （2）由题设知，结合给定闭区间列不等式求参数范围. 【详解】（1）由， 令，则， 所以的单调递增区间为. （2）由，则，故， 又，则，所以，即. 题型五、求含sinx（型）函数的值域和最值 【典例05】（24-25高一下·上海宝山·期中）关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可． 【详解】， 则振幅为，值域为， 当，即时，函数单调递减， 则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调， 故在上是单调增函数，在区间上不单调， 故选：D． 【变式1】（24-25高一下·上海金山·期中）已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、判断两个集合的包含关系 【分析】假设，都是锐角，可得，与已知矛盾，从而可得以，中一定存在钝角，则角为锐角，从而可判断结论的真假. 【详解】假设，都是锐角，则，故是锐角. 则，同理，从而，矛盾. 故，中必定有一个为钝角，②对①错. 不妨设为钝角，则，为锐角. ， ， ， 看成关于的一元二次方程，注意到， 则判别式恒成立，且两根之积为负数. 从而对任意锐角，必存在唯一钝角符合关系式，因为， 所以也为钝角，所以为锐角. 故可取遍任意锐角， 所以，即，③正确， 又因为任意一个集合都是自身的子集，则，故④正确， 故选：C． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数图象的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）定义，若函数，给出下列四个命题： ①该函数是周期函数，且最小正周期是； ②该函数的值域是； ③该函数是偶函数； ④对任意，恒成立. 上述命题中错误的序号是____________． 【答案】①② 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数的化简、求值——诱导公式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据题意化简得：据此逐项分析即可 【详解】令，解得：， 同理，解得：， 对于①，若最小正周期是，则成立， 所以，最小正周期不是，①错误 对于②，当时，， ，值域为， 当时，， ，值域为， 综上，该函数的值域是，②错误 对于③，定义域为，关于原点对称 ， ， 是偶函数，③正确 对于④，当时， ， 当时， ， 综上，对任意，恒成立，④正确 故答案为：①② 题型六、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 解｜题｜技｜巧 三角求最值（值域）问题通常可以转化成： （1）形如 ，而后换元令 ，求 的范围，而后画图看图写最值与值域； （2）形如 或 型，可利用换元思想，设 或 ，转化为二次函数 求最值， 的范围需要根据定义域来确定； （3）形如 型，利用 和 的关系，通过换元法转换成二次函数求值域． 【典例06】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先利用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 因为，所以， 因为，所以， 不妨令，即，则，所以， 所以，， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若，则的最小值为________． 【答案】/ 【知识点】辅助角公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用辅助角公式化简，即可得到，再由正弦函数的性质求出，的取值，即可得解. 【详解】因为， ， 若， 即，所以或， 根据对称性不妨令， 则，， 所以， 所以当时取得最小值. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______. 【答案】 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】先求出，根据恰有个最高点，得到不等式，求出答案. 【详解】由于，所以， 由于图象在区间上恰有2个最高点，则，解得. 所以的取值范围为 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 【答案】 【知识点】辅助角公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由题意可知，对任意的，，参变分离得，利用正弦函数的基本性质求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，恒成立， 即， 当时，，所以，则， 故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值为__________. 【答案】 【知识点】辅助角公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域计算可得. 【详解】， 因为函数的最大值为3， 所以，（舍去）， 所以实数的值为. 故答案为：. 【变式5】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的振幅与频率； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、几何中的三角函数模型、三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，即可求出函数的振幅以及频率的值； （2）由可得出的取值范围，结合函数的值域可得出关于的不等式，即可解得的取值范围； （3）根据函数为的最小值，结合角的取值范围可得出角的值，设，，所以．利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换可得出，即可得出面积的最大值. 【详解】（1） ， 所以函数的振幅，频率. （2）设，则，，则， 所以，解得，即的取值范围是. （3）由（1）知当时，即， 则，则． 因为，所以， 又为等腰三角形，所以，， 由正弦定理可得，可得， 设，，所以． 由余弦定理得， ， 由正弦定理得，所以． 又，， 所以 ， 即的面积取得最大值为． 题型七、求含sinx（型）的二次式的最值 【典例07】函数的值域为__________． 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、诱导公式五、六 【分析】由诱导公式得，设，结合二次函数图象即可求解． 【详解】，设， 则， 故答案为：． 【变式1】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是______． 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、辅助角公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】设，则，可得出，由此得出，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】因为， 设，则， 且，所以， 则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取最大值，即， 当时，；当时，，所以. 因此，函数的值域为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）利用三角函数定义计算. （2）利用给定关系列式，再利用和角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数的单调性求出单调递增区间. （3）利用二倍角的余弦公式变形，换元转化为求解二次函数在指定区间上的最值问题. 【详解】（1）依题意，，. （2）依题意， ， 由，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由（2）得， 令，则， 函数的图象是开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即时，，解得； ②当，即时，，解得， 所以实数的值为或. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若对于任意的，等式总是成立，求，的值； (2)若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； (3)若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将化简，即可得解； （2）首先求出的值，即可求出在上的值域，依题意，即可得到关于的不等式组，解得即可； （3）首先求出的值，再令，结合二次函数的性质求出的值域，依题意可得，求出的范围，结合正弦函数的性质得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 又且， 所以，； （2）因为为偶函数， 所以，则， 当时，，所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，所以，解得， 所以不存在使得恒成立； （3）因为的最大值为，且，所以，则， 令，则， 因为，所以当时取得最大值，即， 当时取得最小值，即， 所以， 因为对于任意的，总是存在，使等式成立， 所以， 当时， 又，所以，又，， 所以，解得，即的取值范围为； 题型八、求正弦（型）函数的奇偶性 解｜题｜技｜巧 判断函数的奇偶性方法比较多，可以从定义:图形两方面进行.如果判定函数具有奇偶性，必须用定义加以说明;如果不具有奇偶性，举一个反例即可. 【典例08】下列函数不是奇函数的是（    ） A．y＝sin x B．y＝sin 2x C．y＝sin x＋2 D．y＝sin x 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据奇函数的定义及正弦函数的性质判断可得； 【详解】解：对于A：为奇函数，故A不合题意； 对于B：，则，故为奇函数，故B不合题意； 对于C：，当时，；当时，； ∴函数是非奇非偶函数，故C满足题意. 对于D：为奇函数，故D不合题意. 故选：C. 【变式1】函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用诱导公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为， 所以的最小正周期，且为奇函数. 故选：C 【变式2】已知函数． （1）判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）求函数y=f(x)在的零点. 【答案】（1）偶函数；理由见解析；（2）或，其中且. 【知识点】求函数的零点、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性；（2）方程转化为，即可求解. 【详解】（1）偶函数 说明如下：定义域对称，，所以f(x)是偶函数 （2）时，，可得 所以或，其中且. 题型九、求含sinx的函数的奇偶性 【典例09】是_________函数（填奇偶性）； 【答案】奇 【知识点】诱导公式二、三、四、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】根据奇函数的判定方法即可得到答案. 【详解】由解析式得的定义域为，关于原点对称， 且， 故为奇函数， 故答案为：奇. 【变式1】对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等. 其中正确的结论序号为_______________. 【答案】①③ 【知识点】求含sinx的函数的奇偶性 【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】①：因为， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确； ②：因为， 所以，因此不成立，所以本结论不正确； ③：令，即，或， 当，显然成立， 当时，，显然函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因此本结论正确； ④：，或， 当，显然成立， 当时，，，，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确； 故答案为：①③ 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，其中. (1)求证：该函数是偶函数而不是奇函数； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或或或. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、已知三角函数值求角、求含sinx的函数的奇偶性、正弦函数对称性的其他应用 【分析】（1）根据奇偶性定义及正弦函数的性质判断奇偶性即可； （2）由题设可得，结合角的范围求角的大小. 【详解】（1）由的定义域为R，且， 又不恒等于0，故不恒成立， 所以该函数是偶函数而不是奇函数，得证； （2）由，， 所以或或或. 题型十、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【典例10】函数（其中）为偶函数，则__________. 【答案】/ 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】由诱导公式结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 又，所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则________. 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据题意，转化为，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为函数为偶函数，可得， 即，解得. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为_____________. 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据偶函数结合可得，再根据两角和差的正弦公式求解即可. 【详解】由（其中常数）是R上的偶函数可得， 又可得，故. 又，即，，故， 则. 故 . 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则_________． 【答案】， 【知识点】辅助角公式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再求，结合偶函数的定义和正弦函数的性质列关系式求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为是偶函数，所以对任意的恒成立， 所以， 所以或，， 所以（舍去）或，， 所以，， 故答案为：，. 题型十一、求正弦（型）函数的最小正周期 解｜题｜技｜巧 ①利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量＂＂增加到＂＂时函数值重复出现，则可得 是函数的一个周期． ②常见三角函数周期的求法： ①对于形如函数 的周期求法通常用公式 来求解． ②对于形如 的周期情况常结合图像法来解决． 【典例11】函数的最小正周期是______． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正弦函数周期公式，直接求出最小正周期. 【详解】由公式得， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期是_________． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）函数的最小正周期为________． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用正弦型函数的周期公式计算. 【详解】利用正弦型函数的周期公式计算，得到函数的最小正周期为. 故答案为：2. 【变式3】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 【答案】/ 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】首先从而求得及函数的最小正周期，再根据，可知的最小值为. 【详解】因为，所以，即， 且的最小正周期， 又存在实数、，对任意实数总有成立， ∴，， 的最小值为. 故答案为：. 【变式4】（23-24高一下·上海·期中）已知，设. (1)若，求函数的单调减区间； (2)设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求含sinx的函数的最小正周期、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】(1)由已知结合正弦函数的单调性即可求解； (2)结合周期公式先求出，然后结合正弦函数的奇偶性可求，再由二倍角公式及和差角公式对所求式子进行化简，代入即可求解. 【详解】（1）若，则， 令， 解得， 所以函数的单调减区间； （2）若函数的最小正周期为，则， 所以， 因为为偶函数， 所以，则， 因为为锐角，所以， . 题型十二、由正弦（型）函数的周期性求值 【典例12】（24-25高一下·上海长宁·期中）直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____． 【答案】2 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】利用正弦函数的周期性得到，再利用整体代入法求出对称轴，进而求出的横坐标，再代入解析式中结合诱导公式求解参数即可. 【详解】由正弦函数性质得的周期为， 如图，由题意得直线与函数图像的相邻的三个交点， 从左自右依次为、、， 则，因为，所以， 解得，令，解得， 由正弦函数性质得、关于对称，且设的横坐标为， 则， 而的纵坐标为，代入解析式中得到， . 故答案为： 【变式1】设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则______. 【答案】66 【知识点】函数与方程的综合应用、正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】易知在中恰有2个零点，由，分析中的零点数量即可. 【详解】由已知最小正周期为，故，在中恰有2个零点. 因为， 而区间中恰有个零点， 只需分析区间中的零点数量， 注意到相邻零点间的距离交替为，，而开区间长度为， 所以该区间中至少0个零点，至多2个零点，所以，， 所以. 故答案为：66 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是，分析区间中的零点数量即可. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为______. 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值. 【详解】由题意， 令，，所以，， 所以，，， 记的两零点为、，因为，设，， 当，即时，得，在（k为正整数），内零点个数为3k， 在内零点个数为，因为， 所以； 当，即时，，在（k为正整数）内零点个数为3k， 在内零点个数为，此时不存在n； 当时，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 因为，所以或； 当时，则，， 在（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以； 当，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以或； 综上n的所有可能值为：，，，，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用换元法化函数为，然后分类讨论的情况，结合在上有个零点，求解的可能取值. 【变式3】（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合______． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由正弦（型）函数的周期性求值、集合元素互异性的应用 【分析】由得到周期为4从而求得， 因为周期为4，列举，结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得的值. 【详解】因为，所以周期，又由得，所以， 则，， ，， 而集合中只有3个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的， 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，得或，此时 ； 若即，则，得或，此时或； 综上的值为0或1或-1，所以. 故答案为：. 【变式4】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数满足，当，，若函数在区间上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案. 【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数， 结合，作出函数在上的图象，如图示： 因为， 故时，即或， 则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点， 由图象可知，和的图象有6个不同的交点， 则和的图象需有2个不同的交点，即， 故， 则实数的取值范围为， 故答案为： . 题型十三、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【典例13】（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是_____ 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据诱导公式，化简得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 所以函数的对称中心的坐标为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数、辅助角公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，得到，再根据正弦函数的性质对个命题逐一判断，即可求解. 【详解】因为 ， 对于命题①，因为， 所以函数的图象不关于点对称，故命题①错误； 对于命题②，令，解得， 所以函数的对称轴是，，故命题②正确； 对于命题③，令，解得， 所以函数的零点为，故命题③正确， 对于命题④，因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故命题④正确； 故选：D. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知向量．设． (1)求函数的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式； (3)求关于的方程在区间上的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、正弦函数图象的应用 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算公式，降幂公式及辅助角公式求得，再用整体法求出对称轴方程； （2）由代入计算即可； （3）由得，结合求解即可． 【详解】（1）， 令，得对称轴为直线． （2）． （3）由得，由于， 所以或，故所求解集为． 另解：由得或， 解得或， 又，所以或，所求解集为． 【变式3】（23-24高二下·上海松江·月考）已知函数的最小正周期为． (1)求的值，并写出的对称轴方程； (2)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围 【答案】(1)， (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）先利用三角公式将函数变形，然后利用周期公式求出，再利用正弦函数的对称轴求的对称轴； （2）先利用正弦定理边化角，然后整理可得，再利用正弦函数的性质求的取值范围. 【详解】（1）， ， ， 故， 令，解得， 故对称轴方程为：； （2）由，得， 可得， ，，又，， ，， ， ， ． 【变式4】（24-25高一下·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据题意写出函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意写出函数进行整理，令，根据二次函数性质求解最值； （3）根据题意写出函数进行整理，运用三角函数性质进行求解b和不等式解集. 【详解】（1）因为，当时， ，因为， 所以，故的值域为； （2）因为， 当时，， 因为，所以， 令，由（1）可知，则， 当时，，故的最大值为. （3）当时，，其中， 因为函数图像关于直线对称，故， 整理得，即，故， 又因为将函数的图像向右平移单位， 得到函数，由题可知， 计算得，故， 即， 所以的解集为. 题型十四、利用正弦函数的对称性求参数 【典例14】（24-25高一下·上海·期中）已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 【答案】 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】依题意可得，根据正弦型函数的周期公式计算可得. 【详解】因为和是函数相邻的两个零点，设函数的最小正周期为， 所以，则，又，解得. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则__________． 【答案】或 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦函数的对称性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先利用辅助角公式化简，再根据对称性求出，根据函数在上无最值，求出的范围，即可得解. 【详解】因为 ， 又直线是函数图象的对称轴，所以， 则； 当，则， 又在上无最值，所以，解得，则， 所以或，则或（负值舍去）； 故答案为：或 【变式2】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案. 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t， 使得，求的取值范围； 作出和的图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即， 故选：B 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）已知函数在内为严格减函数，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数 ，则函数的表达式为______． 【答案】 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据对称轴和对称中心可得的一般形式，结合单调性可求，再根据对称轴可求初相位，故可得解析式. 【详解】函数为奇函数，故， 故的对称中心为，而是函数的一条对称轴， 故即，故， 而在内为严格减函数，故， 故，故即，故， 而，故， 故，而，故， 故， 故答案为：. 【变式4】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据题意得到的图象关于直线对称，从而三角函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，则在取得最值， 所以的图象关于直线对称，且， 又函数在区间上有且仅有一个零点，设的最小正周期为， 所以，即，所以. 故答案为： 【变式5】（24-25高一下·上海·期中）已知函数，若满足（），则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据对数函数的值域求参数值或范围、根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据解析式画出大致图象，结合正弦函数的对称性有，对数函数的性质得，即可得. 【详解】由解析式，函数的大致图象如下， 由图，要使，则，且， 令，可得，令，可得， 所以，故. 故答案为： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海·期中）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 【答案】(1) (2)， 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求； （2）在中，由正弦定理可得，继而得到即可求面积最大值. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理，，解得，. （2）在中，，，由正弦定理， ，所以， 当，即时，. 2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）因为，由题知，解得，则， 由，解得， 所以单调递增区间为； （2）由，知， 当时，，所以， 所以. 3．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是D，对于任意的，定义集合. (1)设，定义域，求； (2)设，定义域，若，求t的取值范围； (3)设，定义域．求实数a的取值范围，使得对任意的，且，都有 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】比较正弦值的大小、二倍角的余弦公式、复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据正弦函数的单调性即可求解； （2）先求，由即可求解； （3）根据定义判断出函数单调递减，由，令，，则，，根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由，定义域， 所以，所以； （2）因为，所以， 又因为，所以， 所以； （3）因为对任意，，都有， 若，则，所以，又， 所以在上单调递增， 因为， 令，，则， 由在单调递减，根据复合函数的单调性，只需在单调递减即可， 所以，即， 综上所述，. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 【答案】 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数与方程的综合应用 【分析】根据的性质可得时，有，进而讨论时，根据放缩法可得在无零点，进而根据函数图象可确定函数、在上交点个数，构造函数求解在有且只有一个零点.，即可求解. 【详解】当时，， 当时，，故， 当时，，故， ……，依次类推，可知时，有， 当时，，故在无零点， 同理在也无零点. ∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍， 则在平面直角坐标系中，、在上如图所示： 又， 故、在上的图象共有4047个不同交点， 下证：当，有且只有一个零点. 由于当时，，故， 即当时，， 当时，，也满足， 因此对任意的，都有， 结合为奇函数，因此对任意的，都有， 当时，， 因此，有且只有一个零点. 综上，、在上的图象共有4048个不同交点， 即在有4048个不同的零点， 故答案为：4048 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】函数新定义、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的奇偶性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据“正余弦函数”定义结合题给条件得出，结合正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断. 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角函数图象的综合应用、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，转化为在上有两解，结合正弦函数的性质，即可求解. （3）由，求得，得到，根据，求得，把任意，总存在唯一确定的，转化为，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其中， 因为函数的最大值为2，可得，解得， 所以， 令，可得， 当时，可得， 因为，所以函数在区间上的递增区间为. （2）解：当时，， 则 ， 因为在时有两解，所以在上有两解， 令，可得， 转化为与在上有两个交点， 又由， 结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为. （3）解：因为，解得， 所以， 因为，可得，所以， 对任意，总存在唯一确定的， 使得成立，所以， 且有且仅有唯一解， 令，则，所以， 所以，解得，所以，即实数的范围为. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、由正弦（型）函数的周期性求值、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数图象的应用 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可得到结果； （2）由正弦型函数的单调性，即可得到，再将不等式化简，代入计算，即可得到结果； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求得λ的取值范围. 【详解】（1）依题意， 又因为的最小正周期为，则，即， 所以. （2）当时，，则， 所以，即， 因为不等式在上有解， 即在上有解， 即，即. （3）由（2）及已知，，因为偶函数， 则， 解得，又，即有，， 于是， 由可得，， 而函数的周期， 依题意，对于在上 均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得， 所以正实数λ的取值范围是. 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $